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ISOMETRIAS - ANIMA??O COM GEOGEBRA

Autor e Co-autor(es)

Dirce Maria Burkot imagem do usuário

CURITIBA - PR JOAO MAZZAROTTO C E E FUND E MEDIO

Estrutura Curricular

Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matem?tica Espa?o e forma

Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

Identificar os quatro tipos b?sicos de isometrias no plano: Transla??o, Reflex?o, Rota??o e Reflex?o Deslizante;

Conhecer o conceito de isometria;

Associar a ideia de simetria com o conceito de isometria.

Duração das atividades

Cinco (5) horas aula de cinquenta (50) minutos cada.

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

a) Simetria e ?ngulos; Eixos de simetria em figuras planas; Simetria em rela??o a uma reta; Transforma??es geom?tricas no plano;

(2 h aulas 50 min), explana??o no quadro de giz.

b) Em data posterior, os alunos dever?o ir ao laborat?rio de inform?tica para explorar visualmente os conceitos em sala de aula;

(2 h aulas 50 min), atividades a serem desenvolvidas com o software Geogebra.

c) Dobradura de papel, para demonstrar as simetrias e realiza??o de desenhos das isometrias;

(1 h aula 50 min), atividades pr?ticas.

Estratégias e recursos da aula

1. Professor, comece a abordagem usando computador e data show, para apresentar imagens sim?tricas, eixos de simetria, imagens assim?tricas e isometrias. Crie uma apresenta??o no BROffice Impress ou Power Point, se desejar.

2. Escolha uma m?dia dispon?vel em sua Escola e apresente os v?deos sobre simetrias.

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a) NO??ES SOBRE SIMETRIAS E EIXOS DE SIMETRIA:

Imagens Sim?tricas - S?o figuras, objetos, imagens, coisas, e seres que apresentam partes iguais na forma e tamanho.

simetria.1

Imagens Assim?tricas - S?o imagens que n?o tem simetria.

assimetria

Eixos de Simetria - S?o retas que dividem uma figura ou imagem em duas partes iguais com mesma forma e tamanho.

Todo pol?gono que tem o n?mero de lados igual ao n?mero de eixos de simetria ? denominado pol?gono regular.

Alguns Pol?gonos Regulares e seus eixos de simetria:
O tri?ngulo equil?tero, tr?s eixos de simetria: as mediatrizes dos lados;
O quadrado (losango e ret?ngulo), quatro eixos de simetria: as retas suportes das diagonais e as medianas dos lados;
Um pol?gono regular de n lados: n eixos de simetria: retas passando pelo "centro" e pelos v?rtices;
O c?rculo, infinitos eixos de simetria: retas contendo os di?metros.
imagem
Onde se encontram Simetrias:

Animais; Reflex?es na ?gua; Alfabeto Mai?sculo; M?scaras Tribais; a Praia; No Supermercado; Pol?gonos Regulares; Corpo Humano; S?mbolos Religiosos.

simetria.2

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b) TIPOS DE ISOMETRIAS - As isometrias s?o transforma??es que preservam a dist?ncia entre pontos, ou seja, se A ? uma isometria, P e Q s?o dois pontos quaisquer, a dist?ncia entre os pontos ? a mesma que entre os seus transformados. (Palhares, 2004:337, Transforma??es Geom?tricas. In Palhares, P. Elementos de Matem?tica para Professores do Ensino B?sico. Lisboa: Lidel).
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ROTA??O; TRANSLA??O; REFLEX?O; REFLEX?O DESLIZANTE (glissoreflex?o);
Clicar nos links abaixo para ver as Anima??es Gifs:
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Reflex?o: Dado um ponto arbitr?rio P, a reflex?o de P na reta r ? um ponto P? que ? sim?trico de P em rela??o ? reta r.
Transla??o: Dado um vector v, chama-se transla??o definida pelo vector v ? transforma??o T sobre si mesmo tal que, qualquer que seja o ponto inicial da figura.
Rota??o: ? facilmente entendida, se imaginarmos que qualquer ponto da figura ir? 'mover-se' ao longo de um arco de circunfer?ncia, que ter? o seu centro coincidente com o centro da rota??o. 
Reflex?o Deslizante ou glissoreflex?o: As reflex?es deslizantes s?o a composi??o de uma reflex?o com uma transla??o por meio de um vetor com a mesma dire??o da reta de reflex?o.
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* Passo a Passo - Constru??o das Isometrias com o Software Geogebra:

