Determinar o n?mero permuta??es simples de n elementos.

Determinar o n?mero de arranjos e combina??es simples de n elementos tomados p a p.

Analisar a conduta ?tica nos esportes.

3 aulas de 50 minutos

Multiplica??o de N?meros Naturais;

Fatorial;

N?mero Binomial;

Princ?pio Fundamental da contagem;

?rvore das possibilidades.

Professor, para realizar essa aula, encaminhe sua turma para o laborat?rio de inform?tica e solicite aos alunos que se distribuam em, no m?ximo, tr?s alunos por computador.

Solicite a turma que traga giz de cera ou l?pis de cor das cores verde, amarela e azul.

Nota: Para obter a folha impressa com as bandeiras acesse o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/Bandeiras.pdf , tire c?pias e distribua. 

 Imagem da autora

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Atividade 1:

Pintura de bandeiras retangulares com tr?s listras

O objetivo desta atividade ? construir a ?rvore de possibilidades e utiliz?-la na elabora??o do conceito de permuta??o simples.

Fa?a os questionamentos a seguir e pe?a aos alunos para colocarem na folha com o desenho das bandeiras o n?mero de cada item e  pintarem a quantidade necess?ria para satisfazer as condi??es dadas, utilizando apenas as cores verde, amarela e azul.

a). Quantas bandeiras de uma ?nica cor podemos construir?

b). Quantas bandeiras com duas cores diferentes podemos pintar?

c). Quantas bandeiras com tr?s cores diferentes podemos criar?

d). E se n?o houvesse bandeiras para pintar? Represente a situa??o da letra c utilizando a ?rvore de possibilidades.

e). A partir da representa??o feita na letra d, responda:

e.1). Quantas cores podem ser pintadas na primeira listra?

e.2). Ap?s a pintura da primeira, quantas cores podem ser pintadas na segunda listra?

e.3). J? na terceira listra, podemos contar com quantas cores?

e.4). Como voc? pode relacionar estes resultados com o n?mero de bandeiras obtidas?

Reserve um tempo para a explora??o da atividade;

Ap?s o t?rmino do tempo previsto, debata as solu??es com a turma.

Nota: Todas as defini??es e solu??es desta aula encontram-se dispon?veis em  http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf .  Portanto, previamente, imprima, fa?a c?pias e distribua.

Imagem da autora

Observa??o: Deixe claro para todos que ? tamb?m poss?vel pintar a bandeira com apenas uma ou duas cores. Exiba com o uso do Data Show a figura abaixo como exemplos de bandeiras pintadas com apenas duas cores, para facilitar a compreens?o desta observa??o.

 Imagem editada pela autora a partir de  http://www.sogeografia.com.br/Bandeiras/Africa/

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Na letra c, ressalte que a ordem na qual pintamos as listras implica bandeiras diferentes. Exiba o exemplo abaixo, no qual as bandeiras de dois pa?ses do continente africano diferem apenas pela ordem das cores. Tamb?m vale observar que h?, como refer?ncia, a posi??o na qual a bandeira ? presa ao mastro.

Imagem editada pela autora a partir de  http://www.sogeografia.com.br/Bandeiras/Africa/

Na letra d, a turma deve construir a ?rvore de possibilidades, j? na letra e os alunos devem perceber que o n?mero de bandeiras de n listras que devem ser coloridas com n cores diferentes ? dado por n!.

Conte para a turma que este exemplo trata-se de um caso de Permuta??o Simples.

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Atividade 2:

Defini??o de permuta??o simples

Fa?a a constru??o junto com a turma no quadro de giz.  

Definindo Permuta??o Simples: O n?mero de permuta??es simples de n objetos distintos, ou seja, o n?mero de ordens em que podemos colocar n objetos distintos ? P_n = n!.  

Pois, ao escolher o objeto que ocupar? a primeira posi??o dispomos de n op??es; j? a escolha do segundo pode ser feita de n - 1 formas diferentes; para a terceira posi??o contamos com n - 2 possibilidades, etc;  a escolha do objeto que ocupar? o ?ltimo lugar pode ser feita de 1 modo.   

Portanto, temos n . (n - 1) . (n - 2) . ... . 1 = n!   L?-se: Fatorial de n ou n fatorial.   

Nota: Considera-se 0!=1.                                                                               

Pe?a aos alunos fazerem suas anota??es no material recebido no in?cio da aula que se encontra no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf

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Atividade 3:

Aplicando o conceito de permuta??o simples em diferentes contextos

Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/permutacao.html;   

Exiba a p?gina e leia junto com a turma o primeiro exemplo;

Imagem da autora

Solicite sugest?es para resolv?-lo. Reserve um momento para o di?logo e troca de ideias.

