Portal do Professor

• Definir poliedro;
• Identificar os elementos de um poliedro;
• Classificar poliedros;
• Distinguir poliedros atrav?s de caracter?sticas;
• Reconhecer um poliedro de Plat?o.

15 horas-aula.

Conhecimentos b?sicos de Geometria Plana: lado, base, altura, diagonal, v?rtice e pol?gono convexo ou c?ncavo.

ATIVIDADE 1: O QUE ? UM POLIEDRO?

1.1 Instru??es iniciais

Esta atividade ser? desenvolvida na sala de aula e ser?o utilizados os seguintes recursos: folhas de papel A4, quadro branco e pincel.

Para o estudo de poliedros, ? importante que os alunos conhe?am as principais diferen?as entre a Geometria Plana e Espacial, assim, esta atividade foi dividida em duas etapas que ser?o descritas a seguir:

1.2  Identificando a terceira dimens?o

Inicialmente, o professor deve apresentar uma folha de papel e perguntar aos alunos: ?Que figura plana nos lembra esta folha de papel??, ?Quantas dimens?es t?m??. Espera-se que os alunos percebam que a folha sozinha tem o formato de um ret?ngulo e possui duas dimens?es. Em seguida, o professor deve empilhar v?rias folhas de papel e novamente questionar os alunos: ?E agora, que objeto nos lembra este conjunto de folhas??, ?Quantas dimens?es t?m??. Com o intuito de possibilitar aos alunos o reconhecimento da quantidade e diversidade de objetos tridimensionais a nossa volta, o professor solicitar? aos alunos que citem exemplos de objetos tridimensionais existentes na sala de aula com os nomes que eles conhecem (estes nomes devem ser anotados no quadro, pois ser?o retomados no item 1.2 dessa atividade).

1.3 Plano x Espa?o

Ap?s diferenciar as figuras bidimensionais das tridimensionais, o professor dever? relembrar algumas defini??esda Geometria Plana e ampliar estas no??es para o campo da Geometria Espacial, solicitando aos alunos palavras que melhor se adequam no preenchimento das lacunas abaixo:

• Assim como um plano ? definido como um conjunto de retas, o espa?o pode ser definido como um conjunto de _________ (resposta: planos).
• Um plano ? estendido ilimitadamente em todas as dire??es, o espa?o _______ (tamb?m) ? estendido ilimitadamente.

Nesse momento, o professor dever? introduzir a no??o de poliedros da seguinte maneira:

Na Geometria Plana, as figuras geom?tricas eram chamadas de pol?gonos. Na Geometria Espacial, as figuras geom?tricas s?o chamadas de poliedros (poli: v?rias e edros: faces) e corpos redondos.

Observa??o: embora as atividades propostas tenham foco nos poliedros, o professor poder? dar alguns exemplos de corpos redondos, como o cone (casquinha de sorvete), cilindro (cano), e informar aos alunos que nesse momento ser?o desenvolvidas atividades referentes aos poliedros.

Em seguida, o professor dever? apresentar uma defini??o de poliedros. Segue uma sugest?o de defini??o:

Um poliedro ? uma reuni?o de um n?mero finito de pol?gonos planos, onde cada lado de um destes pol?gonos ? tamb?m lado de um, e apenas um outro pol?gono. [Lima et alli, 2006]

Com o objetivo de facilitar a compreens?o desta defini??o, o docente dever? estimular os alunos a identific?-la nos objetos citados no item 1.2.

ATIVIDADE 2: QUAIS S?O OS ELEMENTOS DE UM POLIEDRO?

Em sala de aula e utilizando novamente o conjunto de folhas empilhadas, o professor dever? propor o seguinte questionamento: ?Quantos lados h? nesse poliedro??. A pergunta pode gerar respostas diferentes por parte dos alunos, j? que alguns poder?o associar a palavra ?lado? ?s arestas do poliedro, enquanto outros poder?o associar o termo ?s faces. Desse modo, o professor dever? esclarecer que o termo ?lado? n?o ? utilizado para poliedros, ao inv?s deste utilizam-se os conceitos de arestas e faces e acrescenta-se, a estes dois elementos, os v?rtices. Segue uma sugest?o de imagem que poder? auxiliar na apresenta??o desses conceitos:

Figura 1: Elementos b?sicos de um poliedro

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm

Recomenda-se que os alunos construam uma analogia para cada um dos elementos do poliedro, como por exemplo, linha associa-se a aresta.

