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- Modelar e resolver situações-problema em diferentes contextos e, em especial de matemática financeira.

- Propiciar aos alunos atividades que permitam aproximações entre os conteúdos da matemática financeira e as funções exponenciais.

- Utilizar calculadora e planilhas eletrônicas para resolver problemas relativos à matemática financeira.

4 aulas (50 minutos)

Conhecimentos de matemática básica e de funções.

Conhecimentos básicos de internet, editor de texto e planilha.

Professor, para iniciar essa aula proponha uma situação lúdica aos seus alunos. Divida os alunos em 4 grupos:

• Um grupo será de vendedores que utiliza o crediário para negociar seus produtos, outro grupo de vendedores que negociam apenas a vísta (é importante que os grupos de vendedores sejam criativos e negociem coisas interessantes, mas também coisas pouco úteis mas não menos interessantes).
• Um grupo será dos compradores (para isso disponibilize dinheiro a eles, pode ser um dinheirnho fantasia e lembre-se de ditribuir igual quantia a cada integrante deste grupo).
• E o último grupo de alunos fica responsável por filmar os fatos e registrar comportamentos que percebem.

Depois de toda movimentação, socialize os resultados. Mostre o filme feito por eles e discuta sobre o comportamento deles. Só então, apresente a notícia "Compras a prazo podem resultar em descontrole financeiro... " publicada no Diário de Franca/SP, onde o autor diz que as campanhas de marketing buscam atingir o bolso dos consumidores, e que segundo levantamentos, a cada 10 pessoas, 8 estão endividadas por falta de planejamento e pela compulsão das compras a prazo.   

Propicie algumas reflexões junto a seus alunos, como por exemplo:

• Mas por que esse fato ocorre?
• Qual será a maior causa do descontrole financeiro?
• Será que as pessoas quando negociam a prazo tem noção do tipo de negócio que estão fazendo?   

Além dessas questões, busque outras que traga o enfoque regional da sua comunidade escolar para discutir com os alunos. Essa atividade tem por intenção alertar as pessoas para algumas "pegadinhas" que encontramos no comércio, no que se refere as "facilidades" apresentadas nas compras a prazo. Professor, aproveite o momento, e traga elementos onde os alunos consigam reencontrar um sentido para a escola e nos conteúdos que estudam. Destaque que a matemática no Ensino Médio contribui para estruturar o pensamento e o raciocínio, e também ajuda a resolver situações das mais variadas atividades humanas. A matemática financeira - tema desta aula -, é um dos campos da Matemática que ajuda as pessoas a estudar e analisar formas mais adequadas de alcançar seus objetivos no campo econômico e no campo pessoal.

Discuta com o grupo alguns conceitos da matemática financeira.

O que é Capital?

O que é Juro?

O que são despesas?

O que é lucro?

O que é inflação?

A priori lance as questões para observar as respostas. Se já ouviram falar sobre esses temas? Onde ouviram? O que entendem sobre?

Atividade 1

No laboratório de informática, o professor pode encaminhar uma pesquisa, onde os alunos (em grupo) busquem os termos em diferentes locais: revistas, jornais, sítios e afins), socializem as pesquisas com os demais.

De posse das definições, o professor pode encaminhar... (lembre-se de sempre quesionar e estimular os alunos nos momentos de demosntração)

Entende-se por capital, qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época, ou seja, a quantia de valor presente no momento da aplicação. A taxa de juros é entendida como a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado).

Matematicamente, usamos:     i = J/P     onde i é a taxa de juros, J o valor dos juros e P o capital inicial da aplicação.  

Chamamos capitalização simples aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incidindo sobre os juros acumulados. Neste modelo, a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa de diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por trinta.   

A taxa de capitalização simples varia linearmente em função do tempo, por sua vez, os juros obtidos em uma aplicação dependem apenas do valor aplicado P da taxa i e do prazo n .   

Assim, podemos deduzir que:    J = P x i x n   onde J corresponde ao valor dos juros, P valor do capital inicial, i taxa de juros e n prazo da aplicação.   

Montante (S) é o termo usado para indicar o valor do capital inicial adicionado ao valor dos juros ao longo do prazo n da aplicação.

Assim S = P + J  .   

Conforme já definimos J = P x i x n , então podemos dizer que o montante de uma aplicação a juros simples pode ser expressa pela equação    S = P + P x  i x  n    

Vale lembrar que em uma capitalizaçao simples, os juros crescem linearmente em função do tempo.