Apresente e discuta a resolu??o do exemplo;

Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solu??o, como est? ilustrado na figura abaixo.

Imagem da autora

Repita este processo para os exemplos 2 e 3.

Atividade 4:

Campe?o e vice-campe?o do Campeonato Brasileiro 2010

O objetivo desta atividade ? construir a ?rvore de possibilidades e utiliz?-la na elabora??o do conceito de arranjo simples.

O campeonato brasileiro de 2010 foi decidido na ?ltima rodada. Pergunte a turma os nomes dos times que ficaram nesta situa??o. A turma deve responder Fluminense, Cruzeiro e Corinthians.

Pergunte quais seriam os poss?veis resultados para campe?o e vice-campe?o.

Pe?a aos grupos que construam a ?rvore das possibilidades que representa este problema.

Nota: A turma deve perceber que podemos ter n times para formarem grupos de p elementos onde n ? maior ou igual a p e pergunte utilizando exemplos da ?rvore constru?da se todos compreendem que neste problema a ordem tamb?m importa.

Estabele?a um tempo para a execu??o da atividade.

Ap?s o tempo estabelecido, exiba a ?rvore de possibilidades com o aux?lio do Data Show e esclare?a quaisquer d?vidas dos alunos.

Imagem da autora

Conte aos alunos que este exemplo trata-se de um caso de Arranjo Simples.

Atividade 5:

Defini??o de arranjo simples

                               

Fa?a a constru??o junto com a turma no quadro de giz.

Definindo Arranjo Simples: 

Imagem da autora

Pe?a aos alunos para fazerem anota??es no material que eles receberam, dispon?vel no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf  

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Atividade 6:

Aplicando o conceito de arranjo simples em diferentes contextos

Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/arranjo.html

Exiba a p?gina e leia junto com a turma o primeiro exemplo;

Solicite sugest?es para resolv?-lo. Reserve um momento para o di?logo e troca de ideias.

Apresente e discuta a resolu??o do exemplo;

Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solu??o, como est? ilustrado na figura abaixo.

Imagem da autora

Repita este processo para os exemplos 2 e 3.

Atividade 7:

Um aperto de m?o... uma conduta ?tica no esporte

O objetivo desta atividade ? construir a ?rvore de possibilidades e utiliz?-la na elabora??o do conceito de combina??o simples.

Inicie esta atividade conversando com a turma sobre o tema transversal ?tica, perguntando se algu?m sabe o que ? uma conduta ?tica nos esportes.  

Exemplifique citando que a gentileza do atleta, numa competi??o de esporte coletivo, como o futebol, ao estender a m?o para auxiliar um advers?rio a se levantar ou o cumprimento do vencedor ao vencido, ao t?rmino de uma partida, situam-se como exemplos de ?tica esportiva.  

Solicite um volunt?rio, pe?a ao mesmo que se levante e pergunte quantos cumprimentos ele pode fazer.

Nota: Mostre a imagem com o aux?lio do Data Show para deixar claro como deve ser feito tal cumprimento.

Fonte:  http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSvX2gx7ZOTT-jMqr9oPkEaW-HAYQCKGO3peLd0Xp12t21WUa--um-wEsT5qw

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A turma deve responder que uma pessoa n?o pode cumprimentar outras caso esteja sozinha em um ambiente.

Solicite outro candidato e se nenhum aluno se apresentar, escolha um aleatoriamente. Questione sobre o n?mero cumprimentos que podem ser feitos por duas pessoas.  A turma deve responder um.

Pe?a aos alunos para formarem grupos de quatro componentes e, atrav?s da intera??o, chegarem ao n?mero de apertos de m?o para tr?s e quatro pessoas.

Ap?s esta intera??o, pe?a aos alunos que construam a ?rvore de possibilidades das duas situa??es. Solicite a turma que utilize as letras A, B, C e D na representa??o dos componentes dos grupos para facilitar a corre??o.

Estabele?a um tempo para a execu??o da atividade.

Ao t?rmino do tempo estabelecido, exiba as ?rvores de possibilidades dispon?veis em http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf com o aux?lio do Data Show e verifique com a participa??o de todos as respostas dadas pelos grupos.

Atividade 8:

Defini??o de combina??o simples

                               

Fa?a a constru??o junto com a turma no quadro de giz.

Definindo Combina??o Simples:

Imagem da autora

Pe?a aos alunos para fazerem anota??es no material que eles receberam, dispon?vel no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf  .    

