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• A rela??o entrer as fun??es senoidais e cossenoidais com o movimento harm?nico simples.
• A rela??o entre o movimento de um p?ndulo simples e o gr?fico da fun??o harm?nica e como reconhecer seu per?odo, frequ?ncia e amplitude.
• Sobre a necessidade de que haja uma fonte de perturba??o (que pode ser um sistema em movimento harm?nico simples) para que uma onda mec?nica exista e se propague.

100 minutos

• Movimentos peri?dicos (oscila??es de um corpo preso a uma mola, oscila??es de um p?ndulo, vibra??es de um instrumento musical de corda).
• Fun??es senoidais e cossenoidais.
• Conceitos de amplitude, per?odo e frequ?ncia para um movimento oscilat?rio e como frequ?ncia e comprimento de onda se relacionam com a velocidade de propaga??o de uma onda.

Com essa aula, dever? ficar claro para os estudantes o que ? um movimento harm?nico simples, porque fun??es senoidais e cossenoidais descrevem esse tipo de movimento e qual a rela??o entre movimentos peri?dicos e ondas mec?nicas.

A aula dever? ser realizada no laborat?rio de F?sica. Al?m dos materiais necess?rios para as atividades, incluindo v?rios suportes fixados no teto para montagem de p?ndulos, o laborat?rio dever? possuir recursos multim?dia (projetor multim?dia e computador conectado ? internet). A turma dever? ser dividida em equipes de, no m?ximo, 5 estudantes.

De in?cio, o professor dever? esclarecer para os estudantes que um movimento harm?nico simples, MHS, ? um tipo especial de movimento peri?dico que ocorre quando a for?a que age sobre o corpo em quest?o (no caso do p?ndulo, a massa pendurada no fio) ? proporcional ao deslocamento da part?cula em rela??o ? posi??o de equil?brio e ? dirigida sempre para essa posi??o. Essa for?a ? chamada de for?a restauradora. O movimento de um p?ndulo simples s? ? considerado um MHS para pequenos ?ngulos iniciais do fio com a vertical. Essa condi??o garante que a for?a que age na massa tenha as caracter?sticas exigidas para um MHS.

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Atividade 1. Medi??o da amplitude, do per?odo e da frequ?ncia de um p?ndulo simples

Essa atividade tem por objetivo ensinar ao estudante medir a amplitude, o per?odo das oscila??es e a frequ?ncia de um p?ndulo simples e constatar que o per?odo depende apenas do comprimento do fio.

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Estrat?gias e recursos

- Aula experimental

Material

- 1 peda?o de cord?o de 1,0 m de comprimento e uma massa aferida de 50 g;

- 1 peda?o de cord?o de 1,0 m de comprimento e uma massa de 100 g;

- 1 peda?o de cord?o de 1,0 m de comprimento e uma massa de 150 g;

- 1 peda?o de cord?o de 0,5 m de comprimento e uma massa de 100 g;

- 1 peda?o de cord?o de 1,5 m de comprimento e uma massa de 100 g;

- 1 cron?metro para cada equipe;

Observa??o: Cada conjunto formado por peda?o de cord?o e massa aferida ? para uma equipe de estudantes. Pensamos numa turma de 25 estudantes. Os valores diferentes s?o necess?rios para que, ap?s a socializa??o dos resultados de medidas realizadas pelas equipes, os estudantes possam chegar a determinadas conclus?es a respeito das oscila??es do p?ndulo simples.

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Figura 1.  P?ndulo simples de comprimento L, fazendo um ?ngulo com a vertical. As for?as que atuam na massa m est?o destacadas. Imagem obtida no endere?o: http://www.coladaweb.com/fisica/pendulo_arquivos/image002.jpg

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Procedimento

- Cada equipe deve montar um p?ndulo, pendurando uma das extremidades do cord?o num suporte preso ao teto e fixando uma massa aferida ? outra extremidade (ver figura 1).

- Os estudantes de cada equipe devem medir a amplitude, o per?odo e a frequ?ncia do p?ndulo, sempre posicionando a massa do p?ndulo de modo a obter pequenos ?ngulos do fio em rela??o ? vertical (?ngulos de, no m?ximo, 20⁰). Para as medidas do per?odo e da frequ?ncia, o professor deve solicitar que os estudantes obtenham um valor m?dio, considerando umas 10 oscila??es do p?ndulo.

Tendo por base os experimentos realizados, os estudantes dever?o socializar os valores das grandezas medidas para cada p?ndulo. Em seguida, eles dever?o responder ?s seguintes quest?es propostas:

Quest?es:

a)      Por qu? posicionar o p?ndulo com ?ngulos de, no m?ximo, 20⁰?

Resposta esperada: Para pequenos ?ngulos teremos pequenas oscila??es do p?ndulo simples, que podem ser descritas como um movimento harm?nico simples.

b)     O valores medidos para os per?odos dos p?ndulos de 1,0 m de comprimento apresentaram valores distintos (dentro da margem de erro do experimento) pelo fato de possu?rem massas diferentes?

