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A Geometria no Espa?o

Autor e Co-autor(es)

Iozodara Telma Branco De George imagem do usuário

CURITIBA - PR SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCA??O

Suelen Fernanda Machado

Estrutura Curricular

Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino M?dio Matem?tica Geometria
Ensino M?dio Matem?tica Tecnologia para a matem?tica

Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

- Estabelecer rela??es entre as figuras uni, bi e tridimensionais.

- Perceber o mundo tridimensional, identificando as diferentes dimens?es por meio da visualiza??o.

- Exercitar a visualiza??o espacial.

- Explorar as propriedades matem?ticas da Geometria Espacial.

Duração das atividades

4 a 5 aulas (50 minutos cada).

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Conhecimentos de matem?tica b?sica e Geometria Plana. No??es de Geometria Espacial, permuta??es, simetria e proje??es ortogonais.

Estratégias e recursos da aula

Icone Videos

Professor, para essa aula ? importante que os alunos assistam antecipadamente o filme Flatland.

Solicite que os alunos (durante a exibi??o) fa?am anota??es sobre elementos que considerarem importante, identificando percep??es de conceitos matem?ticos presentes, bem como, de quest?es sociais que julgarem pertinente discutir.

Flatland

Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=cxUUTNtILk0

O filme pode ser encontrado em DVD nas locadoras (ver detalhes do filme em: http://store.flatlandthemovie.com, ou acessar o trailler em: http://www.youtube.com/watch?v=C8oiwnNlyE4),  ou se o professor preferir, pode acessar os epis?dios em:

Epis?dio 1 - http://www.youtube.com/watch?v=cxUUTNtILk0

Epis?dio 2 - http://www.youtube.com/watch?v=0pd8LH0FBY8

Epis?dio 3 - http://www.youtube.com/watch?v=kSoEGkwv1mY

Epis?dio 4 - http://www.youtube.com/watch?v=SZgVi788dqk

Epis?dio 5 - http://www.youtube.com/watch?v=yerWRBdaVGQ

Epis?dio 6 - http://www.youtube.com/watch?v=epM_zOX4u4k

Epis?dio 7 - http://www.youtube.com/watch?v=Chd_MS3J9HA

Epis?dio 8 - http://www.youtube.com/watch?v=94npBEuGVkw

Contexto do Filme

O filme permite ao professor explorar com os alunos uma melhor percep??o do mundo tridimensional, agu?ando a criatividade e a imagina??o. O personagem principal ? um Quadrado, habitante de Flatland, que ao conhecer uma Esfera ? levado para um lugar absolutamente m?gico, o espa?o de Quatro Dimens?es, algo ousado e proibido, sendo por isso condenado ? pris?o. 

Todos os habitantes de Flatland s?o pol?gonos e a sociedade se baseia em um sistema de castas que divide seus habitantes pelo n?mero de lados que possuem. Os tri?ngulos formam a casta mais baixa; os c?rculos (com seus infinitos lados infinitesimais) comp?em a casta dominante. Nesse universo, as figuras que nascem com deformidades s?o submetidas a tratamento m?dico e se n?o forem ?curadas?, morrem. Autoridades poligonais e circulares garantem a ordem da sociedade impondo o cumprimento de leis severas. As mulheres t?m forma de segmento de reta e, por isso, s?o obrigadas a emitirem um som caracter?stico enquanto se deslocam para n?o provocar acidentes. 
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Todas as figuras personificam a sociedade humana, com seus conflitos, humores e emo??es. Assim, al?m do filme permitir ao professor iniciar uma discuss?o sobre o conceito de dimens?es, permite propor uma reflex?o filos?fica sobre o aprendizado humano, permitindo uma cr?tica ? organiza??o social imposta pela sociedade, quest?es de religi?o e pol?tica. Elementos esses que podem ser abordados pelo professor no contexto dos epis?dios.
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Atividade 1