Com o objetivo de identificar esses conceitos matem?ticos em objetos do cotidiano dos alunos, o professor dever? solicitar a eles uma lista (n?mero m?nimo e m?ximo de itens a ser definido pelo professor) de objetosque representem poliedros encontrados em suas casas e a identifica??o dos seus elementos.

ATIVIDADE 3 - IDENTIFICANDO POLIEDROS CONVEXOS E C?NCAVOS

3.1 Instru??es iniciais

Esta atividade ser? desenvolvida, inicialmente, na Sala de Aula e, em seguida, no Laborat?rio de Inform?tica Educativa, para o desenvolvimento de um blog com o intuito de estimular a pesquisa on-line, a an?lise de suas respostas, bem como as dos colegas, em assuntos relacionados ? ?rea de Matem?tica. Ressalta-se que este recurso poder? ser utilizado em outras aulas da maneira proposta aqui, como tamb?m de outras formas a serem previamente analisadas pelo professor.

3.2 Relembrando e comparando...

Para abordar poliedros convexos e c?ncavos, o professor dever? resgatar esses conceitos da Geometria Plana utilizando uma analogia com os pol?gonos: ?Quando um pol?gono ? dito c?ncavo ou convexo??. A resposta esperada deve ser semelhante a esta:

Um pol?gono ? dito convexo quando se tra?a uma reta passando por um dos lados do pol?gono de modo que todos os outros lados ficam num mesmo semi-plano. Quando isso n?o acontece, dizemos que o pol?gono ? c?ncavo. (COC EDUCA??O, 2010 - http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/1371.htm)

Em seguida, o professor dever? explicar que as defini??es de poliedro convexo e c?ncavo s?o an?logas ? defini??o envolvendo pol?gonos, como segue abaixo:

Um poliedro ? dito convexo quando se tra?a um plano passando por uma das faces do poliedro de modo que todas as outras faces ficam num mesmo semi-espa?o. Quando isso n?o acontece, dizemos que o poliedro ? c?ncavo. (UOL EDUCA??O, 2012 - http://educacao.uol.com.br/matematica/poliedro.jhtm)

Com o objetivo de facilitar a compreens?o dos alunos acerca dessa primeira classifica??o (convexo e c?ncavo) bem como introduzir uma segunda classifica??o, esta em prismas e pir?mides, sugere-se que o professor discuta as caracter?sticas relacionadas a essas classifica??es utilizando objetos do cotidiano, como por exemplo, um dado que representa um cubo e ? classificado como poliedro convexo e tamb?m como prisma.

Observa??o: sobre uma das faces, recomenda-se colocar uma folha de papel que funcione como um plano para auxiliar os alunos na classifica??o proposta.

Com o intuito de possibilitar aos alunos conhecerem outros tipos de poliedros, bem como estabelecerem sua classifica??o em convexo e c?ncavo, propriedade importante na discuss?o sobre poliedros de Plat?o (atividade 5) bem como em prismas e pir?mides, ser? criado um blog para que eles socializem informa??es e opini?es sobre esse assunto.

3.3 Criando um Blog

Professor e alunos dever?o criar um blog para a turma. Atrav?s deste recurso, os alunos dever?o fazer coment?rios e publica??es sobre os temas que ser?o propostos.

