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• Determinar a lei de forma??o de uma fun??o a partir dos dados fornecidos por uma dada situa??o-problema;
• Analisar gr?ficos de fun??es quadr?ticas;
• Utilizar o conceito de ponto m?ximo de uma fun??o quadr?tica para analisar uma situa??o ? problema.

5 horas - aulas

-Conhecimentos de fun??es afins: defini??o, lei de forma??o e representa??o gr?fica;

-No??es iniciais sobre fun??o quadr?tica: defini??o, lei de forma??o, representa??o gr?fica, v?rtice da par?bola, imagem da fun??o quadr?tica e c?lculo de m?ximos e m?nimos.

-Defini??o de ret?ngulo;

- No??es b?sicas de per?metro e ?rea.

AMBIENTE 1 : SALA DE AULA

ATIVIDADE 1

DESCRI??O DA ATIVIDADE:

O professor dever? propor a seguinte situa??o-problema, escrevendo-a no quadro: O diretor de uma escola deseja cercar a quadra de esportes (que tem forma retangular) e o espa?o em volta dela com tela de alambrado, como mostra a figura abaixo.

Fonte:Imagem do Autor

Com 200 metros de tela, quais devem ser as dimens?es do terreno para que a ?rea cercada seja a maior poss?vel?

Esta atividade dever? ser desenvolvida em grupos de no m?ximo 3 alunos objetivando a troca de informa??es entre todos os integrantes do grupo.

MOMENTO DO ALUNO:

Este ? o momento em que os alunos buscar?o resolver a situa??o-problema. Eles poder?o ter dificuldades em representar as medidas do campo baseadas nos dados do problema, isto ?, representar a situa??o algebricamente. Desse modo, o professor poder? relembrar com os alunos o conceito de per?metro, para isso ele pode utilizar as medidas do comprimento e largura da sala de aula, e em seguida question?-los como o c?lculo do per?metro pode auxiliar na determina??o das medidas da quadra?

DISCUSS?O:

Os alunos dever?o expor para o restante da turma as suas solu??es. Ap?s ou durante essa exposi??o, recomenda-se que o professor discuta com a turma quais as dificuldades encontradas para a forma??o das solu??es obtidas.  

SISTEMATIZA??O:

Com o objetivo de formalizar os aspectos ressaltados no momento anterior (discuss?o), recomenda-se que o professor construa com os alunos a solu??o do problema proposto identificando as contribui??es de cada grupo nesse processo. Segue abaixo uma sugest?o para essa sistematiza??o, conv?m ressaltar que o professor pode adequar a sucess?o das etapas aqui sugeridas de acordo com a maneira utilizada pelos alunos para organizar suas solu??es.

Seja x o comprimento, y a largura e p o per?metro do terreno que ser? cercado.

Temos:

Per?metro = 2x+2y
200 = 2x+2y
x+y = 100
y = 100-x

Assim as medidas do terreno ser?o: x e 100 - x. Denominando o terreno de ret?ngulo ABCD, como mostra a figura abaixo:

Fonte:Imagem do autor

Temos, a ?rea (A) dada por:

 A = xy = x(100-x) = 100x - x?
Como a fun??o ? do 2? grau, a ?rea m?xima e as medidas ser?o encontradas da seguinte maneira:
 x_v = -b/2a = -100/-2 = 50

 y_v = -?/4a = -(10000 ? 4.(-1).0) / 4. (-1) = 2500

 Assim, x = 50, y = 100-x = 100-50 = 50

O ret?ngulo que ter? a maior ?rea ser? o de lados 50m e 50m e ?rea m?xima igual a 2500 m?. 

AMBIENTE 2: LABORAT?RIO DE INFORM?TICA

ATIVIDADE 2

PREPARA??O DO AMBIENTE:

Os recursos utilizados nesta atividade ser?o pincel, data-show (alternativa: quadro branco), caderno, l?pis ou caneta, computadores com o software ?Winplot? dispon?vel no Banco Internacional de Objetos Educacionais: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/2214

Winplot 

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Fonte: Imagem do autor

ORIENTA??ES QUANTO AO USO DO SOFTWARE:

Ao abrir o programa, clique no menu Janela e selecione a op??o 2 - dim ou clique F1 para ter acesso aos comandos que ser?o utilizados nessa aula, como mostra a figura acima.

Seguem abaixo algumas orienta??es quanto ao uso dos recursos necess?rios para a realiza??o desta atividade:

-Ao clicar no menu equa??o e selecionar a op??o expl?cita ou teclar F1, aparecer? a janela abaixo.

Fonte:Imagem do autor

No primeiro campo, denominado f(x), digitam-se as express?es que definem uma fun??o de x.

Obs.: Este aplicativo n?o reconhece a representa??o usual para o quadrado de um n?mero, assim, ? preciso represent?-lo de outra forma, por exemplo: x? digita-se x^2.

Al?m deste, outros campos poder?o ser preenchidos:

• x m?n. e x max.: Digitar os valores m?nimo e m?ximo de x e marcar a op??o ?travar intervalo? para determinar o dom?nio da fun??o.
• Espessura da linha: Digite valores para aumentar ou diminuir a espessura da curva y=f(x).
• Bot?o Cor: Escolher uma cor para o gr?fico.

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Obs.: As teclas Page Up e Page Down tamb?m poder?o ser utilizadas.  Elas aumentam e diminuem, respectivamente, a imagem do gr?fico.  

