Rita Maria Cardoso Meirelles, Ivail Muniz Junior, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes, Clayton Gon?alves Silva
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Educa??o de Jovens e Adultos - 2? ciclo | Matem?tica | Estat?stica, probabilidade e combinat?ria |
Ensino Fundamental Final | Matem?tica | Tratamento da informa??o |
Ensino M?dio | Matem?tica | An?lise de dados e probabilidade |
Ensino M?dio | Educa??o F?sica | Esporte: Valores culturais |
Ensino M?dio | Matem?tica | Tecnologia para a matem?tica |
Determinar o n?mero permuta??es simples de n elementos.
Determinar o n?mero de arranjos e combina??es simples de n elementos tomados p a p.
Analisar a conduta ?tica nos esportes.
Multiplica??o de N?meros Naturais;
Fatorial;
N?mero Binomial;
Princ?pio Fundamental da contagem;
?rvore das possibilidades.
Professor, para realizar essa aula, encaminhe sua turma para o laborat?rio de inform?tica e solicite aos alunos que se distribuam em, no m?ximo, tr?s alunos por computador.
Solicite a turma que traga giz de cera ou l?pis de cor das cores verde, amarela e azul.
Nota: Para obter a folha impressa com as bandeiras acesse o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/Bandeiras.pdf , tire c?pias e distribua.
Imagem da autora
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O objetivo desta atividade ? construir a ?rvore de possibilidades e utiliz?-la na elabora??o do conceito de permuta??o simples.
Fa?a os questionamentos a seguir e pe?a aos alunos para colocarem na folha com o desenho das bandeiras o n?mero de cada item e pintarem a quantidade necess?ria para satisfazer as condi??es dadas, utilizando apenas as cores verde, amarela e azul.
a). Quantas bandeiras de uma ?nica cor podemos construir?
b). Quantas bandeiras com duas cores diferentes podemos pintar?
c). Quantas bandeiras com tr?s cores diferentes podemos criar?
d). E se n?o houvesse bandeiras para pintar? Represente a situa??o da letra c utilizando a ?rvore de possibilidades.
e). A partir da representa??o feita na letra d, responda:
e.1). Quantas cores podem ser pintadas na primeira listra?
e.2). Ap?s a pintura da primeira, quantas cores podem ser pintadas na segunda listra?
e.3). J? na terceira listra, podemos contar com quantas cores?
e.4). Como voc? pode relacionar estes resultados com o n?mero de bandeiras obtidas?
Reserve um tempo para a explora??o da atividade;
Ap?s o t?rmino do tempo previsto, debata as solu??es com a turma.
Nota: Todas as defini??es e solu??es desta aula encontram-se dispon?veis em http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf . Portanto, previamente, imprima, fa?a c?pias e distribua.
Imagem da autora
Observa??o: Deixe claro para todos que ? tamb?m poss?vel pintar a bandeira com apenas uma ou duas cores. Exiba com o uso do Data Show a figura abaixo como exemplos de bandeiras pintadas com apenas duas cores, para facilitar a compreens?o desta observa??o.
Imagem editada pela autora a partir de http://www.sogeografia.com.br/Bandeiras/Africa/
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Na letra c, ressalte que a ordem na qual pintamos as listras implica bandeiras diferentes. Exiba o exemplo abaixo, no qual as bandeiras de dois pa?ses do continente africano diferem apenas pela ordem das cores. Tamb?m vale observar que h?, como refer?ncia, a posi??o na qual a bandeira ? presa ao mastro.
Imagem editada pela autora a partir de http://www.sogeografia.com.br/Bandeiras/Africa/
Na letra d, a turma deve construir a ?rvore de possibilidades, j? na letra e os alunos devem perceber que o n?mero de bandeiras de n listras que devem ser coloridas com n cores diferentes ? dado por n!.
Conte para a turma que este exemplo trata-se de um caso de Permuta??o Simples.
Fa?a a constru??o junto com a turma no quadro de giz.
Definindo Permuta??o Simples: O n?mero de permuta??es simples de n objetos distintos, ou seja, o n?mero de ordens em que podemos colocar n objetos distintos ? Pn = n!.
Pois, ao escolher o objeto que ocupar? a primeira posi??o dispomos de n op??es; j? a escolha do segundo pode ser feita de n - 1 formas diferentes; para a terceira posi??o contamos com n - 2 possibilidades, etc; a escolha do objeto que ocupar? o ?ltimo lugar pode ser feita de 1 modo.
