Portal do Professor

• Entender o conceito de s?rie uniforme de pagamentos;
• Determinar o valor atual e/ou valor nominal de uma s?rie uniforme de pagamentos;
• Calcular o valor das presta??es do financiamento mais comum utilizado no mercado atualmente;
• Calcular o valor futuro de uma s?rie de pagamentos e sua aplica??o no planejamento financeiro de uma aposentadoria complementar.

Duas aulas de 50 minutos

• Porcentagem;
• Fator de atualiza??o. ? importante que o aluno saiba que um capital C, aumentado de uma taxa i, fica multiplicado por (1 + i). Veja a aula: Matem?tica Financeira: O valor do dinheiro no tempo  (http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25767) 
• Progress?es Geom?tricas.

Prezado professor, este assunto, apesar de simples de ser compreendido, raramente ? abordado no Ensino M?dio e muito menos no Ensino Fundamental. A matem?tica para se compreend?-lo ? elementar.

A primeira coisa importante ? saber o que ? uma s?rie uniforme de pagamentos.

Quando uma pessoa financia um autom?vel, uma geladeira, uma televis?o, um pacote de viagens, ou um seguro de auto, ou qualquer outro bem/servi?o em presta??es mensais e iguais, por exemplo, a s?rie de pagamentos ? dita uniforme.  

De um modo geral uma s?rie de pagamentos ? dita uniforme, quando as quantias t?m o mesmo valor e est?o igualmente distribu?das no tempo.   

Nessa aula vamos aprender como calcular o valor atual de uma s?rie de presta??es, bem como calcular o valor de cada termo da s?rie (de cada presta??o), a partir do valor atual do bem.   

Esse assunto ? uma das aplica??es mais interessantes proporcionadas pela Matem?tica estudada no Ensino M?dio. De um modo geral, a progress?o geom?trica ? a base para a compreens?o de diversas situa??es financeiras que ser?o abordadas nas pr?ximas atividades.

Vamos ? aula.

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ATIVIDADE 1

Nessa atividade veremos como calcular o valor de uma presta??o a partir do n?mero de parcelas, da taxa de juros e do valor atual do bem.

1) Divida a turma em duplas e inicie uma discuss?o sobre compra a prazo. Pergunte quem j? comprou algum produto financiado.   

2) Pergunte aos alunos como se calcularia o valor das presta??es, se eles soubessem a taxa de juros. Ser? que as taxas s?o veiculadas corretamente?   

3) Proponha o seguinte problema para iniciar a discuss?o.   

Walter deseja comprar uma televis?o, cujo pre?o ? vista ? R$ 2.000,00, em uma loja que cobra juros de 5% ao m?s. Walter opta, inicialmente, por parcelar em duas vezes, no sistema (0 + 2), ou seja, nada na entrada, e duas presta??es mensais iguais, com a primeira para 30 e outra para 60 dias ap?s a compra. Walter foi informado de que a presta??o ficaria em R$ 1.075,61.   

a) O valor das presta??es no texto est? correto? Para essa verifica??o, preencha a tabela abaixo.   

b) Justifique sua resposta atrav?s de c?lculos. (Se quiser, utilize a tabela abaixo para auxili?-lo)

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m?s	D?vida	Pagamento	Saldo devedor
0	2000	0	2000
1	?	?	?
2	?	?	?

Imagem do autor.

c) Como voc? calcularia o valor das presta??es, usando simplesmente a ideia de que voc? deve pagar juros sobre o saldo devedor?     

d) Como voc? calcularia o valor das presta??es, utilizando a equival?ncia de capitais?    

e) Determine o valor das presta??es nas seguintes op??es de financiamento:

e1) (0 + 3)

e2) (1 + 2)

e3) (1 + 3)   

4) Agora amplie a discuss?o, mostrando que com poucas presta??es, o problema pode at? ser resolvido sem o conceito de equival?ncia de capitais. Mas e se fossem 10 presta??es?   

5) Proponha agora que determinem o valor da presta??o se o produto fosse financiado em 10 vezes. D? um tempo para que percebam que m?todos anteriores, sem equival?ncia, s?o extremamente trabalhosos.   

6) O professor, depois desse tempo, deve conduzir a aula para a an?lise do problema utilizando o conceito de equival?ncia de capitais.   

7) Pe?a aos alunos para montarem um fluxo de pagamentos utilizando as setas, semelhante ao apresentado abaixo.

Imagem do autor.

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Temos que trazer os valores para uma mesma ?poca. Vamos considerar a data O como a data focal.  

Assim temos:

O lado direito da equa??o ? a soma de uma progress?o geom?trica, com a₁ = P/1,05 e q = 1,05^-1, ou de outro modo, a₁ = P/1,05¹⁰ e q = 1,05. Lembrando que a soma dos termos de uma P.G. com n termos, raz?o q e termo inicial a₁ ? dada por:

Aplicando, temos que:

Logo o valor da presta??o ? R$ 259,01.     

8) Pe?a aos alunos para calcularem outros prazos para refor?ar os conceitos e ampliar o dom?nio dos procedimentos.   