Resposta esperada: N?o. Os valores medidos para o per?odo foram iguais para os p?ndulos com o mesmo comprimento, independentemente do valor da massa acoplada a eles.

c)      O valores medidos para os per?odos dos p?ndulos de massas iguais apresentaram valores distintos (dentro da margem de erro do experimento) pelo fato de possu?rem comprimentos diferentes?

Resposta esperada: Sim. Os valores medidos para o per?odo foram diferentes para diferentes comprimentos do fio, independentemente do fato de possu?rem a mesma massa.

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Atividade 2 :  Movimento de um p?ndulo simples em fun??o do tempo

O  objetivo ? fazer o estudante perceber a rela??o entre o movimento do p?ndulo simples com a descri??o matem?tica feita em termos das fun??es harm?nicas senoidais.

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Materiais e recursos necess?rios

- computador conectado ? internet;

- um p?ndulo, especialmente montado para essa demonstra??o, de comprimento igual a 1,0 m, por exemplo, e com um dispositivo na extremidade do fio que deixa cair areia fina. Esse dispositivo pode ser montado com um paliteiro pl?stico (usado em restaurante), preenchido com a??car cristal, farinha ou areia fina, de granula??o tal que permita um escoamento lento e constante, enquanto o p?ndulo oscila.

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Observa??o: esse material ? para uma equipe de estudantes. Pensamos numa turma de 25 estudantes.

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Figura 2. p?ndulo montado com um cord?o preso a uma argola fixada no fundo de um paliteiro. O paliteiro ? preenchido com areia fina, a??car cristal ou farinha e derrama o conte?do num escoamento lento e constante. (Foto produzida pelo autor)

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Procedimento:

Inicialmente, o professor dever? explicar aos estudantes que o p?ndulo simples, executando movimento harm?nico simples ou pequenas oscila??es, movimenta-se sobre um arco de circunfer?ncia de comprimento S_total = 2R x ?ngulo inicial do p?ndulo. Num certo instante do movimento do p?ndulo, o comprimento do arco que vai da posi??o onde ele se encontra at? o ponto de equil?brio (ponto mais baixo da trajet?ria) ? chamado de elonga??o, representada pela letra S. A elonga??o inicial ? S?₀ = R x ?ngulo inicial do p?ndulo. O modelo matem?tico que explica como essa elonga??o varia no tempo prev? solu??es senoidais, do tipo

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S = S₀ cos(2 x 3,14 x t / T) - fun??o cossenoidal, em que T ? o per?odo do p?ndulo, ou ainda

S = S₀ sen((2 x 3,14 x t / T) + (3,14/2)) - fun??o senoidal.

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O professor deve explorar uma das express?es, talvez a segunda, mostrando alguns resultados interessantes, obtidos para certos valores do tempo t e coerentes com o movimento do p?ndulo. Por exemplo:

- fazendo t=0, temos S = S₀, pois sen(3,14/2) = 1.

- fazendo t=T/4, temos S = 0, pois sen(3,14) = 0 (nesse instante, o p?ndulo passa pelo ponto mais baixo da trajet?ria, pela primeira vez. Num ciclo completo do seu movimento, ele passa por ele duas vezes)

- fazendo t= T/2, temos S = -S₀, pois sen(3 x 3,14/2) = -1.

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Figura 3. Uma senoide representando o deslocamento em fun??o do tempo para um movimento peri?dico. Retirada de: http://matematicaemusica.pbworks.com/f/Figura15.jpg

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- Para que os estudantes visualizem a fun??o senoidal, eles dever?o colocar o p?ndulo em movimento oscilat?rio, deixando derramar seu conte?do. Nesse caso, eles poder?o segurar a extremidade livre do cord?o com uma das m?os, que servir? de suporte. Em seguida, mover?o o p?ndulo, ou a base onde ele derrama seu conte?do, em linha reta e com velocidade constante. Se a movimenta??o for executada com perfei??o, o rastro deixado pelo material derramado pelo p?ndulo ter? forma senoidal.

Figura 4. Padr?o obtido com o movimento, em linha reta e velocidade constante, do p?ndulo oscilante derramando seu conte?do sobre uma superf?cie plana (a??car cristal). (Foto produzida pelo autor)

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Figura 5. Padr?o obtido com o movimento, em linha reta e velocidade constante, do p?ndulo oscilante derramando seu conte?do sobre uma superf?cie plana (farinha). (Foto produzida pelo autor)

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- O professor pedir? aos estudantes que acessem o seguinte endere?o eletr?nico:

http://www.cepa.if.usp.br/walterfendt/phbr/pendulum_br.htm

nele, os estudantes de cada equipe poder?o simular o movimento do p?ndulo escolhendo o comprimento, a massa e o ?ngulo inicial. Eles poder?o observar o gr?fico da elonga??o, da velocidade, e outros, em fun??o do tempo.

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Ap?s realizar a atividade, os estudantes dever?o responder ?s seguintes quest?es:

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1) Que fun??o matem?tica descreve a varia??o da elonga??o do p?ndulo com o tempo?

Resposta esperada: pode ser uma fun??o senoidal ou cossenoidal.

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2) O fato do p?ndulo se mover derramando seu conte?do (perdendo massa) afeta seu per?odo?

Resposta esperada: N?o. O per?odo n?o depende do valor da massa, mas apenas do comprimento do fio.

Observa??o: se as respostas forem de acordo com a resposta esperada, o professor pode comentar que a considera??o de que o per?odo n?o ? afetado pela perda de massa est? vinculada a outra, que ? a da massa ser puntual. No caso do experimento realizado, a perda de massa altera a posi??o do centro de massa do objeto colocado na extremidade do fio (que n?o ? puntual), alterando, mesmo que pouco, o comprimento do p?ndulo. Portanto, uma altera??o do comprimento do p?ndulo, causada pela perda de massa, n?o levaria a uma pequena varia??o do per?odo? Essa quest?o pode ser usada para provocar uma discuss?o entre os estudantes.  

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Atividade 3 : Depend?ncia do per?odo do p?ndulo com a gravidade e rela??o do MHS com o movimento ondulat?rio

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O objetivo ? fazer o aluno perceber o que acontece com o per?odo do p?ndulo quando o valor da acelera??o da gravidade se modifica.

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Recursos necess?rios

- computadores conectados ? internet (um para cada equipe).

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Procedimento:

- O professor pedir? aos alunos que acessem o seguinte endere?o:

http://phet.colorado.edu/sims/pendulum-lab/pendulum-lab_en.html

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como as informa??es na p?gina n?o est?o em portugu?s, o professor dever? auxiliar os estudantes traduzindo algumas palavras para o portugu?s, mas s?o muito poucas coisas escritas.

- Os estudantes dever?o explorar os recursos do simulador colocando o p?ndulo para oscilar e alterando o valor de g. Eles poder?o comparar o movimento do p?ndulo com o g da Terra, da Lua, de J?piter e at? para g=0.

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Ap?s realizar a atividade, os estudantes dever?o responder ?s seguintes quest?es:

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1) O que acontece com o per?odo do p?ndulo quando o valor de g aumenta?

Resposta esperada: O per?odo diminui.

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2) O que aconteceria com o movimento do p?ndulo se, de repente, a gravidade ficasse nula?

Resposta esperada: O p?ndulo passaria a descrever um movimento circular uniforme.

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Finalmente, o professor explicar? a rela??o entre o movimento do p?ndulo e uma onda mec?nica. A fun??o matem?tica ? a mesma para as duas situa??es, mas uma onda mec?nica ? uma perturba??o que se propaga em um meio material e requer uma fonte de perturba??o, o meio para se propagar e algum mecanismo f?sico pelo qual as part?culas do meio possam influenciar umas ?s outras. ? o caso da onda se propagando numa corda, ou na superf?cie de lago. A onda mec?nica viaja numa velocidade que ? igual ao produto da sua frequ?ncia pelo seu comprimento de onda.

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Figura 6. Onda propagando-se na ?gua. O comprimento de onda ? igual ? dist?ncia entre as cristas. Figura retirada de:

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/vibracoes-e-ondas/imagens/vibracoes-e-ondas3.gif

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Figura 7. Comprimento de onda de uma onda se propagando numa corda. Figura retirada de: http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/vibracoes-e-ondas/imagens/vibracoes-e-ondas5.gif

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Um sistema oscilante, como o p?ndulo, pode produzir uma onda que se propaga num determinado meio. Uma maneira simples de percebermos isso ? prendermos dois p?ndulos de mesmo comprimento a um fio esticado. Se movimentamos um deles, uma onda se propagar? pelo fio esticado e far? o outro p?ndulo oscilar. velocidade de propaga??o da onda ? igual ao produto do comprimento de onda pela frequencia.

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Figura 8. Dois p?ndulos de mesmo comprimento presos a um fio esticado. A oscila??o de um deles faz o outro tamb?m oscilar. (Figura produzida pelo autor)

• Para saber mais sobre o movimento harm?nico simples e o p?ndulo, acessar:

http://webfis.zoo.ibilce.unesp.br/cdf/index.php?option=com_k2&view=item&id=71:movimento-harm%C3%B4nico-simples-mhs&Itemid=59

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• Para saber sobre a hist?ria do p?ndulo e tamb?m algumas de suas aplica??es, acesse:

http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pendulo/PenduloSimples_HTML.htm#Determinando%20a%20acelera%C3%A7%C3%A3o%20da%20gravidade

Ap?s estudar esta aula sobre o p?ndulo simples, o movimento harm?nico simples e sua rela??o com as ondas mec?nicas, o estudante dever? ser capaz de:

• Relacionar as fun??es senoidais e cossenoidais com o movimento harm?nico simples.
• Entender porque ? necess?rio colocar o p?ndulo simples para oscilar com pequenos ?ngulos do fio em rela??o ? vertical.
• Entender que o per?odo do p?ndulo simples n?o depende da massa acoplada a ele, mas do comprimento do fio.
• Entender a semelhan?a entre o movimento harm?nico simples e um onda mec?nica.