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Jogando com os Números Complexos

Autor e Co-autor(es)

JUCIMARA BAPTISTA BATISTA imagem do usuário

PRESIDENTE PRUDENTE - SP ODETTE DUARTE DA COSTA PROFA EMEIF

Felipe Oliveira Jerez; Prof.ª Dra. Raquel Gomes de Oliveira

Estrutura Curricular

Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Números e operações

Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

- Identificar um número Complexo;

- Compreender os conceitos envolvidos no estudo de números complexos na forma algébrica (parte real, parte imaginária, número imaginário puro);

- Interpretar os conceitos de oposto, de conjugado e de igualdade entre números complexos;

- Realizar cálculos envolvendo soma, subtração e multiplicação de números complexos.

Duração das atividades

04 horas/aula

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

- Estudo do conjunto dos números reais e de suas propriedades;

- Conceito de oposto ou simétrico de um número real.

Estratégias e recursos da aula

Professor(a), no decorrer dessa aula iremos trabalhar com os conceitos envolvidos no estudo dos números complexos, através de atividades simples, que utilizam materiais manipuláveis.

Inicialmente o professor poderá fazer uma breve revisão dos conjuntos numéricos já estudados, através de questões que levem o aluno a recordar as características dos elementos de cada um desses conjuntos, pedindo exemplos desses números aos alunos.

- Naturais: Conjunto formado pelo zero e pelos números inteiros positivos;

- Inteiros: Conjunto formado pela união dos números naturais com os números negativos;

- Racionais: Conjunto formado por todos os números que podem ser escritos em forma de fração;

- Reais: Conjunto formado pela união entre os números racionais e os irracionais.

Em seguida, coloque uma questão para a classe do tipo: qual o número que elevado ao quadrado e somado com quatro é igual a zero? Como fica a expressão matemática para essa questão?

Com base na teoria estudada anteriormente, os alunos provavelmente dirão que por resultar em uma raiz quadrada cujo radicando é um número negativo, essa equação não admite raízes reais. O professor poderá explicar então, utilizando como base a história da matemática, que há dois caminhos a seguir: abandonar a busca da solução ou procurar uma forma de resolvê-la. Neste caso, a história aponta que matemáticos criaram um novo conjunto numérico que se denomina Conjunto dos Números Complexos, definindo assim um novo número, ou uma nova ferramenta para essa situação:







A partir dessa explicação será possível abordar os conceitos de Números Complexos na forma algébrica.

Através da resolução do exemplo apresentado anteriormente o professor poderá reforçar a sua explicação mostrando que:

Dando seqüência pode ser apresentada a definição a seguir:

“Um número complexo é uma expressão da forma a + bi, com a e b números reais e i2 = -1”

Vale ressaltar que no número complexo z = a + bi, a é chamado de parte real e b de parte imaginária.

Dando continuidade a aula, poderá ser apresentada a definição de Número Imaginário Puro, explicando aos alunos que assim como um número que não possui parte imaginária é chamado de número real, chamamos de número imaginário puro, aquele em que a parte real é nula.

Para que seja possível realizar a primeira atividade o professor deverá trabalhar os conceitos de oposto e argumento de um número complexo.

Oposto: Assim como no conjunto dos números reais, o simétrico de:

z = a + bi

é o número:

–z = -a - bi

Conjugado: Quando falamos em oposto trabalhamos com a simetria da parte real e da parte imaginária do número complexo, já o conjugado é representado pelo oposto apenas da parte imaginária.

Representamos o conjugado de um número z = a + bi, por:

Para fixar os conceitos apresentados o professor poderá trabalhar com mais exemplos e em seguida abordar a seguinte atividade.

Atividade 1: “Dominó dos Complexos”

Disposição dos Jogadores:

Em grupos de 6 ou 7 alunos, mas as jogadas são individuais.

Material Necessário:

Um jogo de peças para cada grupo (essas peças poderão ser confeccionadas pelo professor, ou pelos próprios alunos, seguindo o modelo abaixo).

Desenvolvimento:

Nessa adaptação do jogo “dominó” os alunos deverão juntar as peças, de forma que se una cada número ao seu oposto ou conjugado. Por exemplo:

Assim como no dominó tradicional vence aquele que conseguir colocar todas suas peças em jogo.