Atividade 9:

Aplicando o conceito de combina??o simples em diferentes contextos

Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/combinacoes.html

Exiba a p?gina e leia junto com a turma o primeiro exemplo;

Solicite sugest?es para resolv?-lo. Reserve um momento para o di?logo e troca de ideias.

Apresente e discuta a resolu??o do exemplo;

Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solu??o, como est? ilustrado na figura abaixo.

Imagem da autora

Repita este processo para os exemplos 2 e 3.

Atividade 10:

Explorando os conceitos constru?dos

Para solidificar os conceitos constru?dos  solicite a turma que acesse os links a seguir e iniciem as atividades.

Determine um tempo para o desenvolvimento da atividade e em seguida, circule pelo laborat?rio para observar o desenvolvimento dos alunos.

Valorize o desenvolvimento do racioc?nio em detrimento da aplica??o de f?rmulas.

• Explorando as permuta??es simples: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/permutacao/permutacao.swf

Imagem editada pela autora a partir de 

http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/permutacao/permutacao.swf

• Explorando os arranjos simples:  http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/arranjo/arranjo.swf    

Imagem editada pela autora a partir de

 http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/arranjo/arranjo.swf

• Explorando as combina??es simples: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/combinacao/combinacao.swf

Imagem editada pela autora a partir de

 http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/combinacao/combinacao.swf

A turma pode utilizar o recurso educacional abaixo para conferir os resultados encontrados.

Combinat?ria 

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Primeiro Momento

O artigo N?mero de regi?es: um problemade contagem  mostra a an?lise de um problema de contagem do n?mero de regi?es no plano que pode ser resolvido de maneira direta, simples e interessante. Acesse o material do Portal do Professor dispon?vel em  http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_4e5.pdf  e fa?a as adapta??es para se adequarem ? realidade da sua sala de aula. 

Obs. Este ? o quarto artigo deste arquivo.

Imagem editada pela autora a partir de

 http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_4e5.pdf  

Segundo Momento

Retome o tema transversal ?tica e mostre algumas reportagens dispon?veis em:

http://www.cidadedofutebol.com.br/Jornal/Colunas/Detalhe.aspx?id=10784   

http://www.futsalbrasil.com.br/artigos/artigo.php?cd_artigo=148

Exiba com o uso do Data show a reportagem O dopping no esporte, exibida em 29/09/2009, integrante de uma s?rie de reportagens que tratam do tema Rio e as Olimp?adas de 2016, para a turma ver um exemplo de conduta anti-?tica, obter informa??es sobre o dopping e tomar conhecimento que o Brasil possui um dos mais modernos laborat?rios antidopping do mundo.

Para tanto acesse o link: http://www.youtube.com/watch?v=Q5SSnb6lKrs&feature=related

Imagem editada pela autora a partir de http://www.youtube.com/watch?v=Q5SSnb6lKrs&feature=related   

Pe?a a turma que pesquise na internet sobre o tema Conduta ?tica e anti-?tica na pr?tica desportiva.

Ap?s a pesquisa, a leitura das reportagens e a apresenta??o do v?deo realize um debate sobre os temas ?tica nos esportes e em sala de aula.

Nome	Tipo
Combinat?ria	Software Educacional

Fontes de pesquisa:

1. Aulas que complementam o assunto:

A Matem?tica nos Esportes: Analisando Dados em Gr?ficos Setoriais - http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22698

2. Sobre o tema transversal ?tica:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro082.pdf  

http://www.apagina.pt/?aba=7&cat=167&doc=12358&mid=2

http://www.revistadeeducacaofisica.com.br/artigos/2004/condutaseticas.pdf

3. Sobre as defini??es:

As defini??es foram adaptadas do livro Matem?tica, volume ?nico: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. 1 ed. ? S?o Paulo: ?tica ? 2005.

Link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/Livro.pdf

4. Software Nippe Descartes            

O grupo de pesquisa ?Tecnologias no Ensino da Matem?tica?, vinculado ao Projeto Fund?o, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipula??o ?gil e simples de janelas gr?ficas aplic?veis a qualquer p?gina web. Este grupo re?ne-se semanalmente e se prop?e a desenvolver aplica??es espec?ficas para apresenta??o de conte?dos do Ensino M?dio.

P?gina do Projeto Fund?o:  http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/

Para visualizar as atividades o professor deve:

a). Baixar o software Java dispon?vel em: http://www.java.com/pt_BR/download/

b). Baixar o arquivo contendo as atividades.   

Aplica??o de problemas visando a avalia??o do conte?do apresentado.

O link abaixo apresenta sugest?es de exerc?cios para serem aplicados ao final desta aula.

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaCombAluno.pdf

As solu??es dos problemas propostos se encontram no link abaixo:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaCombProfessor.pdf