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Fractal e suas aplica??es

2 aulas de 50 minutos

Sequ?ncias num?ricas

"Nuvens n?o s?o esferas, montanhas n?o s?o cones, continentes n?o s?o c?rculos, o som do latido n?o ? cont?nuo e nem o raio viaja em linha reta."
(Beno?t Mandelbrot, em seu livro "The Fractal Geometry of Nature" - 1983)

Fractais (do latim fractus, fra??o, quebrado) s?o figuras de uma geometria, elaborada pelo matem?tico polon?s Benoit Mandelbrot, diferente da que estudamos convencionalmente nas escolas (a Geometria Euclidiana). Um fractal ? um objeto geom?trico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais com a presen?a de caracter?sticas semelhantes ao objeto original. Os mais conhecidos s?o auto-similares, independem de escala e podem ser gerados por um padr?o matem?tico repetido n vezes. A geometria fractal ? usada para descrever muitas situa??es onde a Geometria Euclidiana "encontra" dificuldades por conta da complexidade a ser considerada. O contorno dos litorais, nuvens, relevo, montanhas, turbul?ncias, ?rvores, crescimento de popula??es, vasos sang??neos, br?nquios e bronqu?olos podem ser descritos utilizando as propriedades dos fractais.

Como primeira atividade sugiro uma pesquisa sobre o tema no laborat?rio de inform?tica. Os alunos dever?o buscar, nos sites de pesquisa, informa??es sobre o tema. Sugiro os sites:

(http://www.insite.com.br/fractarte/artigos/superinteressante.php)

(http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_divertida/Fractais_e_o_infinitamente_pequeno)

(http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal)

Incentive-os a pesquisar pelos principais tipos de fractais:

? importante que os alunos percebam a propriedade de auto-semelhan?a dos fractais, bem como a sua constata??o na natureza. Para isso sugiro o v?deo:

V?deo do autor dispon?vel em (http://www.youtube.com/watch?v=wuZ7s7PL7Vc)

As imagens abaixo mostram este comportamento num tipo de couve-flor:

Dispon?vel em (http://www.flickr.com/photos/28481088@N00/3181255999/)

Dispon?vel em (http://www.flickr.com/photos/adamsfan/2668397504/)

O v?deo abaixo mostra um "zoom" num fractal baseado no conjunto de Mandelbrot. Repare a constante repeti??o de um padr?o gr?fico.

Dispon?vel em (http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=WAJE35wX1nQ#)

Sugiro tamb?m uma pesquisa sobre artes visuais com fractais. Indico as galerias:

Dispon?vel em (http://www.insite.com.br/fractarte/galeria2/galeria.php)

Dispon?vel em (http://galeria-arte-e-manhas.blogspot.com/2009/06/fractais-3d-lindas-imagens-feitas-com.html)

Dispon?vel em (http://sobredotado.com/arte-digital-mainmenu-42/wallpapers-2d-mainmenu-46/146-a-arte-fractal-)

Dispon?vel em (http://www.flickr.com/photos/011art/2368643947/)

E para finalizar, podemos tamb?m abordar o uso de fractais na m?sica. Os alunos podem experimentar duas m?sicas em: (http://materialguilherme.webnode.com.br/news/musicas-fractais-/)

Para finalizar, fa?a um f?rum onde cada aluno poder? expor seus achados.

Nesta segunda atividade proponho a cria??o de alguns fractais pelos alunos. Ainda no laborat?rio de inform?tica, sugiro o uso do software:

Dispon?vel em (http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=17)

O software ? muito simples. Para visualizar os fractais basta selecionar um dos tipos dispon?veis (bot?es grandes no topo do aplicativo) e clicar no bot?o play. Por?m, o software oferece o recurso onde o pr?prio aluno poder? criar seus pr?rprios fractais. Veja como ? simples:

Vamos fazer um exemplo:

Pe?a para os alunos clicarem no bot?o que tem o desenho de uma folha de papel em branco. O painel Now estar? em destaque. Solicite que eles fa?am uma linha horizontal

Pe?a agora para que eles clicarem no painel Next e reproduzirem o desenho abaixo

Agora ? s? clicar no bot?o "+" para ver cada etapa do fractal. Este fractal ? conhecido como A Curva de Koch

As possibilidades s?o infinitas. Deixe que os alunos experimentem livremente o software. Veja algumas id?ias criativas abaixo:

?

