A fim de desenvolver as competências da área 1 da matriz do ENEM, que é o de construir  significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais e as operações matemáticas envolvendo estes números, esta aula tem como objetivo levar o aluno a compreender a propriedade comutativa da multiplicação através da análise da tabuada do 1 até a do 10.

Noção de sequência numérica

Operações básicas: adição, subtração e multiplicação.

Noção de células como encontro entre linhas e colunas de uma tabela

Caderno para registros.

Folhas de caderno quadriculado ou malha quadriculada

Quadro negro ou branco

Giz colorido ou pincéis coloridos

A imagem da tabela pitagórica em uma lâmina (retroprojetor) ou apresentação (data show)

A aula

Professor inicie a aula conversando com os alunos sobre a tabuada da multiplicação.

Pergunte:

• Vocês sabem a tabuada do 1 ao 10?
• A tabuada é fácil ou difícil?
•  Quais são as mais fáceis e quais são as mais difíceis e por quê?

Anuncie que na aula de hoje eles vão conhecer uma maneira de registrar os resultados da tabuada do 1 ao 10, através de um quadro chamado de Tabela Pitagórica.

COMENTÁRIO: Alguns alunos podem questionar o significado da palavra “pitagórica”, se isso acontecer, vale a pena falar um pouco sobre o matemático Pitágoras, cuja biografia é facilmente encontrada em sites de busca.

Entregue para cada aluno uma folha de caderno quadriculado (1 cm) ou uma malha quadriculada xerocada.

Peça aos alunos que recortem um quadrado formado por 12 linhas e 12 colunas e colem no caderno de matemática sob o título: Tabela Pitagórica.

Solicite que os alunos coloquem um x no quadradinho que é o encontro da primeira linha com a primeira coluna, para indicar que cada número da primeira coluna será multiplicado por cada número da primeira linha. Em seguida solicite que os alunos numerem a primeira linha e a primeira coluna com os números 0 a 10, escrevendo um número em cada quadradinho como na figura:

Figura 1: Tabela pitagórica para ser preenchida

Fonte: https://www.google.com.br/search?q=tabela+pitagorica+para+preencher&tbm=isch&imgil=5djzRbhvtEsbuM%253A%253Bhttps%253A%252F%252Fencrypted-tbn3.gstatic.com%252Fimages%253Fq%253Dtbn%253AANd9GcTOG1_P5rcPU7Hv1qh-xYkL0d71ZWMMQOPOPSLB0JNjlVyJZbZE%253B610%253B250%253BrfZIgXz8mWMB6M%253Bhttp%25253A%25252F%25252Frevistaescola.abril.com.br%25252Ffundamental-1%25252Ftabela-pitagorica-aprender-multiplicacao-649827.shtml%25253Fpage%2525253Dall&source=iu&usg=__3RG0lb7hDpxfPaCEYLFIZKtEMt0%3D&sa=X&ei=_R-gU5eDGMeNqgbHjoDIBQ&ved=0CB4Q9QEwAA&biw=1366&bih=631#facrc=_&imgrc=5djzRbhvtEsbuM%253A%3BrfZIgXz8mWMB6M%3Bhttp%253A%252F%252Frevistaescola.abril.com.br%252Fimg%252Fmatematica%252Ftabela-pitagorica-multiplicacao1.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Frevistaescola.abril.com.br%252Ffundamental-1%252Ftabela-pitagorica-aprender-multiplicacao-649827.shtml%253Fpage%253Dall%3B610%3B250

Acesso em 15 de junho de 2014

Solicite aos alunos que preencham a tabela multiplicando o número que está em uma linha pelos números de cada coluna e registrando o resultado no quadradinho correspondente ao encontro da linha com a coluna. Conceda um tempo para que cada aluno preencha sua tabela e depois faça uma tabela no quadro e preencha com a ajuda dos alunos ou projete a imagem de uma tabela já preenchida como esta:

Figura 2: Tabela pitagórica preenchida

Fonte: Arquivo da autora

Faça os seguintes questionamentos:

• ·         Vocês conseguiram lembrar de todos os resultados?
• ·         Quais produtos vocês tiveram mais dificuldades para lembrar?
• ·         Como vocês fizeram para encontrar os resultados dos quais não lembravam?
• ·         Quantos alunos acertaram todos os resultados?
• ·         Quantos erraram menos de dez resultados?
• ·         Quantos erraram mais de dez resultados?
   

Professor fique atento às respostas, pois através delas é possível se fazer um diagnóstico da turma com relação à tabuada, o que pode facilitar a formação de parcerias e grupos de alunos posteriormente.

Incentive os alunos a procurarem regularidades e relações entre as linhas e colunas da tabela. Permita que eles falem sobre o que encontraram e aproveite para formalizar as falas registrando-as no quadro para que todos possam copiar e entender.

