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Construir e explorar o circuncentro de um tri?ngulo;

Verificar a rela??o entre o segmento que une os pontos m?dios de dois lados de um tri?ngulo e o seu terceiro lado;

Construir e explorar o ortocentro de um tri?ngulo.

3 horas-aulas

No??es sobre geometria plana: reta, segmento de reta, ponto, ?ngulos, circunfer?ncia, ponto m?dio, paralelismo, mediatriz, altura e classifica??o de tri?ngulos quanto aos ?ngulos.

PREPARA??O DO AMBIENTE:

Para a realiza??o das atividades 1 e 2 ser?o utilizados: computador, data show (alternativa: quadro branco e pincel) e o software geogebra, que se encontra dispon?vel no Banco Internacional de objetos Educacionais:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/3538   .

Geogebra.Br 

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Bot?es e op??es do GeoGebra que ser?o utilizados nesta aula

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• 6? bot?o/1? op??o: C?rculo definido pelo centro e um de seus pontos

                   Ao clicar na janela de gr?ficos, o centro do c?rculo estar? sendo marcado/ Arrastar o mouse pela tela, e escolher um segundo ponto. Para marc?-lo ? s? clicar novamente

                   na tela.

• 4? bot?o/1? op??o: Reta perpendicular

                  Para construir uma reta perpendicular a outra, deve-se clicar sobre a reta na qual deseja tra?ar a reta perpendicular e em seguida clicar no ponto onde dever? passar a reta

                   que deseja construir.

• 1? bot?o/1? op??o: Mover um objeto geom?trico

                  Ao clicar sobre um objeto geom?trico, este ser? movido para onde desejar. 

•  2? bot?o/3? op??o: Ponto M?dio

                  Clicar no segmento que deseja encontrar o ponto m?dio.

• 5? bot?o/1? op??o: Pol?gono

                  Ao clicar na janela de gr?ficos, o primeiro ponto para constru??o do pol?gono estar? sendo marcado / Arrastar o mouse pela tela, e escolher os outros pontos. Para marc?-los ?

                 s? clicar novamente na tela.

• 8? bot?o/3? op??o: Medir dist?ncia ou comprimento

                 Clicar nos pontos extremos da dist?ncia que se deseja medir.

• 8? bot?o/1? op??o: Medir ?ngulo

                 Clicar nos segmentos que determinam o ?ngulo que se deseja medir.

• 4? bot?o/3? op??o: Mediatriz

                 Ao clicar na reta (ou entre pontos) que deseja calcular a mediatriz aparecer? um segmento que passa pelo ponto m?dio;

• 2? bot?o/2? op??o: Interse??o de dois objetos

                Clicar na regi?o (quando ela for encontrada os dois objetos ficar?o em destaque na tela) que por simples visualiza??o consideramos como sendo a interse??o dos

                dois objetos em quest?o.

• 3? bot?o/2? op??o: Segmento definido por dois pontos

                Clicar na janela de gr?ficos. Esse clique determinar? um dos extremos do segmento / Arrastar o mouse pela tela e escolher o outro extremo do segmento. Para marc?-lo ?

                 s? clicar novamente na tela.

Observa??o: Para renomear um ponto ? s? clicar com o bot?o direito do mouse neste, escolher a op??o renomear e digitar a denomina??o desejada.

Recomenda-se que o professor reserve 20 minutos da aula para explicar aos alunos como manipular o software Geogebra.

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AMBIENTE 1 : Laborat?rio de inform?tica

ATIVIDADE 1

DESCRI??O DA ATIVIDADE:

Com a turma dividida em duplas, o professor dever? propor aos alunos a seguinte atividade:

Utilizando o software Geogebra   fa?a o que se pede abaixo:

1) Construir um tri?ngulo ABC;

2) Construir as mediatrizes desse tri?ngulo;

3) Marcar o ponto de interse??o (D) das mediatrizes;

4) O que se pode observar ao mover os v?rtices do tri?ngulo ABC?

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MOMENTO DO ALUNO:

Este ? o momento em que os alunos buscar?o realizar a atividade proposta.

DISCUSS?O:

Os alunos dever?o expor para o restante da turma as suas solu??es e observa??es, como tamb?m as dificuldades encontradas durante a realiza??o da atividade.

Ap?s discutir com os alunos suas solu??es, observa??es e dificuldades, o professor dever? propor o seguinte questionamento: Como foi observado ao executar o passo 4 (se durante a apresenta??o os alunos n?o comentarem que o circuncentro pode pertencer ao tri?ngulo, ? importante que o professor destaque esse aspecto) o ponto de interse??o (D) pode pertencer ao tri?ngulo, ser interno ou externo a este, assim qual seria a condi??o para que cada um desses casos ocorra?

O professor poder? utilizar a op??o ?ngulo do GeoGebra ( ver o campo Bot?es e op??es do GeoGebra que ser?o utilizados nesta aula)  para mostrar a rela??o do circuncentro com tri?ngulos ret?ngulos, acut?ngulos e obtus?ngulos.

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Fonte:Imagem do Autor                                                                        Fonte:Imagem do Autor

      

Fonte:Imagem do Autor

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SISTEMATIZA??O:

Com o objetivo de formalizar a constru??o e an?lise do circuncentro, recomenda-se que utilize o data show (alternativa: quadro branco e pincel) e construa com os alunos os tr?s casos citados anteriormente para a localiza??o do ponto de interse??o das mediatrizes, denominando-o circuncentro. Em seguida, o professor dever? propor aos alunos o seguinte questionamento: observando estas constru??es, o que se pode verificar acerca da dist?ncia entre o circuncentro e os v?rtices?

Ap?s as solu??es dos alunos para esse questionamento, o professor dever? utilizar a op??o dist?ncia do GeoGebra para medir as dist?ncias entre os v?rtices e os circuncentros dos tri?ngulos, verificando que a dist?ncia entre o circuncentro de um tri?ngulo e seus v?rtices s?o iguais, assim o professor dever? novamente questionar os alunos: qual ? a figura geom?trica formada a partir do circuncentro e dos v?rtices do tri?ngulo?

Espera-se que eles respondam circunfer?ncia, e para mostr?-la o professor dever? utilizar a op??o C?rculo definido pelo centro e um de seus pontosdo GeoGebra (ver o campo Bot?es e op??es do GeoGebra que ser?o utilizados nesta aula).

AMBIENTE 1: Laborat?rio de inform?tica

ATIVIDADE 2

DESCRI??O DA ATIVIDADE:

Ainda com a organiza??o da turma em duplas, recomenda-se que o professor proponha aos alunos a seguinte atividade:

Utilizando o software Geogebra fa?a o que se pede abaixo:

1) Construir um tri?ngulo ABC;

2) Marcar o ponto m?dio do lado AB e nomear com a letra M;

3) Marcar o ponto m?dio de AC e nomear com a letra N;

4) Construir o segmento MN;

5) Verificar as medidas dos segmentos MN e BC (? poss?vel observar essas medidas na janela de ?lgebra (lado esquerdo da tela do GeoGebra);

MOMENTO DO ALUNO:

Este ? o momento em que os alunos buscar?o realizar a atividade proposta.

DISCUSS?O:

Os alunos apresentar?o para o restante da turma as suas solu??es e observa??es, como tamb?m as dificuldades encontradas durante a realiza??o da atividade.

SISTEMATIZA??O:

Nesta etapa, recomenda-se que o professor formalize a rela??o entre os segmentos MN e BC. Inicialmente, ele dever? estimular os alunos a verificarem que os segmentos MN e BC s?o paralelos, e como foi verificado na atividade anterior o primeiro tem a metade da medida do segundo, e ainda denominar o segmento MN de base m?dia do tri?ngulo.

Fonte: Imagem do autor

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Em seguida, o professor dever? solicitar aos alunos que movimentem os v?rtices A, B e C e observem as medidas dos segmentos MN e BC. Espera-se que os alunos verifiquem que a rela??o entre os segmentos MN e BC permanece, ou seja, a base m?dia tem a metade da medida do lado BC, seja qual for o tri?ngulo constru?do.

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AMBIENTE 1 : Laborat?rio de inform?tica

ATIVIDADE 3

PREPARA??O DO AMBIENTE:

Para a realiza??o da atividade ser?o utilizados o computador, o data show (alternativa: quadro branco e pincel) e a anima??o/simula??o  ?Alturas del tri?ngulo y ortocentro? , que se encontra dispon?vel no Banco Internacional de objetos Educacionais: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15783   .

Alturas del tri?ngulo y ortocentro 

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DESCRI??O DA ATIVIDADE:

Com a turma dividida em duplas, o professor dever? propor aos alunos a seguinte atividade:

Inicialmente, clique em VER DATOS TRI?NGULO na parte superior do aplicativo, em seguida clique e movimente os v?rtices do tri?ngulo.  

MOMENTO DO ALUNO:

Nesse momento os alunos buscar?o realizar a atividade proposta.

DISCUSS?O:

As solu??es obtidas dever?o ser apresentadas para o professor e o restante da turma. Durante ou ap?s as apresenta??es, professor e alunos dever?o discutir sobre as dificuldades encontradas durante a realiza??o dessa atividade. Em seguida, caso os alunos n?o tenham comentado a rela??o entre a posi??o do ponto de interse??o entre as retas e os ?ngulos que formam o tri?ngulo, o professor dever? question?-los sobre essa rela??o, analisando com eles os ?ngulos que s?o apresentados na tela na medida em que os v?rtices s?o movimentados, verificando que em tri?ngulos acut?ngulos o ponto de interse??o ? interno e em tri?ngulos obtus?ngulos o ponto de interse??o ? externo.

Tri?ngulo Acut?ngulo

Fonte: Imagem do autor

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Tri?ngulo Obtus?ngulo

Fonte: Imagem do autor

SISTEMATIZA??O:

Nesta etapa, ocorrer? a sistematiza??o da rela??o entre o posicionamento do ortocentro e os tipos tri?ngulos. Ser? utilizado o data show (alternativa: quadro branco e pincel) para manipula??o da anima??o/simula??o ?Alturas del tri?ngulo yortocentro.

O professor dever? propor o seguinte questionamento aos alunos: qual ? o nome atribu?do a cada uma dessas retas que aparecem no aplicativo?

Espera-se que os alunos respondam que se trata de um tri?ngulo, desse modo o professor denominar? o ponto de interse??o das alturas com o nome de ortocentro.

E em seguida, o docente dever? propor aos alunos o seguinte questionamento, ? poss?vel que o ortocentro perten?a a um dos lados do tri?ngulo? Em qual tipo de tri?ngulo isso ocorre?

O docente dever? solicitar aos alunos que eles apresentem esse aspecto ap?s a discuss?o sobre o questionamento proposto.

Tri?ngulo Ret?ngulo

Fonte: Imagem do autor

Nome	Tipo
Alturas del tri?ngulo y ortocentro	Anima??o/simula??o
Geogebra.Br	Software Educacional

http://clientes.netvisao.pt/arselio/Cindy0/triangulos.htm - O conte?do deste site aborda os assuntos abordados nesta aula.

Sugere-se que o professor verifique na primeira atividade se os alunos conseguiram identificara rela??o entre a posi??o do circuncentro e os tipos de tri?ngulos, e a exist?ncia da circunfer?ncia circunscrita ao tri?ngulo.Na atividade 2, poder? ser averiguado se atrav?s  da constru??o geom?trica  os alunos compreenderam a rela??o  entre o segmento que une os pontos m?dios de dois lados de um tri?ngulo e o  terceiro lado desse tri?ngulo. E na atividade 3, recomenda-se que o professor verifique se os alunos conseguiram relacionar os tipos de tri?ngulos (acut?ngulo, obtus?ngulo e ret?ngulo) e a posi??o do ortocentro.