9) Incentivamos o professor a construir com a turma o Caso Geral, onde

onde F = 1 + i.

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ATIVIDADE 2

Nessa atividade veremos como calcular o valor de uma presta??o a partir do n?mero de parcelas, da taxa de juros e do valor atual do bem, utilizando a equival?ncia de capitais.

1) Apresente aos alunos a propaganda abaixo.

Imagem do autor.   

Nesse an?ncio h? um s?rie de informa??es financeiras. Os alunos dever?o analis?-las. Apresentamos abaixo uma proposta de roteiro para essa an?lise:   

a) Qual o percentual de desconto oferecido pela loja, em rela??o ao pre?o original, para quem compra a TV ? vista?     

b) Explique porque a taxa mensal de 1,99% ao m?s ? equivalente a 26,67% ao ano.     

c) Determine o valor da presta??o anunciada, em 10 vezes no cart?o.     

d) Se a primeira presta??o fosse paga 2 meses ap?s a compra, seu valor mudaria? Para quanto? Por que?     

e) O C?DIGO DE DEFESA DO CONSUMIDOR determina o an?ncio das taxas mensais e anuais equivalentes, bem como o ?TOTAL A PRAZO?. Infelizmente esse valor total a prazo sugere muitos equ?vocos. Explique um equ?voco que pode ser cometido a partir desse valor.   

f) O professor pode, inclusive refor?ar a import?ncia do c?digo de defesa do consumidor, que est? dispon?vel no link abaixo:

http://www.emdefesadoconsumidor.com.br/codigo/codigo-de-defesa-do-consumidor.pdf  

g) Pedir aos alunos que apresentem, em grupos, as considera??es finais sobre a atividade (incluindo a solu??o das quest?es propostas (itens a at? e)) e a pesquisa sobre o C?digo de Defesa do Consumidor.

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ATIVIDADE 3   

Nessa atividade veremos alguns cuidados b?sicos que o cidad?o deve ter na hora de comprar e financiar ve?culos. Tais cuidados podem evidentemente ser aplicados em muitos outros casos de financiamentos. Aproveitaremos para avaliar os conhecimentos aprendidos sobre s?ries uniformes.

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1) Inicie a atividade com o v?deo dispon?vel no endere?o abaixo:

http://www.youtube.com/watch?v=CqLaVG-UsK8   

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Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=CqLaVG-UsK8

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2) Discuta por no m?ximo 10 minutos, como ? importante que o consumidor tenha consci?ncia dos seus direitos e de como a Matem?tica pode ajudar nisso.   

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3) Divida a turma em grupos e proponha um estudo simples de caso, conforme apresentado abaixo: 

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O CASO DA FAM?LIA AFOBADA.   

Na compra de um carro zero, a fam?lia AFOBADA, est? prestes a fazer o seguinte neg?cio:   

Valor do carro ? vista: R$ 30.000,00

Valor do carro da fam?lia = R$ 14.000,00. (em bom estado de conserva??o e com baixo custo de manuten??o)

Taxa do financiamento = 1,5% ao m?s.

N?mero de presta??es = 48 mensais, com a primeira para daqui a 30 dias.

TAC ? Taxa de abertura de cr?dito = R$ 800,00 (pode ser paga ? vista ou somada ao valor a ser financiado).   

Especialistas dizem que uma fam?lia n?o deve comprometer mais de 30% da renda familiar com um financiamento.   

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Quest?es para discuss?o:   

a) O valor da presta??o, se a fam?lia pagou o TAC ? vista.   

b) O valor da presta??o, se a fam?lia optou por financiar a TAC junto com o saldo devedor.   

c) Se a renda mensal da fam?lia ? de R$ 1.500,00, a op??o de compra do carro ? recomend?vel?   

d) Do ponto de vista financeiro, qual a melhor decis?o? Discuta v?rias possibilidades.   

e) De quanto deveria ser a renda mensal para que a presta??o representasse apenas 20% da Renda mensal dessa fam?lia.   

f) Estabele?a rela??es entre o v?deo apresentado e o estudo de caso que voc?s acabaram de analisar.     

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4) Encerre a atividade concluindo sobre a import?ncia da educa??o financeira e dos conceitos aprendidos na an?lise de situa??es reais com as quais a popula??o tem lidado.

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ATIVIDADE 4

Nessa atividade veremos como um cidad?o pode programar uma poupan?a para complementar sua aposentadoria.

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1) Inicie comentando os ?ltimos dados do IBGE sobre o aumento da expectativa de vida e suas consequ?ncias para a popula??o. Sugerimos dois textos para motivar e iniciar essa discuss?o.

Os brasileiros est?o vivendo mais e, por isso, precisar?o trabalhar por um per?odo de tempo maior para ter direito aos benef?cios previstos em lei. A nova expectativa de vida, divulgada ontem pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat?stica (IBGE), altera o fator previdenci?rio, a f?rmula de c?lculo que a Previd?ncia Social usa para chegar ao valor das aposentadorias e das pens?es por tempo de contribui??o e que combina a idade do solicitante, a expectativa de vida e o tempo de pagamento ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) ? que deve ser de, no m?nimo, 35 anos para o homem e 30 para a mulher.

