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- O conceito de população e amostra;

- Calcular a média aritmética, moda e mediana de uma distribuição;

- Identificar a relação de um histograma com as medidas de tendência central.

3 horas/aula

 

- Conhecimentos de proporcionalidade e porcentagem;

- Divisão de números inteiros;

- Representação de um número em sua forma decimal.

 

AMBIENTE :  Sala de Aula

ATIVIDADE 1:

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Nesta atividade serão utilizados os seguintes recursos: cartolina, caneta colorida, tesoura e uma caixinha (ou saco), (será necessária apenas uma caixinha para a turma).

Recomendam-se as seguintes regras para o desenvolvimento das atividades:

- Participação nas atividades;

- A turma será dividida em quatro grupos, estes deverão ser nomeados da seguinte forma: grupo 1, grupo 2, grupo 3 e grupo 4.

- Respeitar a opinião do colega.

 

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Esta atividade será realizada em três etapas:

Etapa 1:

O professor deverá solicitar a cada grupo que recorte a cartolina em 25 pequenos quadrados de mesmo tamanho. Utilizando as canetas coloridas (a escolha da cor fica a critério do professor e dos alunos, pois o objetivo é apenas diferenciar os quadrados), os alunos deverão pintar alguns dos quadrados produzidos (entre 2 e 10 quadrados) e anotar em seus cadernos quantos quadrados foram pintados (cada grupo deverá manter esse número em segredo, pois o conhecimento prévio desta quantidade poderá interferir no resultado final).Em seguida, os 25 quadrados deverão ser depositados na caixinha que está no centro da sala.

Etapa 2:

O professor deverá solicitar a cada grupo que retire 15 quadrados da caixinha e preencha a tabela abaixo com as seguintes informações:

1.    O número de quadrados pintados;

2.    O número de quadrados retirados;

3.    A razão entre esses números.

Após esse momento, cada grupo deverá retirar 20 quadrados e preencher a tabela abaixo com os novos dados.

 

Tabela 1: Razão entre quadrados pintados e retirados

	Grupo 1	Grupo 2	Grupo 3	Grupo 4
QUADRADOS PINTADOS
QUADRADOS RETIRADOS
N= Quadrados Pintados / Quadrados Retirados

                                                                                                                 Fonte: Criação do Autor

Observações:

- O representante do grupo deverá repor os quadrados na caixinha para que o processo seja realizado por outro grupo.

- Cada grupo deverá anotar seus resultados e os resultados dos outros grupos.

Etapa 3

O professor deverá solicitar a cada grupo que, baseado em seus dados e nos seus conhecimentos prévios de porcentagem ou proporção, estime a quantidade total de quadrados que foram pintados.

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta.

DISCUSSÃO:

 

Os grupos apresentarão ao restante da turma seus resultados.Em seguida, o professor deverá propor a seguinte questão: O que aconteceria se retirássemos uma quantidade maior do que 20 quadrados da caixinha? Espera-se que os alunos respondam que eles teriam uma certeza maior em relação ao resultado encontrado à medida que possuírem uma quantidade maior de quadrados em mãos, caso os grupos não observem isso, o professor deverá solicitar a análise dos dados com retiradas cada vez maiores de quadrados da caixinha. 

SISTEMATIZAÇÃO:

Nesse momento, o professor formalizará o conteúdo estudado. Desse modo, ele deverá explicar que os quadrados retirados da caixinha representam uma amostra da população que, neste caso, é a quantidade total de quadrados. Com o intuito de fazer com que os alunos percebam que a razão entre o número de quadrados pintados e os quadrados retirados obtida por cada grupo é, aproximadamente, igual à razão entre o total de quadrados pintados e a quantidade total de quadrados, o professor deverá revelar o total de quadrados pintados por cada grupo e solicitar que dividam esse número pelo total de quadrados existentes (neste caso a quantidade total de quadrados é igual a 100) e comparar este resultado encontrado com o obtido pelo grupo. Por exemplo, se o grupo retirou 50 quadrados, 13 eram pintados, suponha que temos o total de 24 quadrados pintados, assim este grupo realizará os seguintes cálculos:

 

 

AMBIENTE :Sala de Aula

ATIVIDADE 2:

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Para esta atividade serão utilizados os mesmos recursos da atividade anterior. O professor deverá ratificar as regras citadas na atividade anterior.

