Portal do Professor

Perceberá a importância da matemática numa obra de engenharia civil.

2 aulas de 50 minutos

Operações básicas e noções de geometria

A matemática e, em especial, a geometria, são poderosas ferramentas na construção civil. Não estou falando apenas dos complexos cálculos presentes nos projetos de alta engenharia. A matemática está presente na vida profissional de pedreiros, carpinteiros e demais profissões relacionadas com a execução de uma obra. O que irei propor nesta aula são atividades onde os alunos poderão perceber a importância da matemática nesta temática.

Vou dividir as atividades em três etapas:

Problemas relacionados com:

1. O terreno da construção;
2. A alvenaria, pisos e escadas;
3. E o telhado da construção.

Vamos primeiro analisar atividades relacionadas ao terreno. Existem diversos fatores que influenciam na escolha do local mais adequado da construção. Um deles é a inclinação do terreno. Normalmente as pessoas preferem áreas mais planas, ou seja, com inclinações menores. Através das curvas de nível de uma planta topográfica é possível determinar o relevo do terreno.

Retirada de (http://geographicae.files.wordpress.com/2007/06/topo7.gif)  

Para se construir maquetes a planta topográfica também é utilizada:

Retirada de (http://www.santino.tv/work/1992/contour2.jpg)  

Este tipo de maquete pode render um excelente trabalho interdisciplinar com o professor de geografia. Imagine um trabalho onde, com o mapa topográfico de Petrópolis, os alunos construam com camadas de papelão, a representação do relevo em escala. Agora observe a planta hipotética abaixo. Observe que as curvas têm alturas equidistantes e que, entre os pontos B e C (de 5 a 10 m de altura do lado esquerdo), é onde o terreno se encontra mais plano. Observe também que entre os pontos J e K, o terreno é muito íngreme. Conclua que, numa área da planta, quanto mais afastadas as curvas, mais plano será o terreno.

Imagem do autor

Após a compreensão da leitura dessas plantas o professor pode aplicar diversas atividades. Por exemplo: Disponibilize uma cópia para cada aluno com as atividades abaixo. Peça para os alunos relacionarem a primeira coluna com a segunda:

Imagem do autor

O professor deve orientar os alunos, mostrando como cada correspondência pode ser feita. Já nessa outra, peça para os alunos marcarem na planta a área mais plana e o ponto mais alto. Peça também para que eles desenhem o perfil do terreno no corte indicado (linha vermelha)

Imagem do autor

Os alunos devem encontrar algo parecido com isso:

Imagem do autor

É muito comum usar retângulos para demarcar a base da construção no terreno. O primeiro questionamento que o professor pode fazer a turma é: Como vocês fariam para marcar, com uma linha de nylon, um grande retângulo perfeito num terreno? É comum alunos fazerem sugestões bem interessantes. Explore-as e argumente a viabilidade das sugestões.

Um método muito usado por pedreiros é o das diagonais. O pedreiro marca com estacas um esboço do retângulo respeitando as medidas dos lados.

Imagem do autor

Alguns ajudantes medem as diagonais e reposicionam as estacas. Até que as diagonais tenham medidas iguais:

Imagem do autor

Ressalte para os alunos que essa congruência das diagonais é uma característica do retângulo.

Simule esse experimento no piso da sala de aula usando barbante e giz.

Petrópolis é uma cidade da região serrana com um relevo bastante oscilante. É muito comum observarmos casas construídas em terrenos íngremes. Uma das recomendações de segurança feita pelos engenheiros é quanto à profundidade das colunas das “sapatas” (os pés da casa). Se as sapatas tiverem profundidades diferentes, a sapata mais alta não poderá interferir na sapata mais baixa. A região de maior pressão da sapata mais alta (A) está representada (em cinza) na figura abaixo. Repare que a linha vermelha (a 45° do vetor peso) não passa pela sapata mais baixa (B), logo a norma de segurança foi cumprida.

Imagem do autor

Com base no desenho acima, proponha o seguinte problema para os alunos:

Se a largura da casa mede 6 m e sapata mais alta está a 2 m da base da construção, até que profundidade a sapata mais baixa poderá avançar (em relação à base da casa)?

Os alunos podem encontrar diversas maneiras de solucionar este problema. Mostre essa simples solução:

Imagem do autor

A sapata mais baixa pode ter profundidade de 8 m no máximo.