? necess?rio ter o programa Geogebra instalado no computador ;

?cone abaixo para abrir o software Geogebra, que estar? na ?rea de trabalho ap?s a instala??o do programa;

 Icone

Clique duas vezes sobre ele e aguarde;

TELA INICIAL DO GEOGEBRA

 imag

Clicar na janela "Exibir", e desmarcar a op??o "Eixo" com um clique;

Para as constru??es a seguir, n?o usaremos os eixos coordenados;

A ?rea de trabalho do Geogebra dever? estar como abaixo: 

imag.1  

1.REFLEX?O:

Abrir o programa Geogebra;

Clique em ggb3

Com a ferramenta ?reta definida por dois pontos?, crie uma reta.

Clique em ggb5

Crie um pol?gono, que esteja situado totalmente no mesmo lado da reta.

Clique em ggb7

Com a ferramenta ?reflex?o com rela??o a uma reta?, clique sobre o pol?gono e depois sobre a reta. Aparecer? outro pol?gono, sim?trico ao primeiro em rela??o ? reta.

Clique com o bot?o direito sobre os pol?gonos v? a ?propriedades? e mude as cores que desejar.

Atividades:

Clique em ggb1  e depois sobre a reta movimente a reta e verifique a posi??o do pol?gono 2; Como mant?m a dist?ncia entre os pol?gonos?

Clique sobre a reta movimente-a at? interceptar o pol?gono 1;

? poss?vel colocar o pol?gono 2 sobre o pol?gono 1, ao mover ? reta?

Conclua: a reflex?o ? uma isometria; Demonstre isto atrav?s de um desenho.

A reflex?o com rela??o a uma reta ? a isometria que leva cada ponto do plano em sua ?imagem refletida?, perpendicularmente oposta em rela??o ? reta e mesma dist?ncia da reta. Assim temos uma reflex?o, na qual a reta funciona como um espelho.

2.TRANSLA??O:

Abrir o programa Geogebra, crie um pol?gono 1;

Clique em ggb3

Com a ferramenta ?vetor definido por dois pontos?, crie um vetor exterior ao pol?gono 1. O vetor representa todos os segmentos orientados em: dire??o, sentido e m?dulo;

Clique em ggb7

Com a ferramenta ? transladar por um vetor?, clique sobre o pol?gono 1 e em seguida sobre o vetor;

Surgir? um novo pol?gono 2, obtido do pol?gono 1, pela transla??o atrav?s do vetor;

Atividades:

Modifique as cores dos pol?gonos, atrav?s da ferramenta ?propriedades?;

Clique em ggb1

Movimente o ponto extremo final do vetor e observe o que ocorre com o pol?gono 2 em rela??o ao pol?gono 1; Como mant?m a dist?ncia entre os pol?gonos?

Clique sobre o vetor movimente-o at? interceptar o pol?gono 1;

? poss?vel colocar o pol?gono 2 sobre o pol?gono 1, ao mover o vetor?

Conclua: a transla??o ? uma isometria; Demonstre isto atrav?s de um desenho.

3.ROTA??O:

Abrir o programa Geogebra, crie um pol?gono 1;

Clique em ggb2

Crie um ponto A, preferencialmente fora do pol?gono 1;

Clique em ggb6

Crie um ?ngulo ?;

Clique em ggb7

Com a ferramenta ?girar em torno de um ponto por um ?ngulo?, clique sobre o pol?gono 1, em seguida sobre o ponto A e depois no ?ngulo ?;

Aparecer? outro pol?gono, obtido do pol?gono 1 pela rota??o do ?ngulo ?, em torno do ponto A.

