Uma demonstração geométrica do quadrado da soma de dois números inteiros.

Uma aula simples (50 min).

Multiplicação, potenciação e áreas.

Importância

O uso de letras na matemática é útil para representar valores desconhecidos e grandezas que variam, sendo assim, por que não fazer cálculos com elas? Porém essa transição de números para letras representa um salto intelectual na formação dos estudantes. Por isso devemos garantir uma evolução natural e suave desses conteúdos.

Conteúdo no dia-a-dia

A fatoração em geral e os produtos notáveis em particular são ferramentas para o cálculo algébrico que serão úteis no futuro para descrever fenômenos através de polinômios.

Introdução

O início desta atividade deve ser um diagnostico sobre a classe. Verifique se todos lembram qual deve ser a ordem das operações em sentenças matemáticas. Uma brincadeira simples e rápida para justificar o uso de parênteses é falar uma conta onde o uso ou não de parênteses altera radicalmente o resultado, por exemplo:

23+5-4.7 = 0

23+(5-4).7 = 30

Atividades

Professor,

Você deve trazer para a classe pares de quadrados previamente recortados em cartolina. Em um dos lados escreva letras como a representação do comprimento de seus lados e no verso escreva a medida real daquele lado.

Os alunos, em duplas ou trios, devem receber dois quadrados com medidas diferentes.

Parte 1:

Com o valor numérico escrito no quadrado voltado para cima posicione as duas figuras de modo que apenas um vértice seja coincidente e que os lados que possuem tal vértice pertençam a uma mesma reta, como na figura:

Figura 1

A questão norteadora desta etapa é: Quais figuras devem ser acrescentadas a essa para que tenhamos um quadrado?

Aqui os grupos devem ter pedaços de cartolina dos quais eles possam obter os retângulos necessários.

Quando todos terminarem monte uma tabela na lousa e peça que cada grupo preencha uma linha:

Tabela 1

* a linha preenchida está relacionada com os valores apresentados na figura anterior.

Aqui esperamos que os alunos percebam que 1² + 3² é diferente de (1+3)². Discuta com a classe para garantir que todos percebam a desigualdade.

Parte 2:

Agora os grupos devem virar as figuras e completar as medidas (usando letras) dos retângulos acrescentados!

Figura 2

Com o esquema acima organizado por todos os grupos, eles devem tentar preencher mais uma linha da tabela com : x / y / x²+y² / (x+y) / (x+y)²

Finalmente solicite de cada grupo uma expressão que calcule a área da figura final de duas formas distintas. Considerando cada uma das 4 partes e considerando o quadrado maior, ou seja, queremos que os alunos obtenham: x² + y² +2.x.y = (x + y)².

Se houver possibilidade, sugerimos um software para complementar a atividade:

Square of a sum

Acess e este objeto pelo link ao lado, ele se encontra no Banco Internacional de Objetos Educacionais - Quadrado da Soma

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5064

Este objeto requer um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais - MathematicaPlayer

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737

 Professor,

 esta ferramenta apresenta uma demonstração bastante interessante de que o quadrado da soma de dois números inteiros não é simplesmente a soma dos quadrados, erro muito frequente de nossos alunos do ensino fundamental e médio.

O quadrado rosa (figura superior direito) representa o primeiro número - first number; o quadrado bege (figura inferior direito) representa o segundo numero - second number - da expressão (a + b)²

Os retângulos laterais têm área (a.b) e o quadrado formado pela união de todos eles tem lado (a+b) e área (a+b)² .

** Professor, cuidado com os números que aparecem na figura, os internos representam áreas, os externos representam as medidas dos lados. Porém eles aparecem invertidos na parte superior e do lado esquerdo.**

 Clicando no sinal de mais ao lado de 'first number' e de 'second number' surgem comandos para variar com maior precisão os valores de a e b.

Atividades - (antes de ver a ferramenta)

1. Escolha dois números quaisquer de 1 até 10.
2. Calcule o quadrado de cada um desses valores.
3.  Agora some os resultados.
4.  Faça a adição dos números iniciais e eleve ao quadrado o resultado.
5. Você obteve valores iguais?

 Agora use o programa para verificar seus resultados e tente explicar o que aconteceu!

 Atividade com as áreas

1.  Escolha dois valores quaisquer para "first number' e para 'second number'.
2. Que figuras são apresentadas? (Dois quadrados e dois retângulos).
3. Anote as áreas de cada uma delas.
4. Se você observar o desenho como uma coisa única, formada por vários pedaços, que figura você enxerga? Qual é a área dessa figura?

Professor, aproveite este momento para discutir essa possibilidade de cálculo de áreas, a divisão do que queremos calcular em figuras conhecidas.

1. Qual é a relação entre as áreas das figuras pequenas e a área da figura maior?
2. Existe alguma escolha que deixa as figuras internas todas iguais? (escolha 1 e 1)
3. E todas diferentes? Por quê?  (isso não ocorre, os retângulos sempre serão iguais, apenas invertidos)

Nome	Tipo
Square of a sum	Animação/simulação

• http://www.obmep.org.br/banco_de_questoes.html – site da OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, banco de questões

Solicite que cada grupo confeccione um cartaz (numa folha de sulfite) contendo a colagem das figuras geométricas e as expressões, tanto numérica como geral.