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Geometria GEO

Poliedros GEO10

Poliedros GEO1001

 O que é um poliedro ? GEO100101

Poliedro é um sólido limitado por superfícies planas poligonais.

O que são faces, arestas e vértices do poliedro ? GEO100102

  • faces >>> são as superfícies planas poligonais que limitam o poliedro.
  • arestas >>> são os lados das faces do poliedro.
  • vértices >>> são os vértices da faces do poliedro.

  Observação IMPORTANTE sobre as faces do poliedro. GEO100103

No estudo dos sólidos quando nos referimos ao polígono das faces do poliedro fica subtendido que estamos nos referindo à superfície plana limitada pelo polígono.

 Como se classificam os poliedros ? GEO100104

Primeiro critério:
  • poliedro convexo >>> é o poliedros onde o plano de cada face deixa todas as outras faces no mesmo lado do plano.
  • poliedro não-convexo >>> é o poliedro onde o plano de pelo menos uma face divide o poliedro em duas ou mais partes.

Sendo critério:

  • poliedro regular >>> é o poliedro convexo onde todas as suas faces são polígonos regulares iguais.
  • poliedro irregular >>> é aquele que não é regular

  Nomenclatura dos poliedros. GEO100105

A nomenclatura dos poliedros é estabelecida em função do número de faces.
O menor número de faces de um poliedro é 4.
A tabela abaixo mostra alguns exemplos da nomenclatura usada para os poliedros convexos.
Número de faces Nome do poliedro
4 tetraedro
5 pentaedro
6 hexaedro
8 octaedro
12 dodecaedro
20 icosaedro

 

  Qual é o Teorema de Euler ? GEO100106

"Em todo poliedro convexo V - A + F - 2 ",

onde:

  • V >>> número de vértices
  • A >>> número de arestas
  • F >>> número de faces

Qual é o Teorema de Platão ? GEO100107

"Existem 5 e somente 5 poliedros regulares."

Demonstração:
Consideremos um poliedro com F faces, V vértices e A arestas onde cada face tem n lados e cada vértice tem p arestas.
Sabemos que: 


Sabemos ainda que:
n e p são maiores ou iguais a 3 
Fazendo tentativas atribuindo valores crescente a n e p teremos:

n p condição 1 A em 2 F em 3 Polígono
da face
Poliedro
regular
3 3 satisfaz 6 4 triângulo tetraedro
4 3 satisfaz 12 6 quadrado hexaedro
5 3 satisfaz 30 12 pentágono dodecaedro
6 3 não satisfaz - - - -
3 4 satisfaz 12 8 triângulo octaedro
3 5 satisfaz 30 20 triângulo icosaedro
3 6 não satisfaz - - - -

 

 


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