DESCRI??O DA ATIVIDADE:

Inicialmente, os alunos se organizar?o em duplas. E em seguida, com o objetivo de desenvolver a habilidade de constru??o e an?lise de gr?ficos em um aplicativo educacional, o professor dever? propor a seguinte atividade a ser realizada utilizando o software Winplot:

1) Trace o gr?fico das fun??es apresentadas abaixo:

a) f(x) = -x?+2x+1;

b) f(x) = x?+2x+1;

c) f(x) = -x?;

d) f(x)=x?-6x+9

Obs.: O aplicativo far? a distin??o entre os gr?ficos a partir de cores diferenciadas, j? que os mesmos ser?o constru?dos em um ?nico plano.

2) A partir dos gr?ficos constru?dos e dos conhecimentos sobre fun??o quadr?tica, em para cada fun??o determinar:

a) Concavidade;

b) Zeros da fun??o;

c) Ponto onde o gr?fico toca o eixo OY.

Obs.: As respostas do item 2 dever?o ser escritas no caderno.

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MOMENTO DO ALUNO

Neste momento, os alunos buscar?o realizar a atividade proposta.

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DISCUSS?O:

O professor dever? solicitar aos alunos que apresentem os gr?ficos do item 1 utilizando o software Winplot e o data-show (alternativa: quadro branco) e no quadro branco as solu??es obtidas no item 2. O professor dever? estimular uma discuss?o sobre as principais dificuldades encontradas na realiza??o dessa atividade.

SISTEMATIZA??O:

Neste momento dever? ocorrer a sistematiza??o do conte?do explorado nessa atividade, para isso o professor dever? propor aos alunos os seguintes questionamentos a serem respondidos a partir da an?lise dos gr?ficos j? constru?dos por eles: Qual a diferen?a, em rela??o a coeficientes, entre uma fun??o que apresenta como gr?fico uma par?bola voltada para cima e uma fun??o cujo gr?fico ? uma par?bola voltada para baixo? Analisando os gr?ficos como podemos identificar o conjunto imagem das fun??es trabalhadas? E quais s?o as fun??es que possuem ponto m?ximo? E quais delas possuem ponto m?nimo?

AMBIENTE 3:LABORAT?RIO DE INFORM?TICA

ATIVIDADE 3:

DESCRI??O DA ATIVIDADE:

Ainda com a organiza??o da turma em duplas, o professor dever? explicar aos alunos que eles ir?o utilizar o Winplot para analisar o problema proposto na Atividade 1. Inicialmente eles dever?o representar a fun??o ?rea, A = 100x - x?, no software.

Observa??o: Ao construir o gr?fico dessa fun??o os alunos ter?o que fazer uso da tecla Page down para diminuir a imagem do gr?fico, e assim ser visualizado adequadamente.

Ap?s a constru??o do gr?fico, os alunos dever?o responder as seguintes perguntas: Qual ? o coeficiente do termo de maior grau dessa fun??o? A concavidade neste gr?fico ? voltada para cima ou para baixo? Qual ? o valor do y_v dessa fun??o? O gr?fico apresenta um ponto m?ximo ou um ponto m?nimo?

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento, os alunos buscar?o realizar a atividade proposta utilizando o software Winplot.

DISCUSS?O:         

Os alunos ir?o expor as solu??es obtidas na realiza??o da atividade. Em seguida, o professor dever? estimular um debate sobre a resolu??o da atividade 1 e as informa??es obtidas nesta atividade, a partir do seguinte questionamento: Qual ? a rela??o entre o ponto de m?ximo observado no gr?fico da fun??o ?rea e o sinal do coeficiente do termo de maior  grau da lei de forma??o dessa fun??o? Essa rela??o ? v?lida para outras fun??es com as mesmas caracter?sticas da fun??o ?rea no que diz respeito ao ponto de m?ximo e m?nimo e o sinal do coeficiente do termo de maior grau?

SISTEMATIZA??O:

Com o intuito de possibilitar uma visualiza??o geom?trica do que significa a ?rea m?xima que deve ser cercada na atividade 1, o professor dever? perguntar aos alunos, e os mesmos dever?o responder a partir da visualiza??o do gr?fico da fun??o ?rea, o que significa a ordenada do v?rtice na situa??o ? problema proposta na atividade 1? E a abscissa desse v?rtice?

Nome	Tipo
Winplot	Software Educacional

http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php- Nesta p?gina, encontra-se um resumo sobre a constru??o e a an?lise de gr?ficos de uma fun??o quadr?tica.

Recomenda-se que o  professor  averig?e se os alunos conseguiram compreender os conceitos trabalhados em cada atividade. Na atividade 1, sugere-se ao professor verificar se os alunos conseguiram construir a lei de forma??o da fun??o que representa a ?rea do terreno que deve ser cercada. Al?m disso, poder? ser verificado se o aluno compreendeu algebricamente a rela??o entre o valor m?ximo da fun??o e a ?rea m?xima do terreno. Na atividade 2, o docente poder? averiguar se os alunos conseguiram identificar no gr?fico as caracter?sticas solicitadas na atividade proposta. Na atividade 3, o professor poder? identificar se os alunos conseguiram visualizar a solu??o da situa??o problema proposta na atividade 1de forma geom?trica, ou seja, se os alunos conseguiram identificar a rela??o entre a solu??o do problema e o gr?fico correspondente.