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Ao final do filme, os alunos dever?o apresentar suas percep??es a partir dos seguintes apontamentos encaminhados pelo professor:
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1 - Como seria viver em um mundo unidimensional? Qual seria nossa percep??o de mundo?
2 - Como seria viver em um mundo bidimensional? Qual seria nossa percep??o de mundo?
3 - E em um mundo tridimensional? Qual seria nossa percep??o de mundo?
4 - Quais s?o os elementos que aparecem no filme que pertencem a essas dimens?es?
5 - Quais rela??es podemos estabelecer entre figura bidimensional ou plana e a representa??o tridimensional ou espacial?
6 - Por indu??o, podemos aceitar a estranha ideia de existir um mundo com n dimens?es? Se n?o, por que?  
7 - Vamos imaginar novamente, um habitante da segunda dimens?o, j? percebeu o qu?o dif?cil ? para ele aceitar que existem 3 dimens?es? 
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O professor pode dar um tempo para que os alunos fa?am suas anota??es no caderno e, em seguida, possam apresentar oralmente suas observa??es na forma de um grande semin?rio. Essa din?mica tamb?m pode ser feita em grupos. Conforme os alunos ou grupos apresentem seus registros, o professor poder? retomar pontos do filme, refor?ando conceitos da Geometria Espacial (unidimensional, bidimensional, tridimensional, etc). 
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Para fechar este momento, o professor poder? propor que os alunos produzam um desenho (em uma folha de papel) de um gr?fico tridimensional com 3 eixos ortogonais. Para esse caso, o m?ximo que conseguimos ? fazer uma "proje??o", e imaginar que aquele terceiro eixo (o eixo x na figura) ? ortogonal aos outros dois. Isto ?, estar? "saindo" da folha de papel. 
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? importante que os alunos socializem seus desenhos, e que apresentem de que forma chegaram ?quela conclus?o.
eixo

? importante que os alunos registrem suas observa??es no caderno,

Atividade 2

Ap?s a discuss?o, o professor deve encaminhar os alunos ao laborat?rio de inform?tica, organizando-os em grupos. No laborat?rio propor a realiza??o dos experimentos dispon?veis em:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16502

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experimento

Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/

Para realiza??o dessa atividade ? necess?rio que o professor estabele?a um tempo pr?-determinado (por exemplo: 30 minutos),  mas deixe que os grupos naveguem pelos experimentos livremente. E que proponha que os grupos de alunos respondam os questionamentos previstos em cada experimento no caderno. Buscando fazer associa??o com o filme Flatland.

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Ap?s o desenvolvimento dos experimentos e de observar as anota??es dos grupos, o professor pode encaminhar:
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Pessoas diferentes podem interpretar uma mesma figura de maneiras diferentes. Por exemplo, no experimento 1, ? poss?vel que surjam interpreta??es como: um pequeno c?rculo, um ponto ou uma pequena esfera. ? dif?cil interpretar um objeto tridimensional olhando-o em uma posi??o fixa o que ocorre quando olhamos uma figura no plano dimensional (folha de papel). 
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Mesmo se visualizamos um objeto tridimensional de v?rias posi??es diferentes (como, por exemplo, no filme), identific?-lo pode ser ainda uma tarefa dif?cil. Por exemplo, quando interagimos com o objeto no experimento 1. Por isso usamos o eixo das coordenadas, para nos auxiliar nessa visualiza??o.
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No experimento 2, os alunos podem perceber claramente que dependendo do objeto e da sua posi??o, podemos encontrar diferentes visualiza??es.
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O experimento 3, nos faz refletir que muitas vezes n?o percebemos que damos mais significado a uma figura do que ela apresenta. Pois muitas vezes nossos olhos est?o viciados. 
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E finalmente que o experimento 4, nos apresenta tr?s quadros de uma mesma imagem mas, que os objetos que geraram estas imagens s?o, de fato, diferentes.
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Todo o estudo que fizemos at? aqui, tanto no filme quanto nos experimentos, tem por objetivo exercitar a visualiza??o espacial, explorando propriedades matem?ticas da Geometria Espacial.
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A Geometria espacial funciona como uma amplia??o da Geometria plana e trata dos m?todos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a rela??o entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, s?o: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ?ngulos e superf?cies. 
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Neste momento, ? importante o professor retomar conceitos sobre ponto, reta e plano.