Durante a construção de uma casa, constantemente os profissionais envolvidos precisam fazer cálculos de áreas para orçar materiais. Um exemplo simples é o cálculo da alvenaria. Quantos tijolos precisarei para concluir a minha obra? Sugiro uma atividade em grupos. Os alunos deverão responder a pergunta acima considerando o desenho abaixo:

Imagem do autor

Dados:

• Dimensões da porta: 2,20 x 0,80 m;
• Dimensões da janela: 2,00 x 1,50 m;
• Dimensões dos tijolos:

Imagem do autor

• Acrescentar 10% do total calculado;
• Arredondar sempre para “cima”.

Monitore cada grupo e interaja nas estratégias adotadas pelos alunos. Os grupos devem encontrar algo em torno de 1013 tijolos. Explique ainda o porquê das diferenças nos resultados encontrados.

Outra atividade, bastante interessante, mostra a aplicação da matemática no cotidiano do pedreiro. Quando um pedreiro precisa construir uma parede, perpendicular a outra parede, ele usa o seguinte método:          

• Ele marca (com dois pregos) uma distância de 60 cm na parede já construída;          
• Com duas linhas, uma de 80 cm e outra de 1m (cada uma presa num prego), ele determina o ponto de encontro entre as extremidades;
• Por fim ele traça uma linha entre o este ponto de encontro com o primeiro prego.

Veja na figura:

Imagem do autor

Antes de expor este método, lance o desafio para os grupos:

Como poderíamos construir uma nova parede perpendicular a uma parede já construída?

Discuta as estratégias manifestadas.

Após a demonstração do método acima, faça os seguintes questionamentos aos grupos:

Como podemos garantir, com este método, que a nova parede será perpendicular a outra?

Que outros valores inteiros o pedreiro poderia usar?  

Por que o pedreiro não usa valores menores, 30, 40 e 50 cm, por exemplo?

A colocação de pisos gera outros problemas matemáticos. Proponha o seguinte problema.

Considere o desenho abaixo e calcule:

Imagem do autor

1. A área do piso de cerâmica (acrescentar 10% do total);
2. A área de grama (acrescentar 10% do total);
3. O custo de materiais (grama e cerâmica), considerando R$ 5,00 o m2 da grama e R$ 15,00 o m² da cerâmica.

Os alunos devem encontrar como respostas:

1. 39,6 m²;
2. 41,65 m²;
3. R$ 802,25

Discuta com os alunos o motivo de se acrescentar 10% nos cálculos. Para finalizar vamos abordar um problema na construção de escadas. Consideremos A  como o afastamento horizontal e H  como a altura. Para um degrau teremos:

Imagem do autor

Vamos, primeiramente, a um problema simples (ainda em grupos). Um carpinteiro construirá uma escada de madeira. Considere uma altura a vencer de 3 m, e degraus de 15 cm de altura e 28 cm de afastamento.

1. Quantos degraus serão necessários?
2. Qual será o afastamento horizontal total?
3. Qual será o ângulo de inclinação (em relação ao solo) da escada?

Os alunos deverão encontrar o seguinte resultado:

Imagem do autor

Agora vamos aumentar a complexidade, e usar a ferramenta Solver do Microsoft Excel. No laboratório de informática, peça para os alunos criarem a planilha abaixo:

Imagem do autor

Com a planilha pronta vamos analisar o problema: Com uma escada, queremos “vencer” 3 m de altura. Vamos imaginar que o engenheiro exigiu que a altura dos degraus ficasse entre 15 e 20 cm e o afastamento de cada degrau entre 20 e 30 cm. Por conta de uma porta, o afastamento total não deve ultrapassar 4,32 m. Quais seriam as alturas e afastamentos ideais dentro dessas condições? Poderia existir mais de uma opção? Quantos degraus a escada teria? Deixe que os alunos modifiquem a planilha em busca de valores ideais. Depois, com ajuda da macro Solver, vamos resolver o problema. Veja:

Imagem do autor

A célula destino é a I9, que deve atingir o valor 432 cm, variando as células E9 e F9, com as restrições listadas. A última restrição é J9 = 0. J9 armazena o resto da divisão da altura total a ser vencida pela altura do degrau. O resultado desta divisão nos dará o número de degraus. Como queremos um número inteiro, o resto desta divisão deverá ser zero. Explore esta estratégia com os alunos.

Veja que a macro Solver pode encontrar mais de uma solução:

Imagem do autor

Discuta com os alunos as vantagens e desvantagens de cada solução. Ainda podemos usar a macro Solver para determinar as dimensões dos degraus tendo um afastamento total mínimo. Para isso basta marcar a opção  Min na macro Solver.

