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Compreender o significado do Mínimo Múltiplo Comum entre números naturais.

Uma aula dupla (100 min).

Fatoração.

Importância

Muitas técnicas matemáticas usadas diariamente, como fazer operações, usam algoritmos simples e de fácil compreensão. Mesmo assim, muitas pessoas usam esse algoritmos sem entender de fato o que estão fazendo.

Nesta aula, os estudantes serão expostos aos conceitos e conteúdos envolvidos no algoritmo para obter o MMC.

Conteúdo no dia-a-dia

Quando somamos frações com denominadores diferentes, precisamos do MMC. Mas será que ele é mesmo necessário? Por que devemos usar o menor múltiplo comum e não qualquer múltiplo? A conta daria errada?

Essas perguntas simples podem causar grande confusão entre aqueles que apenas decoraram o algoritmo de somar frações e desconhecem a justificativa para cada passo.

Motivação

Escreva na lousa a seguinte conta: 3/4 + 4/5 =

Solicite que os estudantes obtenham o resultado, que é 31/20.

Antes de verificar e de corrigir na lousa questione a classe sobre por que essa conta não pode ser realizada diretamente? Por exemplo: (3+4)/(4+5)?

Queremos que os alunos relembrem que somar frações é juntar partes do todo, e se os denominadores são distintos essas partes não podem ser somadas diretamente, pois representam porções diferentes.

FIGURA 1 (Retângulo dividido em 4 pintado 3 e outro igual dividido em 5 e pintado 4 cor diferente)

Para saber que porção do todo essas frações juntas representam elas devem ser de mesma natureza. 3 quartos não pode ser somado com 4 quintos, quartos e quintos não são de mesma natureza. Então devemos transformá-los, para isso basta ver que 3/4 = 15/20 e que 4/5 = 16/20, ou seja, agora estamos com as duas frações em “20 avos”, ou seja, podem ser somadas!

FIGURA 2 (retângulos anteriores divididos agora em 20)

Agora, faz a conta: 3/4 + 4/5 = 75/100 + 80/100 = 155/100 = 31/20.

O resultado foi o mesmo, mas não usamos o 20 em nenhum momento!

Introdução

Com os estudantes em duplas, peça que escrevam três somas de frações, todas com denominadores distintos e efetuem essas contas passo a passo, de quatro maneiras distintas, isso é, usando quatro múltiplos comuns. Por exemplo:

1/6 + 3/8 = 4/24 + 9/24

1/6 + 3/8 = 8/48 + 18/48

1/6 + 3/8 = 12/72 + 27/72

1/6 + 3/8 = 20/120 + 45/120

Todas elas, depois de simplificadas (frações irredutíveis), devem resultar em 13/24.

Atividades

Nosso objetivo agora é mostrar que os valores usados para igualar os denominadores devem devem ser múltiplos dos denominadores originais. Para isso, basta que o valor tenha todas os primos da decomposição dos originais com os maiores expoentes.

Por exemplo: 6 = 2.3 e 8 = 2³

120 = 2³ . 3 . 5

Portanto sugerimos que os grupos construam uma tabela para cada uma das três contas realizadas anteriormente:

TABELA 1

Peça que os grupos procurem explicações para que todos esses valores (24, 48, 72 e 120) tenham servido para fazer a conta.

Como pergunta final, sugerimos: Discuta as vantagens e desvantagens de tomar o mínimo múltiplo comum.

Todas as discussões devem ser reportadas no relatória de cada dupla.

Para que a atividade fique mais dinâmica e para que seja viável usar número grandes sugerimos o objeto educacional “Finding the least common multiple of two numbers by factoring”!

Ele mostra a fatoração de dois valores escolhidos pelo usuário e o MMC entre eles.

Finding the least common multiple of two numbers by factoring

RECURSO

Nome	Tipo
Finding the least common multiple of two numbers by factoring	Animação/simulação

• Revista do Professor de Matemática – SBM - http://www.ime.usp.br/~rpm/cms/

• Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas - http://www.obmep.org.br

Avalie as duplas através do relatório que foi feito durante a atividade.