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE 2:

Esta atividade será realizada em quatro etapas:

Etapa 1

O professor deverá propor a cada grupo que construa a seguinte tabela:

                                                                             Tabela 2: Razão entre quadrados pintados e retirados

Número de Quadrados Retirados	N= Número de quadrados pintados / Número de Quadrados Retirados
10	N10 = ________
20	N20 = ________
30	N30 = ________
40	N40 = ________
50	N50 = ________

 

                                                                 Fonte: Criação do Autor

 

Etapa 2

O professor solicitará a cada grupo:

- Retirar aleatoriamente da caixinha 10, 20, 30, 40 e 50 quadrados (cada aluno deverá repor os quadrados na caixinha após cada retirada) e dividir a quantidade de quadrados pintados pela quantidade de quadrados retirados, esse processo será repetido entre os quatro grupos;

- Anotar seus resultados na tabela construída.

Etapa 3

Cada grupo deverá construir a tabela abaixo e preenchê-la com os resultados dos passos descritos abaixo:

Tabela 3: Resultados Encontrados

Resultados Encontrados

1)

2)

3)

 

1)Somar os resultados(N₁₀,N₂₀,N₃₀,N₄₀,N₅₀) e dividir pelo número total de resultados encontrados;

2) Verificar que resultado mais se repetiu;

3) Dispor os resultados em ordem crescente e identificar qual é o termo que se encontra no meio da sequência.

Etapa 4

Cada equipe deverá dizer que resultado representa melhor a porcentagem de quadrados pintados dentro da caixinha. Para realizar essa escolha os alunos deverão comparar esse resultado com o valor correto encontrado na atividade anterior (este valor correto é a razão entre a quantidade de quadrados pintados e o total de quadrados existentes).

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta. Uma possível dificuldade poderá ocorrer na realização do passo 2 da terceira etapa, caso não se tenha resultados repetidos o professor deverá orientar o aluno à escrever: “resultado inexistente”, se ocorrer resultados que se repetem com a mesma freqüência, então o professor deverá orientar o aluno à registrar esses resultados.

DISCUSSÃO:

Cada grupo deverá expor para o restante da turma seus resultados, qual dos passos (1, 2 ou 3) eles escolheram para representar os dados e o motivo da escolha, por exemplo, certo grupo escolheu o passo 2, pois seu valor está entre os valores dos passos 1 e 3. Após as exposições o professor deverá comentar a escolha de cada grupo e a “lógica” utilizada por eles. O seguinte questionamento deverá ser realizado: Onde podemos identificar essas operações no cotidiano? Como elas se apresentam?

SISTEMATIZAÇÃO:

Para formalizar os conceitos de Média, Moda e Mediana o professor deverá propor as seguintes perguntas e, juntamente com seus alunos, procurar respondê-las: Por que os três resultados obtidos em cada grupo podem representar os demais resultados? Por que alguns resultados são mais aproximados do valor correto do que outros?

O professor deverá explicar que as operações realizadas por eles são denominadas Média, Moda e Mediana e representam a tendência para os dados considerados. Essas operações são exibidas, respectivamente, nos passos 1, 2 e 3 da terceira etapa desta atividade.

Com o intuito de sistematizar alguns aspectos relacionados à média, moda e mediana, o professor deverá abordar os seguintes tópicos:

 

1.            Se tivéssemos mais dados, o que aconteceria com os valores dos passos 1, 2 e 3? Espera-se que os alunos observem que esses valores ficariam mais próximos.

2.            Quando uma distribuição não possui moda, ou seja, quando não existem resultados se repetindo, dizemos que essa distribuição é amodal. Se a distribuição possuir mais de uma moda, ou seja, quando existir mais de um resultado se repetindo com a mesma freqüência, dizemos que essa distribuição é bimodal, trimodal, etc.

3.            Se tivermos uma quantidade par de dados, como poderíamos calcular a mediana? O professor explicará que nesse caso, a mediana será a média aritmética dos termos centrais. 

 

AMBIENTE :Sala de Aula / Laboratório de Informática

ATIVIDADE 3:

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Os recursos utilizados nesta aula serão utilizados uma fita métrica, folhas de papel, o computador e o software GeoGebra, disponível no Banco Internacional de Objetos Educacionais através do seguinte endereço: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17984 .

Recomenda-se que o professor, estabeleça juntamente com os alunos algumas regras para o desenvolvimento dessa atividade:

- Participação na atividade;

- Nesta atividade a turma será dividida em duplas;

- Respeitar a opinião do colega.

ORIENTAÇÕES QUANTO AO USO DO SOFTWARE:

O GeoGebra é um software de geometria dinâmica que possibilita a obtenção de representações geométrica e algébrica de um objeto matemático.

Observação:

1. Para o funcionamento do GeoGebra é necessário que o computador tenha o plugin Java.

2. Ao abrir o arquivo de download do GeoGebra, clicar com o botão direito no arquivo geogebra.jar que está na pasta unsinegd e escolher a opção “abrir com o Java” para que o software seja exibido na tela.