Na sala de aula, o professor pode propor outra atividade onde os alunos construir?o um fractal numa folha de papel A4.

Veja como ? simples:

Primeiramente, distribua uma folha de papel A4 para cada aluno. Acompanhe o processo:

1) Dobre a folha ao meio;

2) Fa?a dois cortes como na figura;

3) A linha tracejada representa onde ser? feita uma dobra;

4) Dobre conforme a figura;

5) Esta ? a primeira itera??o do fractal.

Abra as dobras de maneira que fique como no desenho abaixo

Vamos agora fazer outras itera??es:

6) Dobre novamente como no ?ltimo passo da sequ?ncia anterior;

7) Fa?a novamente dois corte como na figura;

8) Marca da dobra;

9) Dobre conforma a figura (est? pronta a segunda itera??o);

10) Voltando ? dobra anterior pode se fazer o corte para a terceira itera??o;

Veja o resultado na foto seguinte

Agora lance um desafio. Ser? que os alunos conseguem fazer mais uma itera??o no papel?

Neste fractal sugiro uma an?lise. Pe?a para os deduzirem os dados da 4? itera??o. Veja a tabela.

Repare que a quantidade de paralelep?pedos novos a cada itera??o pode ser representada por: 2^n-1  , logo na itera??o de n?mero...

1 temos 2^1-1 = 1

2 temos 2^2-1 = 2

3 temos 2^3-1 = 4

4 temos 2^4-1 = 8

E assim por diante.

Claramente ? uma PG de raz?o 2

Repare tamb?m que a quantidade de paralelep?pedos totais de cada itera??o ? a quantidade de paralelep?pedos da itera??o anterior mais os novos paralelep?pedos, logo...

a₁ = 1

a₂ = 1 + 2

a₃ = 1 + 2 + 4

a₄ = 1 + 2 + 4 + 8

E assim por diante.

Podemos afirmar que o termo geral desta sequ?ncia ? igual a soma dos termos de uma PG onde a₁ = 1 e q = 2. Veja:

Com essas informa??es, proponha o c?lculo em outras itera??es.

Para finalizar, o professor pode propor uma s?rie de exerc?cios que abordam o tema. Veja o exemplo desta quest?o baseada numa quest?o do ENEM: (figuras adaptadas da prova do ENEM pelo autor)

Arte e t?cnica s?o igualmente necess?rias para os profissionais que se dedicam ? Topografia, que ? a representa??o gr?fica das formas e dos detalhes, naturais ou artificiais, de uma determinada regi?o da superf?cie terrestre. N?o ? de hoje que os top?grafos se destacam na constru??o de edifica??es, estradas e barragens: h? ind?cios arqueol?gicos de que os povos antigos j? faziam uso das bases da Topografia. As pir?mides, por exemplo, s?o uma prova de que os antigos eg?pcios podiam executar medidas com boa exatid?o.

Utilize as informa??es seguintes para responder aos testes de 1 a 3.

Entre os diversos tipos de br?colis, um dos mais sofisticados, pelo seu aspecto e sabor, ? o romanesco, origin?rio da It?lia. Note que, na foto abaixo, a parte destacada ? semelhante ao pr?prio br?colis romanesco e que mesmo as menores partes dele s?o semelhantes entre si. Essa repeti??o de padr?es ? muito comum na Natureza.

?

A Geometria Fractal (do latim fractus, fracionado, quebrado) ? uma parte da Matem?tica que estuda, entre outras coisas, a repeti??o de padr?es. Um fractal pode ser imaginado como uma figura constitu?da por figuras que se repetem indefinidamente? Observe a seguir o tri?ngulo de Sierpinski, um fractal idealizado pelo matem?tico polon?s Waclaw Sierpinski (1882-1969), em que a parte destacada ? semelhante ao todo:

r

?

Considere as figuras seguintes:

 

?