Crescimento linear é uma característica das Funções de 1° Grau, assim podemos escrever que a função juros em relação ao tempo pode ser escrita como J (n)  =  n x  k  , onde k = P  x  i .

Neste caso, estamos tomando a taxa de juros fixa durante o prazo n, substituindo k  em S = P + P  x i  x n  obtemos S(n) = n x  k + P  , essa é uma função do tipo f (x) = ax + b , ou seja, uma Função Polinomial do 1° Grau, que expressa o Montante em relação ao tempo.

Assim, observamos que o montante em relação ao tempo é expresso a partir de uma função do 1° Grau, onde k  é o coeficiente angular e P  o coeficiente linear da reta, com n  representando a variável independente e S  a variável dependente da função.   

A partir disto, conceitos de Função de polinomial do 1° Grau podem ser aplicados no  tratamento da Capitalização Simples.  

Com os alunos no laboratório de informática, utilizando o editor de planilha e também a calculadora disponível no computador, proponha aos alunos as seguintes atividades, na intenção de verificar a apropriação dos conceitos.

Atividade 2

Em 1º de março de 2010 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4.000,00, a juros simples, com taxa de 4% ao mês. Qual o valor da dívida em 1º de julho de 2010?

 i = J/P

4 = J/4000

J = 160,00 ao mês x 4 meses = 640,00

R: Em julho o valor da dívida será de R$ 4.640,00.

Representando graficamente, temos:

Percebam que o gráfico desta função representa uma função do 1º Grau crescente.

Obs. Neste momento o professor pode fazer aproximações com o contéudo funções polinomiais por meio do recurso disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12856. Este recurso propicia a alteração dos valores dos parâmetros e análise das modificações obtidas na representação gráfica de diferentes funções.

   Funções Polinomiais – Família de funções e parâmetros 

Retomando a Matemática Financeira, objeto de estudo em nossa aula, apresentamos a capitalização composta, aquela cuja taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros também cresce em função do tempo. Utilizaremos a mesma simbologia da capitalização simples.  

Assim, temos  S = P (1+ i x  n) , neste modelo, a taxa de juros incide sobre o valor acumulado, e podemos deduzir:

1º mês: S₁ = P + P x  i = P + P_i = P(1 + i)    

2º mês: S₂ = S₁ + S₁  x   i = S₁ (1+ i) = P(1+ i) (1+ i) = P(1+ i)²   

3º mês: S₃ = S₁ + S₂  x  i = S₂ (1 + i) = P(1 + i)² (1 + i) = P(1 + i)³ 

Assim, sucessivamente teremos:    S_n  = S_n-1 +S _n-1  x  i = S _n-1 (1+i) = P (1 + i)¹ (1 + i)^n-1= P (1+i)ⁿ    Sendo S₁, S₂, S₃,..., S_n os montantes depois do 1°, do 2°, do 3° e do n-ézimo mês da aplicação do capital. P o capital inicial, portanto é constante assim como a taxa de juros i .  

Neste caso o expoente de (1+ i) sempre será correspondente ao período que queremos encontrar.

Portanto, no mês n teremos    S = P x  (1 + i) x  (1 + i) x  (1+ i) x  .... x  (1+ i) = P x  (1 + i) _ⁿ

Para o regime de capitalização composta utilizaremos S = P(1 + i)ⁿ . Analisando a equação S = P(1 + i)ⁿ  podemos observar a influência da taxa de juros, ao longo do prazo de duração n, sobre um capital ao regime de capitalização composta.  

Assim, podemos escrever a função montante da capitalização composta  

                                      S(n) = P(1+ i)ⁿ    onde S (Montante) é a variável dependente e n (Prazo) é a variável independente.    

Essa equação é similar a uma função exponencial de Grau n.

Atividade 3

Tomando o problema da atividade 1, porém emprestando o valor a juros compostos.

Calculando por dedução temos:

1º abril - 4000 + 4000x0,04 = 4160

1º maio - 4160 + 4160x0,04 = 4326,40

1º junho - 4326,40 + 4326,40x0,04 = 4499,46

1º julho - 4499,46 + 4499,46x0,04 = 4679,44

ou

pela aplicação da fórmula temos:

S = P (1+ i x  n)

S= 4000 x (1+4x4)

S= 4000 x 17

S= 680

R: Em julho o valor da dívida será de R$ 4.680,00.

Representando graficamente:

O gráfico dessa função representa uma função exponencial.

Obs. Neste momento o professor pode fazer aproximações com o contéudo funções exponenciais por meio do recurso disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12294, que possibilita conhecer a definição, propriedades e características da funçao exponencial.