Para a cria??o do blog ? importante seguir as instru??es abaixo:

1.    Para que possam fazer coment?rios e postagens, professor e alunos dever?o criar (se ainda n?o tiverem) uma conta de email no Google (Gmail), atrav?s do link:

https://accounts.google.com/SignUp?service=mail&continue=https%3A%2F%2Fmail.google.com%2Fmail%2F&ltmpl=default

A Figura 2 mostra a p?gina que ser? exibida ao acessar o link acima:

Figura 2: Criando conta do Gmail

Fonte:https://accounts.google.com/SignUp?service=mail&continue=https%3A%2F%2Fmail.google.com%2Fmail%2F&ltmpl=default

2.    Em seguida, o professor dever? criar o blog atrav?s do site www.blogger.com. A Figura 3 mostra a tela que ser? exibida ao acessar o link acima:

Figura 3: Criando um blog

Fonte: www.blogger.com

3.    Ao clicar em Iniciar, deve-se preencher um cadastro, este passo ? necess?rio para ter acesso ao blog. Ap?s preencher o cadastro, professor e alunos dever?o personalizar o blog.

Mais informa??es sobre cria??o de blogs podem ser encontradas atrav?s dos seguintes links: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/conteudoJornal.html?idConteudo=24 e http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000013567.pdf.

Observa??o: o professor, como administrador do blog, deve atribuir permiss?es de postagem aos alunos da turma. Caso contr?rio, eles s? poder?o comentar as publica??es feitas pelo professor.

3.4 Aceite o desafio: classifique poliedros!!!

Nesse momento, o professor dever? solicitar a cada aluno a postagem no blog de uma figura que represente um poliedro. Os demais alunos dever?o postar um coment?rio classificando em convexo ou c?ncavo, como tamb?m em prisma ou pir?mide, os poliedros apresentados pelos colegas (fica a crit?rio do professor a defini??o do n?mero m?nimo de coment?rios por aluno e o n?mero de dias em que dever?o ocorrer estas postagens). Os alunos podem comentar as classifica??es dos colegas quando julgar necess?rio fazer complementa??es, por?m, recomenda-se abordar as chamadas ?netiquetas? (h? um texto do Portal do Professor sobre este assunto nos recursos complementares). Segue uma sugest?o para o t?tulo e descri??o do post a ser publicado pelo professor:

T?tulo: Aceite o desafio: classifique poliedros!!!

Descri??o: Cada aluno dever? publicar uma imagem de um poliedro. Os demais alunos devem classific?-lo em c?ncavo ou convexo e em prisma ou pir?mide atrav?s de coment?rios. ? permitido fazer complementa??es ?s respostas dos colegas quando estas forem necess?rias.

ATIVIDADE 4: DISTINGUINDO POLIEDROS

4.1 Prepara??o do ambiente

Essa atividade ocorrer? no Laborat?rio de Inform?tica Educativa, com a turma organizada em duplas, e ser?o utilizados os seguintes recursos: folhas de papel A4, caneta e computadores, como tamb?m o objeto educacional Cara a Cara Geom?trico, dispon?vel para download no Banco Internacional de Objetos Educacionais.

Cara a cara geom?trico 

?

?

?

4.2 Orienta??es quanto ao uso do software:

O software Cara a Cara Geom?trico ? um jogo em que o aluno recebe uma carta com a figura de um poliedro e deve descobrir o poliedro escolhido pelo oponente (no caso, o computador). Para isso, devem-se selecionar perguntas que possam ajudar a descrever as caracter?sticas do poliedro do oponente. Cada jogador s? poder? fazer uma pergunta de cada vez. De acordo com as informa??es do advers?rio, pode-se eliminar (apagar) as cartas que n?o cont?m a propriedade informada. Se n?o acertar o poliedro do advers?rio, deve-se clicar no bot?o ?Passa a vez? para responder a uma pergunta do oponente. O aluno que conseguir descobrir primeiro a carta do oponente, vence o jogo.

Instala??o:

O download do software est? dispon?vel no link http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18946. Para o seu funcionamento, ? necess?rio que todos os computadores estejam com o plugin Adobe Flash Player atualizado e um software descompactador de arquivos (7-Zip, WinZip, WinRar, etc.).