Recursos do GeoGebra que serão utilizados nesta atividade:

• Barra de Entrada: o comando “histograma” será inserido neste espaço, basta escrevê-lo e em seguida pressionar a tecla Enter (Ver a Figura 1).
• Menu Exibir: a opção planilha apresenta este recurso na tela do software.
• Janela de Visualização: apresenta os resultados dos comandos executados. 

 

 

• Ampliar: Essa opção amplia a imagem exibida na Janela de Visualização. Para selecioná-la, basta clicar no botão indicado na Figura 2 e selecionar a opção “Ampliar”.

 

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Esta atividade será realizada em quatro etapas:

Etapa 1 (A ser realizada em Sala de Aula)

O professor deverá solicitar aos alunos a realização das seguintes ações:

- Medir sua altura e escrevê-la no quadro (O aluno deverá registrar sua altura em metros).

- Cada dupla deverá ordenar e registrar numa folha de papel as alturas descritas no quadro em ordem crescente.

Etapa 2 (A ser realizada em Sala de Aula)

Cada dupla deverá construir a tabela abaixo e preenchê-la com as alturas encontradas anteriormente:

                                                         

 

Observações:

- A tabela acima foi construída considerando a menor altura entre 1,50 e 1,55, e a maior altura entre 1,75 e 1,80.

- Se a menor altura for menor que 1,50 m, então a tabela deverá ser alterada, por exemplo, se a menor altura for 1,43, então a tabela se iniciará pelo intervalo de 1,40 até 1,45. O mesmo acontece quando a maior altura supera 1,80 m.

 

Segue abaixo um exemplo da tabela 4 preenchida:

 

Roteiro de utilização do GeoGebra (A ser realizada no Laboratório de Informática)

Cada dupla deverá iniciar o software GeoGebra e realizar os seguintes passos:

1)    Clicar em “Exibir” na barra de menu e marcar a opção planilha.

2)    Preencher a coluna “A” com os intervalos de altura, (Por exemplo, de acordo com a tabela 6, a célula A1 deverá conter o valor 1.50.)

Observação: Os decimais deverão ser registrados com pontos no lugar de vírgulas.

3)    Preencher a coluna “B” a partir da segunda célula (B2) com a quantidade de alunos em cada intervalo. (Pela tabela 5, a célula B2 deverá conter o valor 3, a célula B3 o valor 7, e assim sucessivamente até a célula B7 com o valor 2).

 

1)    Selecionar os valores da coluna A, clicar com o botão direito do mouse e selecionar a opção “Criar Lista”. Repetir esse passo com a coluna “B”. Nesse momento foram criadas as listas L₁ e L₂.

2)    Escrever o comando histograma [L_1, L_2] na barra de entrada e apertar o botão Enter.

3)    Clicar na Janela de Visualização com o botão direito do mouse, selecionar a opção “EixoX:EixoY” e clicar em “1:20”.

 

Etapa 4

Cada dupla deverá:

A)   Calcular a média, a moda (classificar em amodal, modal, bimodal, trimodal, etc.) e a mediana das alturas.

B)    Verificar onde a média, a moda e a mediana localizam se no gráfico construído.

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta pelo professor.  

DISCUSSÃO:

Os alunos deverão apresentar os resultados encontrados ao restante da turma, debatendo as principais dificuldades encontradas durante a realização da atividade. Com o intuito de estimular uma discussão a partir de uma análise das ações e resultados envolvidos nessa atividade, o professor deverá propor as duplas os seguintes questionamentos:

- Quais as vantagens e as desvantagens de representar os dados em forma de gráfico? 

- Por que as posições da média, da moda e da mediana se localizam próximas uma das outras?

- Qual a relação entre a quantidade de alunos em certo intervalo e a altura da barra vertical nesse mesmo intervalo?

SISTEMATIZAÇÃO:

Com o intuito de formalizar a construção de um histograma, o professor deverá solicitar aos alunos a realização da seguinte modificação:

Alterar alguns dos valores presentes na coluna “B” da planilha.

Pergunta 1: O que aconteceu com o gráfico?

Pergunta 2: O que aconteceu com a Média, a Moda e a Mediana?

O professor deverá explicar que o gráfico construído se denomina “Histograma” e ele representa a forma como os dados se distribuem em certo intervalo fixado previamente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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O professor deverá investigar se os alunos conseguiram compreender os conceitos trabalhados em cada atividade. Na atividade 1 recomenda-se que o professor verifique se os alunos conseguiram compreender corretamente os conceitos de Amostra e População. Na atividade 2, o professor deverá averiguar se os alunos compreenderam a diferença entre média, moda e mediana. E na atividade 3, o professor deverá verificar se os alunos identificaram a relação existente entre os dados apresentados e a construção do histograma que os representa.