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Atividade 3

Em sala de aula, com os alunos reunidos em grupos, propor os seguintes problemas que tamb?m apresentam a quest?o da visualiza??o equivocada, conforme j? apresentado na atividade 2.

Para realiza??o dos problemas, ? importante que o professor instigue que os grupos identifiquem/descubram a resposta, justificando-a por escrito.

a) (ENEM, 2010) A figura abaixo representa um sal?o de um clube onde est?o destacados os pontos A e B.

problema 1

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Nesse sal?o, no ponto A chega o sinal da TV a cabo. Na inten??o de instalar um tel?o para a transmiss?o dos jogos de futebol do Brasileir?o, esse sinal dever? ser levado at? o ponto B por meio de um cabeamento que seguir? na parte interna da parede e do teto. Assim, o menor comprimento que esse cabo dever? ter para ligar os pontos A e B poder? ser obtido por meio da seguinte representa??o no plano:
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resposta problema 1

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Resposta:

A menor dist?ncia entre dois pontos no plano, nessa situa??o, ser? na ?nica imagem em que eles s?o colineares, ou seja, pertencem ? mesma reta. Letra E.

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b) (Enigma ? atribu?do a Scott Kim) Cortou-se uma letra mai?scula de um peda?o de papel e a dobrou uma vez. O resultado ficou assim:
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letra

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Que letra foi essa?
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A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Z
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Dicas: Existem duas possibilidades.
A letra pode ter sido girada ou invertida antes de se fazer a dobra.

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letra_resposta

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Resposta:
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Um F, invertido.

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c) (UFSCAR, 2007) Retirando-se um semicilindro de um paralelep?pedo retoret?ngulo, obtivemos um s?lido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, est?o indicadas nas figuras.
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problema 3
Se a escala das medidas indicadas na fotografia ? 1:100, o volume do s?lido fotografado, em m3, ? igual a:
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Resposta:
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Como a escala na fotografia ? 1:100, 1cm na fotografia equivale, no s?lido, a 100cm, ou seja, 1m. Assim, do enunciado, temos a figura do s?lido, cotada em metros:
3
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V= 7. 3. 2 - 1/2. [? . (4/2)2.2]
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V= 42 - 4?
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v= 2. (21-2?)
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A solu??o de cada problema proposto, dever? ser apresentada pelos grupos. Cada grupo dever? demonstrar no quadro, como solucionou cada um dos problemas. Ao final, o professor poder? apontar quais chegaram ? solu??o correta, refazendo com todos os problemas sugeridos.

Atividade 4

Para essa atividade, com os alunos reunidos em grupos no laborat?rio de inform?tica, propor o recurso Trip Lets, dispon?vel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15953. Tal recurso permite exercitar nos alunos a visualiza??o espacial; apresentando os eixos e planos coordenados como instrumentos de orienta??o no espa?o e investigando quest?es de permuta??es, simetria e proje??es ortogonais.

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Professor apresente a atividade aos alunos, permitindo que resolvam os desafios livremente, intervindo apenas quando necess?rio. Esta atividade n?o dever? ocupar mais do que 30 minutos no laborat?rio. Solicite que anotem  quantos desafios o grupo acertou. Se teve algum desafio que n?o conseguiram resolver e por qu?? Se usaram eixos e/ou planos coordenados? Se descobriram mais que uma solu??o para um mesmo desafio?
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Na atividade, algumas letras do abeced?rio possuem o mesmo formato. Por exemplo, W e M, H e I, Z e N.  O grupo percebeu algum desafio onde letras com o mesmo formato produzem palavras diferentes? Por exemplo: BEM e WEB? 
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Ainda, na atividade, existem letras que, quando visualizadas de dire??es opostas, produzem imagens diferentes. Tamb?m existem letras que, quando visualizadas de dire??es opostas, produzem imagens iguais. Por exemplo, a letra R produz imagens diferentes e a letra O imagens iguais. Quais outras letras produzem imagens diferentes? Quais outras letras produzem imagens iguais? Outras quest?es pertinentes.
Todas as quest?es e observa??es devem ser anotadas e respondidas pelo grupo, juntamente com as anota??es das atividades 1, 2 e 3. Compondo assim um relat?rio das aprendizagens dos alunos nesta aula.
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Ao final da aula, o professor dever? discutir com os alunos, sobre as atividades propostas para essa aula. Indagando se ficou clara a quest?o da percep??o necess?ria para visualiza??o do mundo tridimensional e bidimensional. Que todas as atividades tiveram por objetivo exercitar a visualiza??o espacial explorando as propriedades matem?ticas da Geometria Espacial.
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? importante que o professor observe os relat?rios dos grupos de alunos, discutindo as estrat?gias de solu??o dos exerc?cios adotados pelos grupos, bem como as dificuldades encontradas por eles para a realiza??o dos exerc?cios, dando ?nfase aos objetivos da aula, resultados, informa??es complementares, etc.

Recursos Educacionais

Nome Tipo
Proje??es em perspectiva Anima??o/simula??o
Trip-Lets Anima??o/simula??o

Recursos Complementares

Poliedros. Dispon?vel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/13115, acesso em 06 de maio de 2012.

Montanhas Geom?tricas. Dispon?vel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15593, acesso em 06 de maio de 2012.

S?lidos Plat?nicos. Dispon?vel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15954, acesso em 06 de maio de 2012.

Superf?cies e S?lidos em Revolu??o. Dispon?vel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16508, acesso em 06 de maio de 2012.

Pletora de Poliedros. Dispon?vel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18651, acesso em 06 de maio de 2012.

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Icone Referencias
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Geometria Espacial. Dispon?vel em: http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Geometria%20Espacial, acesso em 08 de maio de 2012.
Trip Lets. Dispon?vel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15953, acesso em 08 de maio de 2012.
Proje??es em perspectiva. Dispon?vel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16502, acesso em 06 de maio de 2012.

Avaliação

A avalia??o dever? ser realizada ao longo de todas as aulas, observando os alunos nos seguintes crit?rios:

1. Desenvolvimento e socializa??o das atividades no v?deo inicial. Se concentrou no desenvolvimento das atividades? Contribuiu na discuss?o posterior?

2. No desenvolvimento da atividade no laborat?rio de inform?tica?  O aluno foi argumentativo? Sua produ??o no grupo foi pertinente?

3. Na produ??o textual, o grupo do aluno formulou conceitos? Auxiliou ou solicitou aux?lio dos colegas.

4. Participa??o individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.

Um meio que pode contribuir para a verifica??o de aprendizagem dos alunos ? sempre solicitar aos alunos que tenham um portf?lio para registro de suas aprendizagens. Que diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos vem fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.

Consideramos que o Portf?lio tem sido um instrumento que compreende a compila??o dos trabalhos realizados pelos estudantes. Inclui, registros de visitas, resenhas ou fichamentos de textos, projetos e relat?rios de pesquisa e inclui principalmente ensaios auto reflexivos que, permitem aos alunos a discuss?o de como a experi?ncia na disciplina est? interferindo na sua forma??o. O Portf?lio permite ainda uma maior intera??o aluno/professor, possibilitando que sugest?es, d?vidas, aprofundamentos de assuntos, fa?am parte do processo ensino/aprendizagem.

O Portf?lio pode ser desenvolvido em projetos individuais ou coletivos. N?o deve ser confundido com uma pasta de trabalho onde o aluno vai guardar tudo o que fez, cronologicamente, ao longo de um per?odo letivo ou curso. O seu valor do ponto de vista da auto avalia??o ? exatamente na sele??o e organiza??o do material que ser? inclu?do, assim como nos coment?rios e justificativas que o aluno vai apresentar para tal escolha.

Para saber mais sobre avalia??o por portf?lio ver:

S?. Ilydio Pereira. Avalia??o por Portf?lio ou ?nem s? de provas vive a Escola?. Dispon?vel em: http://magiadamatematica.com/uerj/licenciatura/05-portfolio1.pdf, acesso em 05/04/2012.

S?. Ilydio Pereira. O uso do portf?lio na avalia??o da aprendizagem em Matem?tica. Dispon?vel em: http://www.sbemrj.com.br/spemrj6/artigos/a5.pdf, acesso em 05/04/2012.