Objetivo:

Perceber se os alunos conseguem identificar e diferenciar o oposto e o conjugado de um número complexo.

Após a atividade o professor poderá trabalhar com os alunos o conceito de Igualdade entre números complexos, ressaltando que dois números complexos são iguais se, e somente se, as partes reais são iguais e as partes imaginárias são iguais, ou seja,

a + bi = c + di a = c e b = d

Dando início ao trabalho com as operações com números complexos, podem ser definidas as operações de adição e subtração.

Adição: ao somarmos dois números complexos adicionamos a parte real do primeiro a parte real do segundo e a parte imaginária do primeiro a parte imaginária do segundo,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Subtração: para reali zar a subtração entre dois números basta somarmos o primeiro ao oposto do segundo,

(a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c - di) = (a - c) + (b - d)i

 Tendo trabalhado exemplos referentes as operações de soma e subtração o professor pode dar início a se gunda atividade.

Atividade 2: “J ogo da Memória”

Disposição dos Jogadores:

Duas equipes.

Material necessário:

Um jogo de Fichas que poderão seguir o modelo abaixo (essas fichas poderão ser confeccionadas pelo professor ou pelos próprios alunos).

Desenvolvimento:

Assim como no jogo tradicional as fichas serão distribuídas sobre uma superfície (mesa) e cada equipe escolherá duas peças por vez tendo encontrar os pares, caso encontre um par a equipe terá direito a mais uma jogada. O que diferencia essa atividade do jogo da memória tradicional é o fato de os alunos terem que encontrar as fichas referentes a uma conta e seu resultado. Por exemplo:

Vence a equipe que juntar o maior número de pares.

Objetivo:

Avaliar a compreensão dos alunos em relação às operações de adição e subtração de números complexos.

Para finalizar essa primeira parte do estudo do Conjunto dos Números Complexos, o professor poderá trabalhar com os conceitos de multiplicação entre dois números complexos.

Multiplicação: para realizar a multiplicação entre dois números complexos utilizamos a propriedade distributiva já trabalhada no conjunto dos números reais,

(a + bi) . (c + di) = (a.c + a.di + c.bi + bdi²) = ac + adi + cbi + (-bd) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Vale ressaltar a igualdade i2 = -1, e aproveitando essa situação o professor já pode trabalhar junto com os alunos as potências de i, induzindo-os a concluir que

E em seguida, pedindo que a turma calcule as próximas potências de i e estabeleçam uma regra geral de potenciação.

Após esse trabalho com a multiplicação que pode ser complementado com exemplos, o professor poderá trabalhar com a terceira atividade.

Atividade 3: “Bingo dos Complexos”

Disposição dos Jogadores:

- Individual ou em duplas.

Material necessário:

- Cartelas (uma para cada aluno ou dupla)

- Fichas de Sorteio

Desenvolvimento:

O professor deverá distribuir as cartelas aos alunos e em seguida começar a sortear as fichas, esse sorteio deverá ser feito de forma que seja dado um tempo aos alunos realizar os cálculos e verificar se existe o resultado encontrado em sua cartela.

Vence aquele que conseguir completar a cartela antes da turma.

Objetivo:

Analisar a compreensão dos conceios de multiplicaçã o de números complexos pelos alunos.

Recursos Complementares

No link: http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/08e-HISTORIA-NC1.pdf o professor encontrará um artigo que conta a história do estudo dos números complexos, além de abordar definições, exemplos e a relação entre o estudo desse conjunto numérico e a Trigonometria.

Em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/complexoshistoria.htm , está disponível um texto que tem como foco principal o surgimento do Números Complexos, citando a participação de figuras históricas, como Cardano e Gauss, no estudo desse conjunto numérico.

Avaliação

Através das atividades realizadas espera-se que seja possível avaliar o conhecimento dos alunos em relação:

- ao reconhecimento e a representação de um número complexo na forma algébrica;

- a identificação da parte real e da parte imaginaria de um número complexo;

- ao trabalho com os conceitos de oposto e conjugado de um número complexo, bem como, a capacidade de resolver problemas envolvendo a igualdade, a soma, a subtração e a multiplicação de números complexos.