Veja:

Imagem do autor

Repare que com uma altura de 15 cm, e um afastamento de 20 cm em cada degrau, conseguimos um afastamento total de apenas 3,60 m.

Outra discussão que o professor pode propor é quanto à estrutura de andaimes construídos por pedreiros. Discuta com os alunos qual dos andaimes abaixo apresenta maior estabilidade.

Imagem do autor

Relacione as formas usadas nesses andaimes com as propriedades de rigidez que o triângulo apresenta. Esta propriedade pode ser testada com réguas articuladas. Veja:

Imagem do autor

Mostre a importância dessa propriedade dos triângulos nas estruturas das construções:

Disponível em (http://www.lem.ep.usp.br/pef2309/antigo/2002.1/2002pontes/Pontes%20-%20Estradas%20de%20Ferro.htm) 

Vamos agora analisar problemas na construção de telhados.

Antes de propor as atividades vamos conhecer um pouco mais sobre os telhados. As partes planas do telhado, por onde a água desliza, são conhecidas como águas do telhado. Um telhado pode ter:

Imagem do autor

Ou mais.

Algumas madeiras importantes na estrutura de um telhado:

• Frechal: Madeira horizontal, mais baixa, que serve de apoio para caibros e espigões;
• Pontalete: Madeira vertical que serve de apoio para as terças e cumeeira;
• Terça: Madeira horizontal, intermediária entre o frechal e a cumeeira, que serve de apoio para caibros e espigões;
• Cumeeira: Madeira horizontal que fica no cume do telhado; 
• Espigão: Madeira inclinada que fica apoiada nas terças e nos vértices do frechal.
• Caibros: Madeira inclinada que fica apoiada nas terças e no frechal. Servem de apoios as ripas;
• Ripas: Madeira horizontal que serve para fixação das telhas.   

Exiba o vídeo abaixo para que todos compreendam melhor essa nomenclatura usada na estrutura dos telhados:

Disponível em: (http://www.youtube.com/watch?v=KZaSTHikg08) 

Beiral é outro termo muito usado. Beiral é a distância horizontal entre a parede externa e a extremidade do caibro. Veja:

Imagem do autor

É muito comum, profissionais do ramo da construção civil, indicar a inclinação de um telhado em porcentagem.

Por exemplo, um engenheiro fala para o carpinteiro:

_Vamos construir um telhado com inclinação de 30%.

Isto quer dizer que, a cada 100 cm de afastamento horizontal o telhado “subirá” 30 cm.

Com essas informações já podemos propor nossa última atividade. Reúna os alunos em grupos. Informe-os sobre as informações e nomenclaturas citadas acima. Os alunos terão que fazer uma estimativa da quantidade de madeira que será necessária para construir um telhado de duas águas.

Veja as orientações do engenheiro:

Imagem do autor

Os alunos podem ser orientados a criar uma vista superior do telhado.

Imagem do autor

É importante o aluno perceber quais madeiras estão em verdadeira grandeza (alinhadas com o plano horizontal) e quais necessitarão de cálculos trigonométricos para serem determinadas.

Por exemplo:

Para o cálculo do comprimento de um caibro:

Se a inclinação do telhado está a 57%, quer dizer que a cada 100 cm de afastamento horizontal o telhado “subirá” 57 cm.

Imagem do autor

Logo A  é o arco tangente de 0,57 , ou seja, aproximadamente 30°. Observe a figura:

Imagem do autor

O tamanho de um caibro (x) é de aproximadamente 5,77 m

O mesmo questionamento pode ser feito para o cálculo dos pontaletes. Veja:

Imagem do autor

Repare que o comprimento do pontalete maior é o dobro do menor. Faça uma argumentação sobre este fato tendo como base o teorema de Tales ou por semelhança de triângulos. O resultado final pode ser visto na tabela:

Imagem do autor

Estas são apenas algumas ideias que relacionam uma obra de construção civil com a matemática da educação básica. Explore outros fatos. Converse com pedreiros, carpinteiros, engenheiros e arquitetos. Sem dúvida a matemática é de grande relevância para esses profissionais.

Para saber mais de coberturas (telhados): (http://www.youtube.com/watch?v=OYimxbInnow&feature=related) 

Em todas as três atividades, a avaliação é relevante. O professor poderá observar a postura dos alunos diante dos problemas encontrados em cada etapa. O problema do telhado é mais desafiador e é um bom momento para avaliar os alunos.