O objeto ser? denominado como Cara.rar e est? no formato compactado. Para descompact?-lo, clique com o bot?o direito sobre o arquivo e escolha o software descompactador do seu computador. Em seguida, escolha a op??o Extrair aqui. (Veja a Figura 4):

Figura 4: Extraindo arquivo

Fonte: Imagem do autor

Ser?o gerados dois arquivos: cara.htm e caracara.swf. Execute o cara.htm. A Figura 5 mostra a p?gina que ser? visualizada:

Figura 5: Tela inicial

Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18946

Clique no bot?o Iniciar para come?ar a manipular o software, que apresentar? a seguinte tela (Veja a Figura 6):

Figura 6: Cara a Cara Geom?trico

Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18946

4.3 Desenvolvendo a atividade

Descri??o da atividade:

O professor ir? propor aos alunos a descoberta dos poliedros lan?ados pelo jogo atrav?s da observa??o das figuras contidas no software e suas propriedades (que aparecem no canto inferior direito da tela) bem como das respostas emitidas na mesma. A dupla deve debater sobre as caracter?sticas observadas e anotar suas conclus?es na folha de papel A4.

Momento do aluno:

Neste momento, os alunos buscar?o desenvolver a atividade proposta.

Discuss?o:

Os alunos dever?o apresentar, para o restante da turma, os poliedros que conseguiram identificar durante a realiza??o da atividade. Em seguida, o professor dever? iniciar uma discuss?o acerca dos poliedros de Plat?o, que ser?o abordados na pr?xima atividade, a partir dos seguintes questionamentos: ?Os poliedros vermelhos possuem outras semelhan?as, al?m da cor?? e ?Quais seriam??. Caso os alunos n?o observem nenhuma, o professor poder? dar uma dica, solicitando-os uma an?lise mais detalhada dos elementos b?sicos desses poliedros.

Sistematiza??o:

Neste momento, professor e alunos dever?o listar as principais caracter?sticas dos poliedros identificados durante o jogo proposto e verificar em cada um deles a exist?ncia das caracter?sticas encontradas no momento da discuss?o. Para isso, deve-se constantemente propor o questionamento: ?Esta caracter?stica ? observada nos poliedros vermelhos??.

Para complementar a atividade, o professor pode sugerir aos alunos que fa?am na folha de papel A4 uma lista de caracter?sticas comuns para os demais s?lidos que cont?m a mesma cor (s?lido alongado, prisma, pir?mide e antiprisma).

ATIVIDADE 5: CONSTRUINDO POLIEDROS E CONHECENDO A RELA??O DE EULER.

5.1 Instru??es iniciais

Esta atividade ter? duas etapas a serem desenvolvidas no Laborat?rio de Inform?tica Educativa e na Sala de Aula com a turma organizada em cinco grupos.

5.2 Como se constroem poliedros?

Nesta atividade, os grupos dever?o construir dois poliedros convexos. Para orient?-los nessa constru??o, sugere-se que o professor publique, no blog, v?deos que auxiliem na constru??o desses poliedros. Segue uma sugest?o:

• http://www.youtube.com/watch?v=AR-aF0JB6ik: Poliedros com varetas;
• http://www.youtube.com/watch?v=FXcrq3QSAZI: Construindo poliedros com canudos (constru??o do tetraedro).
• http://www.youtube.com/watch?v=rUQnriee4qA: Icosaedro, tetraedro e octaedro.
• http://www.youtube.com/watch?v=rrnCIoWyBtU&feature=related: Dodecaedro - em Origami.

?

Al?m do v?deo, o professor tamb?m poder? publicar, no blog, o tutorial Geometria com Canudos, que pode ser encontrado no Banco Internacional de Objetos Educacionais atrav?s do link http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10314.

Ap?s a an?lise dos v?deos e tutorial disponibilizados, cada um dos grupos escolher? o material que desejar? utilizar (varetas, canudos ou outro material que possa ser sugerido pelos pr?prios alunos). 

Observa??o: o professor dever? indicar um poliedro de Plat?o para cada um dos grupos, sem mencionar ainda tal classifica??o.

5.3 Debate:

1? parte: Sala de aula

Neste momento, as equipes dever?o apresentar as principais caracter?sticas dos poliedros constru?dos aos demais colegas da turma. No final da apresenta??o das equipes, o professor dever? chamar a aten??o da turma para os cinco poliedros de Plat?o, resgatando, assim, o momento da discuss?o da atividade anterior. Para isso, sugerem-se os seguintes questionamentos:

• Quantas arestas existem em cada face desses poliedros?
• E quantas arestas chegam a cada v?rtice?

