Equação do segundo grau com Bhaskara
Autor e Co-autor(es)
Estrutura Curricular
| Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
|---|---|---|
| Ensino Fundamental Inicial | Matemática | Números e operações |
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
Duração das atividades
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
Estratégias e recursos da aula
Professor, nesta aula abordaremos o assunto resolução de equações do 2º grau. Apresente situações que utilizem o assunto, tais como:
• Uma sala comercial quadrada tem 81 m2 de área. Quanto mede, em metros, cada lado dessa sala?
• Encontre o número inteiro cujo dobro de seu quadrado adicionado ao seu triplo seja igual a zero.
Professor, geralmente o ensino de resolução de equações do 2º grau é feito de uma forma direta. Nesta aula propomos inicialmente que seja abordado o aspecto histórico, para isto, leve seus alunos ao laboratório de informática e peça a eles que leiam o documento localizado em www.bibvirt.futuro.usp.br/content/download/2373/13519/file/rpm43_04.pdf. O documento em questão trata da abordagem aritmética e geométrica da resolução de equações do 2º grau.
No século IX, o matemático árabe Al-Khowarizmi, escreveu a grande obra matemática chamada
“Hisab al-jabr w’al-muqabalah”
.
Nesta obra Al-Khowarizmi descreveu métodos para a solução de equações do 2º grau. Acompanhe a seguinte tradução de um fragmento do livro:
“Os números que aparecem nos cálculos pela restauração e pela redução são de três classes: as raízes, os quadrados e os números simples, que não se referem nem às raízes nem aos quadrados [...] Um número que pertence a uma destas três classes pode ser igual a um dos números das outras duas classes, por exemplo: quadrados iguais a raízes; quadrados iguais a números; raízes iguais a números.”
, Al-Khowarizmi refere-se aqui a três de equações incompletas. Ele justificou os resultados geometricamente, representado os termos da equação utilizando áreas de retângulos e quadrados, procedimento conhecido por método de completar quadrados. Observe como se resolve geometricamente, utilizando o método de completar quadrados, a equação x2 + 12x = 64, (x2 + bx = c).
Passo 1) Primeiro, desenhe um quadrado de lado "x" para representar o termo x2. Depois, represente o termo 12x por quatro retângulos de lados 3 e "x", como mostra a figura abaixo:
Comentário para os alunos:
• No centro termos um quadrado de lado "x", portanto sua área será x2.
• Em cada retângulo um dos lados mede "x" e o outro a quarta parte do valor do coeficiente "b", (b/4) . Neste caso como o coeficiente "b" é 12, teremos retângulos de medidas "x" e 3, com área 3x.
• A soma das áreas do quadrado e dos quatro retângulos é igual ao coeficiente “c”
(termo independente da equação), neste exemplo o valor será 64.
Passo 2) Para completar um quadrado, acrescente quatro quadrados de lado 3.
Comentário para os alunos:
• Professor faça alguns questionamentos aos seus alunos como:
* Para completar um quadrado, que figuras devem ser adicionadas à figura anterior?
* Quais são as medidas dessas figuras?
Passo 3) A figura do “Passo 1” tem área de 64. Na figura do “Passo 2” foram acrescentados 4 quadrados de área 9 cada um, totalizando 36, formando um quadrado de área 64 + 36 = 100, portanto um quadrado de lado 10.
Comentário para os alunos:
• Professor faça alguns questionamentos aos seus alunos como:
* Antes de adicionar essas figuras, a área era de 64, qual será a área depois de se completar o quadrado?
* Como podemos determinar a medida do lado desse quadrado?
* Determinando a medida do lado do quadrado, como podemos determinar a medida x ?
Passo 4) Sendo assim o lado do quadrado formado tem medida 3 + x + 3 = 10 
x = 4.
Professor, para aprofundamento do assunto, peça aos seus alunos que resolvam as seguintes equações baixo, utilizando o método de completar quadrados:
a) x2 + 8x = 9
b) x2 + 28x = 60
c) x2 + 20x = 69
Na antiga Babilônia, os escribas conheciam métodos de resolução de problemas equivalentes a certos tipos de equações do tipo x2 – bx = c. Para resolver tais problemas, seguiam regras equivalentes à fórmula:
Professor seria interessante que fizesse juntos com os alunos a dedução da fórmula de Bhaskara. Você pode utilizar alguns exemplos em sítios especificados nos recursos complementares desta aula.
Professor, peça a seus alunos leiam um pouco mais sobre o assunto no sítio http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm#m111a03. Para resolução de equações do 2º grau, utilizado a fórmula de Bhaskara, é muito importante que seus alunos saibam identificar quais são os coeficientes da equação, classificar em completa ou incompleta, calcular o valor do discriminante e em seguida identificar a quantidade de raízes, para isto seria interessante eles montassem uma tabela do tipo:
Esta tabela pode ser produzida em um software de planilha eletrônica, como por exemplo BrOffice, http://www.broffice.org/. Professor utilize os diversos tipos de equações incompletas e completas.
Agora vamos calcular as raízes das equações proposta na tabela anterior, para isto peça aos seus alunos que calculem os valores das raízes das equações e em seguida verifiquem o resultado no aplicativo “Raízes”, instalado previamente nos computadores e com download em http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/mec/4838/1/raizes.zip.
O manuseio do aplicativo é bem simples, basta informar os valores dos coeficientes e em seguida clicar no botão “CALCULAR”. Professor, explore com o aplicativo o estudo do discriminante. Apresente equações onde o valor do discriminante seja:
Caso seja necessário reforçar com atividades on-line em http://www.alunosonline.com.br/barra/index.htm?url=http://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes2.php.
Professor, para finalizar a aula. Leve seus alunos ao pátio e organize-os em grupos de no máximo 5 pessoas. Coloque para eles a seguinte situação: “Vamos fazer uma horta em um terreno de forma retangular. Nesse terreno, a medida do comprimento é o dobro da medida da largura, mais 4 metros. Quais são as dimensões do terreno, sabendo–se que sua área é 70 m2 ?”. Peça a cada grupo que resolva o problema, identifique as dimensões, calcule a área do retângulo estabelecido e por último, com uma fita métrica, faça no terreno a delimitação do retângulo proposto. Seria interessante ressaltar que com estes cálculos pode-se determinar a quantidade de adubo, fertilizantes e outros produtos a serem aplicados no terreno para a construção da horta.