A figura II surgiu tomando-se os pontos m?dios dos lados do tri?ngulo eq?il?tero de superf?cie branca da figura I. A figura III surgiu tomando-se os pontos m?dios dos lados dos tri?ngulos eq?il?teros de superf?cies brancas da figura II. Note que, quando se tomam os pontos m?dios dos lados de um tri?ngulo eq?il?tero de superf?cie branca, surge bem no seu centro um tri?ngulo eq?il?tero de superf?cie preta. Desse modo, esse processo pode ser repetido v?rias vezes, indefinidamente, criando as figuras IV, V, ?, que ainda n?o foram desenhadas.

1) Entre as alternativas seguintes, a que melhor representa a figura IV, que n?o foi desenhada aqui, ?:

 A resposta ? a letra C. Discuta com seus alunos.

2) Sendo X a ?rea do tri?ngulo eq?il?tero de superf?cie branca da figura I, a ?rea da superf?cie preta na figura III ? igual a:

A resposta ? a letra C. Discuta com os alunos solu??es para esse problema.

3) Dentre as alternativas seguintes, a que melhor representa o n?mero de tri?ngulos eq?il?teros de superf?cies brancas na figura V, que n?o foi desenhada no texto, ?:

a) 27

b) 32

c) 36

d) 54

e) 81

A resposta ? a letra E.

Colocarei agora outras quest?es baseadas em quest?es de vestibulares para serem discutidas entre os alunos.

Universidade de Bras?lia

A sequ?ncia de figuras acima ilustra 3 passos da constru??o de um fractal utilizando-se como ponto de partida um trimin? ? n?vel I ?, que consiste em uma pe?a formada por tr?s quadradinhos de 1 cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, substitui-se cada quadradinho do fractal de n?vel I por um trimin?, que tem os comprimentos dos lados de seus quadradinhos adequadamente ajustados ? situa??o, de forma a se obter o fractal de n?vel II, conforme ilustrado acima. No terceiro passo, obt?m-se, a partir do fractal de n?vel II, tamb?m substituindo-se cada um de seus quadradinhos por um trimin? com os lados de seus quadradinhos ajustados, o fractal de n?vel III. O processo continua dessa forma, sucessiva e indefinidamente, obtendo-se os fractais de n?veis n = I, II, III, ....

Com base nessas informa??es, calcule:

1) O per?metro externo do fractal de n?vel VI.

2) Uma express?o que represente a ?rea do fractal de n?vel V.

3) O desenho do fractal no n?vel IV.

 (UFRJ) A regi?o fractal F, constru?da a partir de um quadrado de lado 1cm, ? constitu?da por uma infinidade de quadrados e constru?da em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado (L ) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, tr?s novos quadrados de lado L/3. As tr?s primeiras etapas de constru??o de F s?o apresentadas a seguir.

Represente, com uma express?o num?rica, a ?rea de F na 4? etapa.

?

(UFF) Certas imagens captadas por sat?lites espaciais, quando digitalizadas, s?o representadas por formas geom?tricas de aspecto irregular ou fragmentado, conhecidas por fractais. Podem-se obter tais fractais pela altera??o da forma original de uma curva por meio de um processo em que os resultados de uma etapa s?o utilizados como ponto de partida para a etapa seguinte. Considere o processo tal que, em todas as etapas, cada segmento de reta ? transformado em uma poligonal cujo comprimento ? quatro vezes a ter?a parte do segmento original, como ilustrado na figura a seguir:

Por esse processo, a partir de um quadrado com 1 metro de lado, obt?m-se a seq??ncia de figuras:

O per?metro, em metro, do quinto pol?gono dessa seq??ncia ?:

a) 4⁴ / 3⁴              b) 4⁴/3⁵                c) 4⁵/3⁴                 d) 3⁵/ 4⁵               e) 3⁴/4¹

O tema Fractais desperta grande curiosidade nos alunos. Aproveite este interesse e mergulhe no tema.

Para se aprofundar com seus alunos no tema, trabalhe a aula "Fractais no Ensino M?dio" da Revista do Professor de Matem?tica, dispon?vel, entre outras, em:

(http://www.rpm.org.br/cms/index.php?option=com_content&view=article&id=50&Itemid=58)

Todas as atividades propostas s?o ricas em oportunidades de avalia??o. Acompanhe o desenvolvimento das tarefas e questione, sempre que achar necess?rio, os alunos.