?

Os alunos dever?o perceber que:

1. O n?mero de arestas em cada face destes poliedros ? o mesmo;
2. Em cada v?rtice chega o mesmo n?mero de arestas.

?

Em seguida, a partir da observa??o dos poliedros constru?dos, cada um dos grupos dever? preencher a tabela 1 no quadro branco:

Tabela 1: Analisando os poliedros

Poliedro	Faces (F)	V?rtices (V)	Arestas (A)	F + V - A
Cubo	?	?	?	?
Tetraedro	?	?	?	?
Octaedro	?	?	?	?
Dodecaedro	?	?	?	?
Icosaedro	?	?	?	?

Fonte: cria??o do autor

Ap?s todos os alunos preencherem a tabela, o professor dever? questionar: ?Todos os poliedros tiveram o mesmo resultado na quinta coluna da tabela? Qual resultado??. E, ent?o, enunciar a Rela??o de Euler (F + V - A = 2).

Assim, para que um poliedro seja considerado um poliedro de Plat?o (como mostra a figura 7), deve satisfazer as seguintes condi??es:

• Em todas as faces deve haver o mesmo n?mero de arestas;
• Em todos os v?rtices deve chegar o mesmo n?mero de arestas;
• O s?lido deve ser euleriano, ou seja, deve respeitar a Rela??o de Euler.

Figura 7: Poliedros de Plat?o

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/os-solidos-platao.htm

2? parte: Blog

Para concluir a atividade, o professor dever? estimular uma pesquisa e discuss?o sobre uma peculiaridade que envolve poliedros convexos e poliedros de Plat?o a partir dos seguintes questionamentos: ?Todo poliedro convexo satisfaz a rela??o de Euler?? e ?Todo poliedro que satisfaz a rela??o de Euler tamb?m ? convexo??;?Justifique suas respostas?. Os alunos ter?o dois dias para realizar esta atividade que dever? ser retomada em sala de aula para a sua conclus?o juntamente com o professor.

Nome	Tipo
Cara a cara geom?trico	Anima??o/simula??o

Sugest?es de links para os alunos:

• Dodecaedro em Origami: http://www.youtube.com/watch?v=rrnCIoWyBtU&feature=related  (Acesso em 10/07/2012).
• Geometria com Origami e a Constru??o do Cubo: http://www.youtube.com/watch?v=McgLr8nRNcY  (Acesso em 10/07/2012).

?

Sugest?es de links para o professor:

• S?lidos de Plat?o: http://www.brasilescola.com/matematica/os-solidos-platao.htm  (Acesso em 04 de junho de 2012).
• Poliedros: http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm  (Acesso em 04 de junho de 2012).
• Rela??o de Euler: http://www.brasilescola.com/matematica/relacao-euler.htm  (Acesso em 04 de junho de 2012).
• Ensino da Geometria: http://educador.brasilescola.com/trabalho-docente/ensino-geometria.htm  (Acesso em 06 de junho de 2012).

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Links do Portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

• Blogs de ci?ncias e matem?tica ajudam no desempenho de alunos: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/conteudoJornal.html?idConteudo=1795  (Acesso em 04 de junho de 2012).
• Como escrever na WEB: http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/especial.asp?EditeCodigoDaPagina=4390  (Acesso em 18 de junho de 2012).

Nas atividades 1 e 2, o professor poder? averiguar se o conceito de poliedro foi compreendido pela turma, bem como os seus elementos b?sicos a partir da identifica??o da defini??o e elementos em poliedros observados no cotidiano. Na atividade 3, sugere-se avaliar se a turma compreendeu as classifica??es de um poliedro abordadas a partir das respostas e coment?rios postados no blog. Nas atividades4 e 5, deve-se verificar se os alunos conseguiram reconhecer os poliedros de Plat?o a partir das caracter?sticas relacionadas ao n?mero de arestas e na verifica??o da rela??o de Euler observadas no jogo Cara a Cara Geom?trico e nos poliedros constru?dos durante a atividade.