Provavelmente, algum aluno vai citar que na tabela aparece sempre uma linha e uma coluna que possuem os mesmos resultados. Mostre o fato ao restante da turma destacando uma linha e uma coluna nestas condições, como na figura:

Figura 3: Tabela pitagórica preenchida com uma linha e uma coluna em destaque

Fonte: Tabela disponível em http://pibidcomendador.blogspot.com.br/2013_08_01_archive.html. Acesso em 15 de junho de 2014, adaptada pela autora.

Questione:

• Por que está acontecendo isso?

COMENTÁRIO: Se não conseguir uma resposta satisfatória explique que isso ocorre porque na linha temos os resultados das multiplicações: 3x0, 3x1, 3x2, etc. E na coluna temos o resultado das multiplicações: 0x3, 1x3, 2x3, etc. Ou seja, são as mesmas multiplicações, somente mudou a ordem que os fatores aparecem. Explique que este fato é uma propriedade da multiplicação chamada “Comutativa”. Se os alunos não viram esta propriedade quando estudaram adição, explique que comutar significa trocar.

Agora, registre no quadro o nome da propriedade e o que ela indica: a ordem dos fatores não altera o produto, e peça aos alunos para procurarem na tabela pitagórica outros resultados iguais e registrarem os produtos que deram origem a estes resultados.

Leve os alunos a refletirem:

• Como a propriedade comutativa pode ajudar na memorização dos resultados da tabuada?

 Ajude-os a concluírem que na verdade basta memorizar metade dos resultados. Se eu sei o resultado de 4x8, por exemplo, também sei o resultado de 8x4.

Agora, incentive os alunos a procurarem resultados que não aparecem duas e somente duas vezes na tabela. Solicite que eles coloram os quadradinhos onde estiverem estes resultados. Eles devem chegar a uma tabela  como a da figura:

Figura 4: Tabela pitagórica com destaque para os resultados iguais

Fonte: Arquivo da Autora

Ajude os alunos a perceberem a simetria entre os resultados, ou seja , os resultados iguais aparecem na tabela em pares mantendo a mesma distância da linha diagonal de produtos que foi colorida. Sendo assim, para memorizar os resultados da tabuada podemos reduzi-la aos produtos da tabela abaixo:

Figura 5 : Tabuada reduzida

Fonte: Disponível em: http://jucienebertoldo.wordpress.com/2013/03/26/tabuada-reduzida-facilita-a-memorizacao/ acesso em 15 de junho de 2014.

ATIVIDADE: Para os alunos fixarem a propriedade comutativa, utilize o vídeo Tabuada com as mãos, disponível em http://www.youtube.com/watch?v=8X5hzSlUO10 , acesso em junho de 2014. Se for possível passe o vídeo para os alunos, se não for, assista e ensine os alunos a utilizarem o recurso. Este vídeo ensina como chegar aos resultados da tabuada a partir do produto de 6 x 6 até 10 x 10, utilizando os dedos das duas mãos. Incentive os alunos a fazerem os produtos duas vezes, por exemplo, 6 x 7. Solicite que os alunos façam primeiro pegando o dedo com o número seis na mão direita e o dedo com o número sete na mão esquerda. Depois façam pegando o dedo com o número seis na mão esquerda e o dedo com o número sete na mão direita e verifiquem que chegarão ao mesmo resultado.

Figura 6: Tabuada com as mãos

Fonte: Disponível em https://www.google.com.br/search?q=tabuada+com+os+dedos&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=ShKcU9jpBuffsATYjICICA&ved=0CCcQ7Ak&biw=1366&bih=631#facrc=_&imgdii=_&imgrc=AeuEaRKzqpk8qM%253A%3B2mQ_c1IlCgC8MM%3Bhttp%253A%252F%252Fi1.ytimg.com%252Fvi%252F8X5hzSlUO10%252Fmaxresdefault.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.youtube.com%252Fwatch%253Fv%253D8X5hzSlUO10%3B3000%3B1687 acesso em 15 junho de 2014

Jogo Tabuada Divertida, disponível no site http://www.tabuadadivertida.com.br/. Neste site é possível jogar on line e no final o próprio site avalia o aluno mostrando o número de erros, o número de acertos e o tempo gasto.

Bibliografia:

Beatriz Santo Mauro, Um novo jeito de ensinar a tabuada, Revista Nova Escola, páginas 36 - 43,  número 248 de dezembro de 2011.

Os alunos devem ser avaliados durante todo o processo da aula através da participação, das respostas aos questionamentos e da realização das atividades propostas.

Para uma avaliação mais formal entregue uma tabela pitagórica semelhante a tabela da figura 4, com apenas a metade dos produtos preenchidos: somente os produtos acima da diagonal ou somente os produtos abaixo da diagonal. Solicite que os alunos preencham a outra metade, usando a propriedade comutativa.

Num outro dia, entregue a tabuada reduzida e solicite que os alunos completem todas as multiplicações que estão faltando utilizando a propriedade comutativa.