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N?meros complexos - Introdu??o

Autor e Co-autor(es)

Carlos Alberto Jesus de Oliveira imagem do usuário

BRASILIA - DF CEM PAULO FREIRE

Marco G. B. Burlamaqui

Estrutura Curricular

Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino M?dio Matem?tica N?meros e opera??es
Ensino M?dio Matem?tica Tecnologia para a matem?tica

Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

  • Identificar a representa??o dos n?meros complexos
  • Identificar n?meros complexos com pontos num plano

Duração das atividades

3 aulas de 50 minutos cada

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

?    Opera??es com o conjunto dos n?meros reais.

Estratégias e recursos da aula

               Professor para motivar seus para o estudo do assunto ?N?meros complexos? apresente a eles o seguinte problema:

Em 1545, o matem?tico italiano Girolamo Cardano (1501-1576) publicou o livro ?Ars Magna? (A grande arte), que tratava das regras da ?lgebra. Nesta obra, um problema simples originou uma intermin?vel discuss?o sobre um novo tipo de n?mero: ?Dividir o n?mero 10 em duas partes, de modo que seu produto seja 40?.

Professor, pe?a aos seus alunos que tentem resolver o problema. Em seguida questione, - ? poss?vel encontrar uma solu??o dentro do conjunto dos n?meros reais? ? Pe?a a eles que utilizem o resultado encontrado e verifique se satisfaz o problema.

               Professor, pe?a aos seus alunos que pesquisem sobre o assunto ?n?meros complexos?. Oriente-os para enfoque em:

  • Aspectos hist?ricos;
  • Necessidades para cria??o deste conjunto num?rico;
  • Tipos de aplica??o para os n?meros complexos.
  • Formas de representa??o, inicialmente a forma alg?brica e a geom?trica;
  • Parte imagin?ria.

Como exemplo, citamos alguns s?tios:

               Professor, comente com seus alunos que a geometria fractal, al?m de produzir belas imagens, ? tamb?m importante no estudo de sistemas din?micos, ou sistemas em movimento, que s?o imprevis?veis sob certas condi??es. O conhecimento de fractais ? usado em v?rias solu??es, como, por exemplo, na previs?o do clima, no estudo do movimento das estrelas e gal?xias do sistema solar, no estudo das bolsas de valores. Alguns dos fractais mais importantes s?o obtidos pela repeti??o de fun??es envolvendo n?meros complexos.

               Procure refor?ar que da mesma forma que a cada n?mero real pode-se associar um ?nico ponto da reta real, assume-se que a cada elemento z = a + bi do conjunto dos n?meros complexos corresponde um ?nico ponto P(a,b) do plano cartesiano e vice-versa. A parte real de z ? representada no eixo das abscissas, que ? chamado de eixo real, e a parte imagin?ria, no eixo das ordenadas, que ? o eixo imagin?rio.

               Professor, m ostre aos seus alunos que existem alguns rec ursos para trabalhar c om os n?meros complexo s. O mais simples ? a calculadora cient?fica , que existem diversos modelos e marcas. Den tre os diversos mode los, utilizarem a K enko 105B, mas qualquer calculadora cient?fica pode ser utilizada, basta seguir as orienta??es do manual.

               Por exemplo, para efet uar (2 + 1i) - (1 ? 2i ), fa?a:

O resultado da conta ? 1+3i.

               Outro recurso ? o GeoGebra. Ele re?ne GEOmetria, ?lGEBRA e c?lculo. Esta dispon?vel em http://www.geogebra.org/ em vers?o para download gratuito ou para ser executado via web (WebStart).

No caso desta atividade, tenha instalado previamente o GeoGebra em todos os computadores do laborat?rio de inform?tica. Como documenta??o do software, temos:

O GeoGebra n?o suporta n?meros complexos diretamente, mas pode usar pontos para simular opera??es com n?meros complexos.

Exemplo: Se inserirmos 3+4i na Entrada de Comandos, obt?m o ponto (3, 4) na Zona Gr?fica. As coordenadas deste ponto s?o mostradas na Zona Alg?brica como 3+4i.

Podemos repres entar qualquer ponto como n?mero complexo na Zona Alg?brica. Abra o Di?logo de Propriedades para o ponto e, no separador ??lgebra?, selecione ?N?mero complexo? na lista de formatos de Coordenadas. Se a unidade imagin?ria i ainda n?o estiver definida, ela ser? reconhecida como o par ordenado i = (0, 1) ou o n?mero complexo 0 + 1i. Portanto, podemos usar a letra i para inserir n?meros complexos na Entrada de Comandos.

Exemplos de adi??o e subtra??o:

? (2 + 1i) + (1 ? 2i) d?-lhe o n?mero complexo 3 ? 1i.

? (2 + 1i) - (1 ? 2i) e d?-lhe o n?mero comple xo 1 + 3i.

Exemplos de multiplica??o e divis?o:

? (2 + 1i) * (1 ? 2i) d?-lhe o n?mero complexo 4 ? 3i.

? (2 + 1i) / (1 ? 2i) e d?-lhe o n?mero complex o 0 + 1i.

Observa??o:

  • Se A e B s?o dois pontos, A/B faz a divis?o complexa.
  • A multiplica??o usual (2, 1)*(1, -2) d? -lhe o produto e scalar dos dois vetores.

Outros exemplos: O GeoGebra tamb?m reconhece express?es envolvendo n?meros rea is e n?meros complexos.

? 3 + (4 + 5i) resulta o n?mero complexo 7 + 5i.

? 3 - (4 + 5i) resulta o n?mero complexo -1 - 5i.

? 3 / (0 + 1i) resulta o n?mero complexo 0 - 3i.

? 3 * (1 + 2i) resulta o n?mero complexo 3 + 6i.

               Professor, elabore uma lista de exerc?cios para que seus alunos possam praticar um pouco. Pe?a a eles que resolvam os exerc?cios em uma folha de papel e, em seguida, confiram as respostas em qualquer um dos recursos citados. Outros recursos est?o dispon?veis em ?Recursos complementares?. Para elabora??o da lista de exerc?cios, existem exemplos dispon?veis nos s?tios abaixo:

               Professor, um momento interessante seria uma atividade l?dica sobre o assunto. Em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=2637 existem diversas atividades.

Recursos Complementares

Avaliação

A avalia??o (1 aula) poder? ser da seguinte forma: