Portal do Professor

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- Identificar a presen?a dos fractais e a import?ncia do seu estudo em diversas ?reas do conhecimento;

- Reconhecer o processo de forma??o dos seguintes fractais: Pentagonal de D?rer, Tipo ?rvore, Hexagonal, Conjunto de Cantor, Tri?ngulo de Sierpinski, Tapete de Sierpinski e Floco de neve de Koch;

- Construir express?es para calcular o n?mero de segmentos, a medida desses segmentos e o comprimento total do fractal conhecido como Curva de Peano.

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10 horas/aula

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-Reconhecer os seguintes pol?gonos regulares: quadrado, tri?ngulo, hex?gono e pent?gono;

- Identificar uma express?o alg?brica de um problema;

-No??es sobre ?rea, per?metro e potencia??o.

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ATIVIDADE 1 ? CONHECENDO A DIVERSIDADE DE FRACTAIS

INSTRU??ES INICIAIS

Esta atividade se desenvolver? no Laborat?rio de Inform?tica Educativa (LIE) e ser?o utilizados: computador, data-show e o v?deo ?O mundo da matem?tica - Epis?dio 5 - Fractais - A ordem na desordem? (ver figura 1), este ?ltimo est? dispon?vel no Branco Internacional de Objetos Educacionais atrav?s do seguinte endere?o eletr?nico: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15919. Este recurso audiovisual apresenta aspectos relacionados ? constru??o de um fractal. A turma ser? dividida em cinco grupos (estes dever?o ser nomeados da seguinte forma: grupo 1, grupo 2,...) e os alunos devem ser orientados a respeitar a opini?o do colega.

IMAGEM 1 - O Mundo da Matem?tica

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Imagem do v?deo ?O mundo da matem?tica - Epis?dio 5 - Fractais - A ordem na desordem?  
Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15919

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INTRODU??O ? ATIVIDADE

Com o objetivo de verificar o que os alunos j? conhecem sobre fractais, o professor dever? propor os seguintes questionamentos: ?Voc?s j? ouviram falar algo sobre fractais? [Se sim] O qu?? Onde? [Se n?o] O que voc?s imaginam ao ouvirem o termo ?fractal?? O que s?o fractais? H? alguma aplica??o dos fractais no dia a dia??.

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APRESENTA??O DO V?DEO

O professor dever? disponibilizar o v?deo ?O mundo da matem?tica - Epis?dio 5 - Fractais - A ordem na desordem?, orientando os alunos a observarem sobretudo as principais caracter?sticas de um fractal e a sua presen?a nos ambientes expostos no v?deo. Ap?s a exibi??o do filme, o professor dever? incentivar os alunos a responderem aos questionamentos iniciais a partir das informa??es do v?deo e apresentarem suas d?vidas para serem discutidas. Em seguida, o docente comentar? (caso os alunos j? n?o tenham comentado) que os fractais podem ser aplicados em algumas ?reas e/ou ci?ncias como: biologia, f?sica, geografia, artes, engenharia, medicina e inform?tica, assunto a ser desenvolvido nas pr?ximas etapas da atividade.

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PESQUISA

Ap?s a exibi??o e debate a partir do v?deo proposto e com objetivo de abordar a diversidade de fractais, o docente dever? dividir a turma em seis grupos e orient?-los a desenvolverem uma pesquisa na internet de acordo com as seguintes propostas:

Grupo 1- Fractais na Biologia

Sugest?es de sites:

?         http://microsintonias.blogspot.com/2009/06/fractais-na-natureza.html (Acesso: 19/09/2011)

?         http://microsintonias.blogspot.com/2009/06/um-pouco-de-tudo-e-mais-fractais.html (Acesso: 19/09/2011)

?         http://sites.google.com/site/onthechaos/aplic (Acesso: 19/09/2011)

?         http://ultimosegundo.ig.com.br/ciencia/manchas+na+pele+de+coelhos+seguem+geometria+fractal/n1300112072655.html (Acesso: 19/09/2011)

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Grupo 2 - Fractais na Medicina

Sugest?es de sites:

?         http://sites.google.com/site/onthechaos/aplic (Acesso: 19/09/2011)

?         http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php (Acesso: 19/09/2011)

?         http://medicinaasuamedida.blogspot.com/2008/11/fractais.html (Acesso: 19/09/2011)

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Grupo3 - Fractais na Geografia

Sugest?es de sites:

?         http://sites.google.com/site/onthechaos/aplic (Acesso: 19/09/2011)

?         http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/climatologia/article/view/730/956 (Acesso: 19/09/2011)

?         http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o-que-sao-fractais (Acesso: 19/09/2011)

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Grupo 4 - Fractais nas Artes

Sugest?es de sites:

?         http://www.festivaldearte.fafcs.ufu.br/2004/comunicacoes-08.htm (Acesso: 19/09/2011)

?         http://www.fractarte.com.br/artigos/superinteressante.php (Acesso: 19/09/2011)

?         http://chocoladesign.com/arte-com-a-matematica-fractais (Acesso: 19/09/2011)

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Grupo 5 - Fractais na engenharia e na arquitetura

Sugest?es de sites:

?         http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php (Acesso: 19/09/2011)

?         http://www.arquitetonico.ufsc.br/arquitetura-e-geometria-fractal (Acesso: 19/09/2011)

?         www4.uninove.br/ojs/index.php/exacta/article/download/706/646 (Acesso: 19/09/2011)

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PREPARA??O E APRESENTA??O DA PESQUISA

O professor dever? solicitar a cada grupo que construa uma apresenta??o em slides da pesquisa realizada para o restante da turma. Esta apresenta??o pode conter ainda v?deos do Youtube, anima??es de fractais e curiosidades sobre o tema abordado por cada grupo.

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Na exposi??o da pesquisa, os grupos dever?o apresentar o que compreenderam acerca do conceito de fractal e itera??o, a aplica??o dos fractais nas respectivas ?reas de cada grupo, a import?ncia de se estudar a geometria dos fractais e curiosidades encontradas.

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BLOG: O QUE EU ACHEI INTERESSANTE SOBRE FRACTAIS!

O professor dever? criar um blog para a turma, este poder? ser utilizado n?o s? para a divulga??o das produ??es dos alunos, mas tamb?m como um meio de discuss?o sobre temas matem?ticos, e n?o apenas nessa aula, como em outras ao longo do ano letivo. O seguinte endere?o eletr?nico orienta o processo de cria??o de um blog: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=42829.

Ap?s a postagem das apresenta??es, os alunos, agora individualmente, dever?o comentar as apresenta??es dos colegas, destacando o que acharam interessante sobre fractais em ?reas de conhecimento diferentes da que pesquisaram. O professor dever? elaborar um post para a realiza??o desses coment?rios, recomenda-se o seguinte t?tulo: ?O que eu achei interessante sobre fractais!?.

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ATIVIDADE 2 ? DESENVOLVENDO FRACTAIS

Esta atividade ocorrer? no Laborat?rio de inform?tica Educativa (LIE), e ser?o utilizados os seguintes recursos: cartolina ou papel madeira, r?gua, tesoura, l?pis de cor e canetinhas hidrocor. Recomenda-se que o professor ratifique as regras acordadas na atividade 1,exceto a organiza??o dos alunos,pois a turma dever? ser dividida em seis grupos. Sugere-se a participa??o de um professor de artes para auxiliar na orienta??o quanto ao desenvolvimento de um trabalho criativo.

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CONSTRU??O DOS FRACTAIS                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Inicialmente, cada grupo receber? uma folha com fractais desenvolvidos at? a terceira itera??o(repeti??o),que dever?o ser desenhados na cartolina ou papel madeira, produzindo um painel. Os alunos poder?o desenhar o fractal at? a terceira itera??o ou desenvolver mais itera??es a partir das orienta??es descritas para cada um dos grupos.

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Grupo 1

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Orienta??es para o desenho

Todos os pent?gonos expostos acima s?o regulares. Ao construir um pent?gono regular, este dever? ser a base para a constru??o de outros cinco pent?gonos regulares.  As itera??es s?o sucessivas, tomando-se como refer?ncia o n?vel anterior apresentado.

Fonte: http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/GEOMETRIAFRACTAL.pdf

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Grupo 2

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Orienta??es para o desenho

Fractais do tipo ?rvore podem ser desenvolvidos com o uso de tri?ngulos. No n?vel 1, utiliza-se o tri?ngulo ret?ngulo, com lados na propor??o 3, 4 e 5. Sobre seus catetos e sobre sua hipotenusa, s?o constru?dos quadrados. Com a base formada, desenvolve-se a figura.

Fonte: http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/GEOMETRIAFRACTAL.pdf

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Grupo 3

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Orienta??es para o desenho

Todos os hex?gonos expostos acima s?o regulares. Ao construir um hex?gono regular, este poder? ser a base para a constru??o de outros seis hex?gonos regulares.  As itera??es s?o sucessivas, tomando-se como refer?ncia o n?vel anterior apresentado.

Fonte: http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/GEOMETRIAFRACTAL.pdf

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Grupo 4

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Orienta??es para o desenho

Floco de neve de Koch ? desenvolvido a partir de um tri?ngulo equil?tero. Neste caso, adiciona-se um novo tri?ngulo equil?tero com um ter?o do per?metro do tri?ngulo original, o mesmo procedimento ? repetido nos pr?ximos n?veis.

Fonte: http://scidiv.bcc.ctc.edu/Math/Snowflake.html

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Grupo 5
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Orienta??es para o desenho

O tri?ngulo de Sierpinski inicial ? um tri?ngulo equil?tero. No n?vel seguinte, o tri?ngulo ? dividido em  quatro  tri?ngulos  menores e o tri?ngulo  central  ?  removido para a constru??o da pr?xima figura adota-se o procedimento anterior tr?s vezes.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Sierpinski

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Grupo 6

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Orienta??es para o desenho

O tapete de Sierpinski ? constru?do retirando-se o quadrado central do quadrado inicial, o mesmo deve ser realizado com os centros dos oito quadrados menores que surgem e assim por diante.

Fonte: http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/2139/fractais-uma-nova-viso-da-natureza

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ANALISANDO AS CARACTER?STICAS DOS FRACTAIS

Durante a execu??o da atividade, o professor dever? estimular os grupos a analisarem suas produ??es, com questionamentos como os seguintes: ?O que ocorre com a ?rea e o per?metro se o n?mero de repeti??es for infinito? Qual denomina??o voc?s indicariam para este fractal??. Ap?s a elabora??o desse nome, os grupos dever?o pesquisar na Internet o nome do fractal e o porqu? de tal denomina??o.

Observa??o: Ao pesquisar o nome dos fractais os alunos encontrar?o:

TABELA 1 - Nomes dos fractais

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Fonte: Cria??o do Autor

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D? SUA OPINI?O SOBRE OS PAIN?IS

Os grupos dever?o expor os seus pain?is em locais vis?veis da escola para que todos apreciem esta produ??o e sintam-se estimulados a votarem no painel que mais impressionou, atrav?s do blog da turma. Cada grupo poder? postar, al?m do painel com o seu respectivo fractal, fotos de alguns momentos vividos durante a realiza??o do trabalho.  Al?m disso, os componentes de cada grupo dever?o fazer coment?rios individuais, expondo curiosidades e informa??es sobre o tipo de fractal que constru?ram. Essa ?ltima parte da atividade n?o ser? feita em tempo real e, assim, o professor dever? definir com os alunos como ser? o seu desenvolvimento.

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ATIVIDADE 3?EXPLORANDO O FRACTAL CONHECIDO COMO CURVA DE PEANO

PREPARA??O DO AMBIENTE:

Esta atividade ser? desenvolvida na sala de aula, e ser?o utilizados os seguintes recursos: quadro branco, pincel, papel quadriculado e folha com a tabela que segue abaixo: 

TABELA 2 - Caracter?sticas dos fractais

 

Fonte: Cria??o do Autor
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Recomenda-se que o professor estabele?a, juntamente com os alunos, algumas regras para o desenvolvimento das atividades.

Sugest?es de regras:

*Participa??o nas atividades;

*A turma dever? ser organizada em duplas;

*Respeitar a opini?o do colega.

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DESCRI??O DA ATIVIDADE:

Inicialmente, o professor dever? propor aos alunos o seguinte problema:

De acordo com as instru??es abaixo, construa o fractal Curva de Peano numa folha quadriculada.

Instru??es para a constru??o proposta:

Inicia-se com o desenho de um segmento de reta de comprimento unit?rio. Em seguida, deve-se substituir este segmento por nove segmentos medindo 1/3 do segmento original. E assim sucessivamente, como mostra a figura abaixo:

IMAGEM 3 - Constru??o de fractais

Fonte: http://www.natcomp.com.br/lvcon/tema?tema=6#1.0

Ao finalizar a constru??o do fractal, os alunos, organizados em duplas, dever?o ser orientados a preencherem a tabela 2 de acordo com os seguintes questionamentos: ?Qual express?o poderia ser utilizada para calcular o n?mero de segmentos do fractal em qualquer n?vel de itera??o? E para calcular o comprimento de cada segmento? E o comprimento total do fractal??.

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MOMENTO DO ALUNO:

Este ? o momento em que os alunos realizar?o a atividade proposta. Eles podem ter dificuldades em identificar o comprimento dos segmentos a serem constru?dos a partir da segunda itera??o. Desse modo, recomenda-se que o professor proponha os seguintes questionamentos: ?Qual ? a medida de cada segmento na segunda itera??o da constru??o desse fractal? Qual ? a rela??o entre as medidas dos segmentos determinados nas duas primeiras itera??es??.

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DISCUSS?O:

As duplas dever?o expor suas solu??es e o modo como as obtiveram, como tamb?m as dificuldades encontradas na realiza??o da atividade.

Seguem abaixo os dados a serem preenchidos na tabela proposta na descri??o dessa atividade.

TABELA 3 - Preenchendo a tabela das caracter?sticas dos fractais

Fonte: Cria??o do Autor

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Em seguida, recomenda-se que o professor proponha o seguinte questionamento: ?Se o n?mero de itera??es tender ao infinito qual ser? a figura geom?trica formada??.

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SISTEMATIZA??O:

Neste momento, o professor formalizar? o assunto abordado na atividade juntamente com os alunos.

Para isto, ele dever? propor aos discentes o seguinte questionamento: ?As express?es obtidas nesta atividade poderiam ser utilizadas para todos os tipos de fractais??.

Ap?s uma breve discuss?o, recomenda-se que o professor, com o aux?lio dos alunos,verifique as respostas dadas ao questionamento proposto preenchendo a tabela x, utilizando como refer?ncia o fractal Conjunto de Cantor. Segue o procedimento de constru??o desse fractal: considere um segmento de comprimento L = 1 unidade.  Divida-o em 3 partes iguais e retire o interior da parte central. Repetindo, sucessivamente,o processo em cada intervalo restante.

Fonte: www.rpm.org.br/conheca/fractais.pdf

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Tabela preenchida para o fractal Conjunto de Cantor.

TABELA 4 - Tabela do Conjunto de Cantor

Fonte: Cria??o do Autor

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Logo, espera-se que os alunos verifiquem que cada tipo de fractal tem uma lei de forma??o para os aspectos abordados nesta atividade.

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Sugest?es de links para alunos:

"O mundo dos fractais", site da Faculdade de Ci?ncias,Universidade de Lisboa -http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/index.htm

 Acesso em 25 de Abril de 2012

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Sugest?es de links para professores:

"Fractais e a geometria da natureza", site Prisma ? luz da f?sica

http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico1.php

Acesso em 25 de Abril de 2012

Criar o blog da sua turma: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/conteudoJornal.html?idConteudo=24

V?deo explicando como criar um blog: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/jornalVideos.html?idEdicao=2

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Links do Portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

Aula ?Geometria dos Fractais?

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25806

Acesso em 25 de Abril de 2012

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Sugere-se que o professor verifique na, atividade 1, se os alunos compreenderam a import?ncia do estudo dos fractais e a presen?a em diversas ?reas do conhecimento a partir dos coment?rios postados no blog, como tamb?m da apresenta??o sobre fractais. Na atividade 2, o docente poder? averiguar se os alunos conseguiram compreender o processo de forma??o de um fractal a partir do pain?is constru?dos. E na atividade 3, recomenda-se identificar se os alunos conseguiram construir as express?es relacionadas ao fractal Curva de Peano, a partir do desempenho nas resolu??es dos questionamentos propostos.