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Utilizar a intui??o e a indu??o para fazer generaliza??es; Calcular o menor n?mero de movimentos com as pe?as do jogo, usando pot?ncia de base 2; Representar alguns n?meros naturais como pot?ncia de 2.

?1 aula de 50 minutos

?Potencia??o de n?meros naturais

Laboratório de informática!

Leve os alunos para o laboratório de informática e solicite que abram o site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/programas/hanoi/index.html, leiam as regras do jogo e tentem resolver ao problema para uma torre de 3 andares. Pergunte aos alunos em quantos passos eles realizaram a tarefa (esse número é dado pelo próprio programa) caso alguns alunos tenham realizado com mais de 7 passos indique que é possível fazer em menos passos e sugira que tentem fazer no menor número de passos.
Além disso, o site traz também uma curiosidade sobre o jogo.
Depois de cumprirem a tarefa com 3, 4 e 5 discos, os alunos deverão descobrir, sem jogar, como calcular o número de movimentos para 6, 7, 8, 9, 10 e n discos. Deixe como desafio resolver o problema da torre de 6 e 7 andares.
 

Dicas e Sugestões

Professor, para facilitar o trabalho você pode usar uma tabela como a seguir, para que os alunos a completem e possam ser direcionados para o cálculo esperado.
 

 

Caso os alunos tenham dificuldade para perceberem que o número de movimentos pode ser escrito na forma de potência de base 2, tente direcioná-los, através de perguntas, como por exemplo, além da adição, subtração, multiplicação e divisão, qual outra operação vocês conhecem? Se mesmo assim, não conseguirem, dê a dica da base a ser usada.

Talvez não seja possível finalizar todo o trabalho em uma aula, pois os alunos podem demorar a encontrar o menor número possível de movimentos. Caso isso ocorra, você pode continuar em outra aula, partindo apenas da tabela preenchida com o número de discos e o número de movimentos.

Outras questões que podem ser levantadas:
 

• Qual seria o número mínimo de movimentos?
• Quais são as peças que mais se movimentam? E as que se movimentam menos?
• Existe um “segredo” para fazer as jogadas com o menor número de movimentos? Qual?

Professor, nesse momento você estará verificando se os alunos perceberam o algoritmo que permite resolver o problema para uma torre de n discos onde n é qualquer. Espera-se que os alunos concluam que para calcular o número de movimentos com n discos é: 2ⁿ-1. Porém, essa conclus&a tilde;o não necessariamente terá que ser escrita dessa forma ( 2ⁿ-1), deixe que os alunos a escrevam com suas próprias palavras, como por exemplo, “dois elevado ao número de discos menos um”. Lembrando que se você não os direcionou para que escrevessem na forma de potência de base 2, eles poderão encontrar outras respostas.

 

Curiosidades:

Além de calcular o número de movimentos, você pode usar a tabela preenchida para mostrar aos alunos que as potências de base 2 são sempre terminadas em 2, 4, 8 e 6.

Outra curiosidade é pedir aos alunos que escrevam os números naturais usando a potência de base 2. Como por exemplo:
 

1=2⁰

2=2¹

3=2²-1

4=2²

5=2²+1

Voc? pode usar como avalia??o a participa??o nas atividades, as contribui??es dadas, a percep??o da regra e/ou do algoritmo e tamb?m a pr?pria tabela que os alunos completaram analisando se conseguiram escrever os n?meros na forma de pot?ncias de 2.