Portanto, temos n . (n - 1) . (n - 2) . ... . 1 = n! L?-se: Fatorial de n ou n fatorial.
Nota: Considera-se 0!=1.
Pe?a aos alunos fazerem suas anota??es no material recebido no in?cio da aula que se encontra no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf
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Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/permutacao.html;
Exiba a p?gina e leia junto com a turma o primeiro exemplo;
Imagem da autora
Solicite sugest?es para resolv?-lo. Reserve um momento para o di?logo e troca de ideias.
Apresente e discuta a resolu??o do exemplo;
Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solu??o, como est? ilustrado na figura abaixo.
Imagem da autora
Repita este processo para os exemplos 2 e 3.
O objetivo desta atividade ? construir a ?rvore de possibilidades e utiliz?-la na elabora??o do conceito de arranjo simples.
O campeonato brasileiro de 2010 foi decidido na ?ltima rodada. Pergunte a turma os nomes dos times que ficaram nesta situa??o. A turma deve responder Fluminense, Cruzeiro e Corinthians.
Pergunte quais seriam os poss?veis resultados para campe?o e vice-campe?o.
Pe?a aos grupos que construam a ?rvore das possibilidades que representa este problema.
Nota: A turma deve perceber que podemos ter n times para formarem grupos de p elementos onde n ? maior ou igual a p e pergunte utilizando exemplos da ?rvore constru?da se todos compreendem que neste problema a ordem tamb?m importa.
Estabele?a um tempo para a execu??o da atividade.
Ap?s o tempo estabelecido, exiba a ?rvore de possibilidades com o aux?lio do Data Show e esclare?a quaisquer d?vidas dos alunos.
Imagem da autora
Conte aos alunos que este exemplo trata-se de um caso de Arranjo Simples.
Fa?a a constru??o junto com a turma no quadro de giz.
Definindo Arranjo Simples:
Imagem da autora
Pe?a aos alunos para fazerem anota??es no material que eles receberam, dispon?vel no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf
Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/arranjo.html
Exiba a p?gina e leia junto com a turma o primeiro exemplo;
Solicite sugest?es para resolv?-lo. Reserve um momento para o di?logo e troca de ideias.
Apresente e discuta a resolu??o do exemplo;
Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solu??o, como est? ilustrado na figura abaixo.
Imagem da autora
Repita este processo para os exemplos 2 e 3.
O objetivo desta atividade ? construir a ?rvore de possibilidades e utiliz?-la na elabora??o do conceito de combina??o simples.
Inicie esta atividade conversando com a turma sobre o tema transversal ?tica, perguntando se algu?m sabe o que ? uma conduta ?tica nos esportes.
Exemplifique citando que a gentileza do atleta, numa competi??o de esporte coletivo, como o futebol, ao estender a m?o para auxiliar um advers?rio a se levantar ou o cumprimento do vencedor ao vencido, ao t?rmino de uma partida, situam-se como exemplos de ?tica esportiva.
Solicite um volunt?rio, pe?a ao mesmo que se levante e pergunte quantos cumprimentos ele pode fazer.
Nota: Mostre a imagem com o aux?lio do Data Show para deixar claro como deve ser feito tal cumprimento.
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A turma deve responder que uma pessoa n?o pode cumprimentar outras caso esteja sozinha em um ambiente.
Solicite outro candidato e se nenhum aluno se apresentar, escolha um aleatoriamente. Questione sobre o n?mero cumprimentos que podem ser feitos por duas pessoas. A turma deve responder um.
Pe?a aos alunos para formarem grupos de quatro componentes e, atrav?s da intera??o, chegarem ao n?mero de apertos de m?o para tr?s e quatro pessoas.
Ap?s esta intera??o, pe?a aos alunos que construam a ?rvore de possibilidades das duas situa??es. Solicite a turma que utilize as letras A, B, C e D na representa??o dos componentes dos grupos para facilitar a corre??o.
Estabele?a um tempo para a execu??o da atividade.
Ao t?rmino do tempo estabelecido, exiba as ?rvores de possibilidades dispon?veis em http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf com o aux?lio do Data Show e verifique com a participa??o de todos as respostas dadas pelos grupos.
Fa?a a constru??o junto com a turma no quadro de giz.
Definindo Combina??o Simples:
Imagem da autora
Pe?a aos alunos para fazerem anota??es no material que eles receberam, dispon?vel no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf .
Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/combinacoes.html
Exiba a p?gina e leia junto com a turma o primeiro exemplo;
Solicite sugest?es para resolv?-lo. Reserve um momento para o di?logo e troca de ideias.
Apresente e discuta a resolu??o do exemplo;
Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solu??o, como est? ilustrado na figura abaixo.
Imagem da autora
Repita este processo para os exemplos 2 e 3.
Para solidificar os conceitos constru?dos solicite a turma que acesse os links a seguir e iniciem as atividades.
Determine um tempo para o desenvolvimento da atividade e em seguida, circule pelo laborat?rio para observar o desenvolvimento dos alunos.
Valorize o desenvolvimento do racioc?nio em detrimento da aplica??o de f?rmulas.
Imagem editada pela autora a partir de
http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/permutacao/permutacao.swf
Imagem editada pela autora a partir de
http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/arranjo/arranjo.swf
Imagem editada pela autora a partir de
http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/combinacao/combinacao.swf
A turma pode utilizar o recurso educacional abaixo para conferir os resultados encontrados.
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O artigo N?mero de regi?es: um problemade contagem mostra a an?lise de um problema de contagem do n?mero de regi?es no plano que pode ser resolvido de maneira direta, simples e interessante. Acesse o material do Portal do Professor dispon?vel em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_4e5.pdf e fa?a as adapta??es para se adequarem ? realidade da sua sala de aula.
Obs. Este ? o quarto artigo deste arquivo.
Imagem editada pela autora a partir de
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_4e5.pdf
Retome o tema transversal ?tica e mostre algumas reportagens dispon?veis em:
http://www.cidadedofutebol.com.br/Jornal/Colunas/Detalhe.aspx?id=10784
http://www.futsalbrasil.com.br/artigos/artigo.php?cd_artigo=148
Exiba com o uso do Data show a reportagem O dopping no esporte, exibida em 29/09/2009, integrante de uma s?rie de reportagens que tratam do tema Rio e as Olimp?adas de 2016, para a turma ver um exemplo de conduta anti-?tica, obter informa??es sobre o dopping e tomar conhecimento que o Brasil possui um dos mais modernos laborat?rios antidopping do mundo.
Para tanto acesse o link: http://www.youtube.com/watch?v=Q5SSnb6lKrs&feature=related
Imagem editada pela autora a partir de http://www.youtube.com/watch?v=Q5SSnb6lKrs&feature=related
Pe?a a turma que pesquise na internet sobre o tema Conduta ?tica e anti-?tica na pr?tica desportiva.
Ap?s a pesquisa, a leitura das reportagens e a apresenta??o do v?deo realize um debate sobre os temas ?tica nos esportes e em sala de aula.
Nome | Tipo |
---|---|
Combinat?ria | Software Educacional |
Fontes de pesquisa:
1. Aulas que complementam o assunto:
A Matem?tica nos Esportes: Analisando Dados em Gr?ficos Setoriais - http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22698
2. Sobre o tema transversal ?tica:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro082.pdf
http://www.apagina.pt/?aba=7&cat=167&doc=12358&mid=2
http://www.revistadeeducacaofisica.com.br/artigos/2004/condutaseticas.pdf
3. Sobre as defini??es:
As defini??es foram adaptadas do livro Matem?tica, volume ?nico: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. 1 ed. ? S?o Paulo: ?tica ? 2005.
Link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/Livro.pdf
4. Software Nippe Descartes
O grupo de pesquisa ?Tecnologias no Ensino da Matem?tica?, vinculado ao Projeto Fund?o, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipula??o ?gil e simples de janelas gr?ficas aplic?veis a qualquer p?gina web. Este grupo re?ne-se semanalmente e se prop?e a desenvolver aplica??es espec?ficas para apresenta??o de conte?dos do Ensino M?dio.
P?gina do Projeto Fund?o: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/
Para visualizar as atividades o professor deve:
a). Baixar o software Java dispon?vel em: http://www.java.com/pt_BR/download/
b). Baixar o arquivo contendo as atividades.
Aplica??o de problemas visando a avalia??o do conte?do apresentado.
O link abaixo apresenta sugest?es de exerc?cios para serem aplicados ao final desta aula.
http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaCombAluno.pdf
As solu??es dos problemas propostos se encontram no link abaixo:
http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaCombProfessor.pdf