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Aprender no??es b?sicas sobre a fun??o quadr?tica, produzir um gr?fico dessa fun??o, assim como suas aplica??es.

2 aulas de 50 minutos.

Plano cartesiano e suas coordenadas. Potencia??o.

O trabalho com funções é desafiador para alunos e professores. São necessárias operações variadas, produção e análise de gráficos e também o estudo de suas aplicações. O objetivo dessa aula é criar condições para que o aluno trabalhe com a função quadrática e atinja um nível de entendimento adequado. Para isso usaremos um objeto de aprendizagem que apresenta uma aplicação prática e mostraremos como podem ser criados gráficos dessa importante função.

Fig. 1 - Trajetória descrita por uma bola que pode ser considerada parte de uma função quadrática
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Soccer_throw_in_nch.jpg (modificada pelo autor)

Definição de Função Quadrática

Uma função quadrática ou do 2º grau é aquela cujo o gráfico é uma parábola. Essa função é representada por  f(x)= ax2 + bx + c, sendo a, b e c números reais.

Alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = x ²- 2x + 1

f(x) = x²

Aproveite para lembrar os alunos de alguns conceitos de potenciação, especialmente no que diz respeito ao quadrado de um número. Um bom começo para envolver os alunos no trabalho com a função quadrática é usando a função f(x) = x² . Pode-se construir um gráfico dessa função com os alunos, abordando sobre o quadrado de alguns números positivos e negativos e marcando pontos em um plano cartesiano para formar uma parábola, como a apresentada abaixo. Essa atividade cria boas condições para que ocorra um melhor entendimento do conteúdo.

Fig. 2 - Gráfico da função f(x) = x² .
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Qfunction.png

É importante criar uma tabela com alguns valores de x e determinar os valores de y com os alunos, marcando os pontos no plano.

X	Y
-4	16
-2	4
0	0
2	4
4	16

Aplicações da Função Quadrática

Existem objetos de aprendizagem que contribuem muito para que os alunos aprendam a relacionar variáveis em uma função, realizar experimentos, alterar valores e verificar relações de causa e efeito. Eis o objeto recomendado para a atividade usando computadores na escola:

Fig. 3 - Tela do simulador Movimento de Projétil

Movimento de Projétil
 

Recurso disponível em recursos/mec_3728/projectile-motion_en.jar

 No simulador, os alunos podem modificar a massa e diâmetro dos projéteis, sua velocidade inicial, o ângulo de lançamento e até mesmo o efeito da resistência do ar. Além disso, é possível brincar de atingir o alvo marcado no chão. Para tirar o máximo de proveito dessa atividade o professor deve realizar perguntas aos alunos no que diz respeito às alterações nas variáveis, como por exemplo pedir que eles variem apenas a massa do projétil e que observem o que acontece com o tempo e a distância. É importante estimular os alunos a estabelecerem e anotarem as relações percebidas e por fim, desafiá-los com relação a função quadrática que relaciona a distância do lançamento com o quadrado da variável tempo.

Produzindo Gráficos com uma Planilha Eletrônica

O alunos podem trabalhar no seu próprio gráfico da função quadrática utilizando uma planilha eletrônica como o BrOffice (http://www.broffice.org/ ).

O primeiro passo é criar uma pequena tabela de valores de x e y.
Na coluna dos valores de x, basta digitar alguns valores que formarão os pontos do gráfico e permitirão a construção da curva.

Na coluna de valores de y, digitamos uma função quadrática na célula correspondente ao menor valor de x. Como exemplo, usaremos a função y = x² - 8x + 12. Observe a imagem abaixo.

Fig. 4 - Tabela com dados da função quadrática.

Observe que a função y = x²- 8x + 12 é escrita na célula A2 da seguinte forma: =POTÊNCIA(A2;2)-8*A2+12 . A2 corresponde ao valor de x e, entre parênteses é acompanhado do número 2, indicando que o valor do x é elevado ao quadrado. POTÊNCIA é uma função matemática disponível no programa. Clicando no ponto preto em B2 e arrastando até a célula B6, os cálculos são feitos automaticamente.

Fig. 5 - Construção do gráfico de uma função quadrática

Para gerar o gráfico, basta selecionar as colunas e clicar no ícone de construção de gráficos (semelhante ao gráfico tipo pizza) e selecionar as opções apresentadas na imagem acima. Feito isso, o gráfico deve aparecer após clicar no botão Concluir.

Sugerimos deixar os alunos experimentarem outros valores, além de alterarem formatos e caracterísiticas do gráficos, de forma a que eles possam relacionar a variáveis envolvidas, permitindo que a experimentação contribua para a aprendizagem dos conceitos. Essa é uma boa oportunidade para apresentar aos alunos as raízes da função ( ou zeros de uma função), valores de x que resultam em y = 0. Também pode-se solicitar aos alunos para tornarem negativo o valor de x ao quadrado na função e verificarem o que acontece com o vértice da parábola.

Nome	Tipo
Movimento de Proj?til	Anima??o/simula??o

O professor pode, nas atividades da sala de aulas, trabalhar a constru??o do gr?fico da fun??o utilizando calculadoras e papel quadriculado e ap?s recriar os mesmos gr?ficos usando os computadores da escola.

Uma atividade interessante que pode envolver os alunos na produ??o da avalia??o ? pedir que eles criem fun??es quadr?ticas como desafios e troquem com os colegas para a produ??o no computador. Os pares ou pequenos grupos poderiam apresentar e discutir seus resultados em conjunto e isso permitiria a avalia??o do aproveitamento dos alunos, al?m dos esclarecimentos necess?rios ?s dificuldades encontradas.