   Función exponencial [Unidades didácticas] 

Desta forma, podemos aplicar os conceitos de função exponencial no tratamento da capitalização composta.         

Atividade 4

Uma pessoa deseja comprar um celular, para isso deposita em um banco um valor para rendimento a prazo, o capital acumulado ao fim de certo tempo é dado pela fórmula S(n) = P(1+ i)ⁿ  , onde S representa o capital acumulado, P o valor do depósito, i a taxa de juros ao mês e n o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado. Nesse sistema, ao final de cada mês os juros capitalizados são incorporados ao depósito.  

a) Para um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o capital acumulado ao fim de 3 meses? 

b) E um ano?

Resolução

a) 3 meses  

S(n) = P(1+ i)ⁿ 

S(3) = 1000 x (1 + 0,02)³  

S(3)= 1061,20   

R: Portanto, o capital acumulado será de R$ 1061,20.  

b) 1 ano = 12 meses  

S(n) = P(1+ i)ⁿ

S(12)  = 1000 x (1+0,02)¹²  

S(12) = 1268,24

R: Portanto, o capital acumulado será de R$ 1.268,24. 

Atividade 5 

E se ao invés de depositar o valor no banco, a pessoa deixar o valor na conta sem rendimento, mas investir na compra do celular que deseja, pagando em 6 vezes sem entrada, sendo que a primeira parcela é de R$ 150,00 a um juro de 1,5% ao mês.  

Resolução

Entrada – R$ 0,00

1º mês – 150 + 150 x 0,015= 152,25

2º mês – 152,25 + 152,25 x 0,015 = 154,53

3º mês – 154,53 + 154,53 x 0,015 = 156,85

4º mês – 156,85 + 156,85 x 0,015 = 159,20

5º mês - 159,20 + 159,20 x 0,015 = 161,59

6º mês - 161,59 + 161,59 x 0,015 = 164,01   

Ao final terá pago R$ 948,43.

Perceba que no investimento previsto na primeira atividade, em 3 meses ele terá R$ 1061,20, configurando ser o investimento mais vantajoso, uma vez que em 3 meses ele já paga o celular e ainda fica com uns trocos.

Atividade 7

Utilizando uma planilha de cálculo no computador, propor aos alunos a construção dos gráficos dos exercícios dados.

Obs. Nesta atividade o professor pode sugerir aos alunos que desenvolvam as atividades como se a capitalização fosse simples e depois composta. Preenchendo uma tabela com os dados para compor os gráficos, comparando e observando os resultados. Atividades como está propicia aos alunos a contrução do conceito de Função Polinomial e de Função Exponencial, uma vez que irão conseguir visualizar a situação a partir de uma questão real.

No caso abaixo apresentamos um exemplo de comparativo dos gráficos conforme desenvolvemos na atividade 1 e 2.

                 Ativ 1     Ativ 2

1º março    4.000     4000

1º abril       4.160     4160

1º maio      4.326      4320

1º junho     4.499      4480

1º julho      4.679      4640

DALZOT, W. Matemática Financeira. Porto Alegre: Editora UFRGS .2006.   

Diário de Franca. Setor de varejo espera crescimento em Franca, disponível em http://www.diariodafranca.com.br/conteudo/noticia.php?noticia=21083&categoria=7, acesso em 06 de maio de 2010.   

HORTA, R. A. & SANTOS, M. B. A Compreensão da Matemática Financeira a partir do Estudo de Funções. Disponível em http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/viewFile/2780/2122, acesso em 06 de maio de 2010. 

VIEIRA, S.& DUTRA, J. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2000.   

Nome	Tipo
Función exponencial [Unidades didácticas]	Animação/simulação
Funções Polinomiais – Família de funções e parâmetros	Animação/simulação

DRABESKI E.J. & FRANCISCO, R. Estudo da função exponencial e a indução matemática com aplicação da Torre de Hanói. Disponível em http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/696-4.pdf, acesso em 07 de maio de 2010. 

Matemática Financeira, disponível em http://matematicafinanceira.net, acesso em 07 de maio de 2010.

A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.

Critérios a serem observados:

1. Participação na atividade inicial, discutiu a questão? colaborou com os colegas? contribuiu?

2. Desenvolvimento e socialização das atividades? Participou? Raciocínio adequado?

3. Auxiliou ou solicitou auxílio dos colegas no laboratório de informática?  O aluno foi argumentativo? Sua produção foi pertinente?

4. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.