Dispon?vel em http://www.correiodoestado.com.br/noticias/aumento-da-expectativa-de-vida-altera-fator-previdenciario_88708/.  

Acessado em 06 de Dezembro de 2010.

A expectativa de vida dos brasileiros ao nascer era de 73,17 anos em 2009, o que representa aumento de 10 anos, 7 meses e 6 dias em rela??o a 1980, como divulgou nesta quarta-feira o Instituto Brasileiro de Geografia e Estat?stica (IBGE).  Isso significa que a expectativa de vida dos brasileiros aumentou em m?dia anual de 4 meses e 12 dias nas ?ltimas tr?s d?cadas gra?as ? redu??o da mortalidade infantil e aos avan?os na sa?de.  A expectativa de vida, um dos indicadores utilizados pela ONU para medir o ?ndice de Desenvolvimento Humano, pode chegar a 81,29 anos no Brasil em 2050.

Comparativamente, o Brasil ainda est? longe dos ?ndices alcan?ados por pa?ses como Jap?o (82,7 anos), Isl?ndia (81,8), Fran?a (81,2) e Canad? (80,7), que s?o os primeiros da lista, conforme os dados das Na??es Unidas citados pelo IBGE.     

Brasil ? superado por outros pa?ses ibero-americanos como Costa Rica (78,8 anos), Portugal (78,7), Cuba (78,6), Chile (78,5), Uruguai (76,2), M?xico (76,1), Argentina (75,2) e Venezuela (73,8). No entanto, o pa?s supera outros como Col?mbia (72,8 anos), Paraguai (71,8), El Salvador (71,4), Bol?via (65,5) e Haiti (61,2).

Dispon?vel em http://noticias.terra.com.br/mundo/noticias/0,,OI4821004-EI294,00-Expectativa+de+vida+dos+brasileiros+sobe+para+anos+em.html.  

Acessado em 02/12/2010.

2) Apresente aos alunos como ? poss?vel complementar a aposentadoria atrav?s de disciplina e uma boa taxa de investimento.     

3) Apresente a seguinte situa??o:     

Sr. Fernando deseja complementar sua aposentadoria. Come?a a depositar R$ 100,00 mensais durante 30 anos, come?ando no dia 01 de Janeiro de 2010, em um investimento com rentabilidade de 1% ao m?s.   

a) Quantos reais ter? Sr. Fernando exatamente na data do ?ltimo dep?sito (inclusive) ao final desse per?odo?   

b) Considerando que viva exatamente mais 20 anos, qual a ?aposentadoria? mensal que sua ?poupan?a? lhe permitir?? Considere que do dinheiro poupado, a aposentadoria mensal ser? sacada, e o saldo continuar? aplicado, repetindo-se esse processo at? o final de sua vida estimada.   

c) Monte esse fluxo no Excel.   

d) Os resultados est?o apresentados na tabela abaixo.   

e) Nas tabelas que se seguem, temos algumas simula??es. Na planilha em anexo, voc? pode simular o que acontece com a aposentadoria se a taxa variar, se o valor depositado aumentar, de forma independente.

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Dep?sitos mensais	100
meses	360
taxa	1%
Montante	R$ 349.496,41
?	?
Valor acumulado	R$ 349.496,41
meses	240
taxa	1%
Aposentadoria	R$ 3.848,26

Imagem do autor.

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Dep?sitos mensais	200
meses	360
taxa	1%
Montante	R$ 698.992,83
?	?
Valor acumulado	R$ 698.992,83
meses	240
taxa	1%
Aposentadoria	R$ 7.696,51

Imagem do autor.

?

Dep?sitos mensais	100
meses	360
taxa	2%
Montante	R$ 6.232.805,64
?	?
Valor acumulado	R$ 6.232.805,64
meses	240
taxa	2%
Aposentadoria	R$ 125.741,13

Imagem do autor.

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10) Incentivamos o professor a construir com a turma o caso Geral, onde o VF = VP.Fn, onde VP est? calculado na atividade 2.

Aulas do Portal do Professor

Juros Compostos e P.G. 

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=24132)

Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos     

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9932) 

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V?deos

Consumo e or?amento das fam?lias.

http://www.youtube.com/watch?v=51mbDDhq9gQ    

Planejamento Financeiro.

http://www.youtube.com/watch?v=rp39kUJSuZg    

Uma aula especial de Matem?tica Financeira, ministrada pelo Professor Augusto C. de O. Morgado, est? dispon?vel em http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2007. N?O DEIXE DE ASSISTIR!!! 

• Avaliação individual. Aplicar problemas e situações em que o aluno mostre como utilizar os conceitos apresentados para atacar e resolver situações financeiras.
• Avaliação coletiva. Resolução de problemas que requeiram pesquisa de informações na Internet, como por exemplo, anúncio de financiamentos de produtos e serviços via internet.  
• Avaliação através de estudo de casos, como o apresentado acima, que pode culminar com uma semana de seminários.