Atividades:

Modifique a cor dos pol?gonos com a ferramenta ?propriedades?;

Clique no ?ngulo e altere o valor. Note que o pol?gono 2 ir? mudar de local, mas sempre ser? obtido do pol?gono 1 por rota??o do ?ngulo ? em rela??o ao ponto A;

? poss?vel colocar o pol?gono 2 sobre o pol?gono 1, ao alterar a medida do Ang ??

Conclua: a rota??o ? uma isometria; Demonstre isto atrav?s de um desenho.

As rota??es s?o isometrias muito conhecidas e frequentes no dia-a-dia. ? a ?nica isometria no plano que possui um ?nico ponto fixo, que ? o centro de rota??o. O giro ocorre em arcos de circunfer?ncia, que s?o as medidas do ?ngulo ?.

4.REFLEX?O DESLIZANTE (GLISSOREFLEX?O):

Abrir o programa Geogebra;

Clique em ggb3

Crie uma reta e um vetor paralelo ? reta;

Clique em ggb5

Crie o pol?gono 1, de prefer?ncia totalmente de um lado da reta;

Clique em ggb7

Com a ferramenta ?reflex?o com rela??o a uma reta?, clique sobre o pol?gono 1 e depois sobre a reta. Aparece o pol?gono 2, sim?trico ao pol?gono 1 em rela??o ? reta;

Clique em ggb7

Com a ferramenta ?transladar por um vetor?, clique no pol?gono 2 e depois sobre o vetor. Aparece o terceiro pol?gono, pol?gono 3, semelhante em imagem ao pol?gono 2 pela transla??o atrav?s do vetor;

O pol?gono 3 ? imagem do pol?gono 1 por uma glissoreflex?o;

Atividades:

Modifique as cores dos pol?gonos 3 para distinguir do pol?gono 1;

Clique em ggb1

Clique sobre a reta e o vetor e mova-os e observe a imagem do pol?gono 1;

Podemos fazer os pol?gonos 3 e 1 coincidirem?

Clique em ggb6

Com a ferramenta ?dist?ncia? sobre os lados de ambos os pol?gonos verifique que esta transforma??o mant?m a dist?ncia ao movimentar-se o pol?gono 1;

Conclua que a glissoreflex?o ? uma isometria; Represente atrav?s de um desenho.

Das quatro isometrias, a glissoreflex?o ? a mais incomum e a mais dif?cil de ser compreendida plenamente, pois ? obtida a partir de outras duas isometrias, a reflex?o e a seguir a transla??o.

As simetrias do plano aparecem em muitas situa??es como a f?sica dos cristais e as artes pl?sticas.

O tema ?Simetrias? foi apresentado na TV Escola/MEC-TV Cultura, Brasil, em 2000, Programa ?Arte e Matem?tica?.

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Atividades Desenvolvidas com o Software Geogebra: 

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Transforma??es no plano:

Transla??o; Reflex?o; Rota??o; Reflex?o Deslizante.

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http://sitedmb.comunidades.net

* ? necess?rio ter o programa Geogebra instalado no computador, para visualizar a aplica??o.

Ap?s carregar a p?gina, Clique Isometrias no Plano (quatro tipos);

Quando abrir a p?gina, clique em ?executar esta vez?  aguarde a p?gina do Geogebra abrir totalmente e clique em reproduzir;

Veja as anima??es das isometrias, realizadas com o Software Geogebra.

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 Atividade Pr?tica:

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a) Pegue folhas de papel coloridos, distribua aos alunos. Pe?a que dobrem o papel e marquem um vinco.
b) Fa?am um desenho, uma imagem qualquer, numa das metades do papel, junto ao vinco.
c) Recortem o papel na linha do desenho e desdobrem o papel.
d) Note: O vinco formado pela dobra ? uma linha reta que chamamos de "eixo de simetria". Ela determina numa figura duas partes iguais na forma e no tamanho, como uma imagem refletida no espelho.
simetria.3simetria.4
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e) Sugere-se que os alunos fa?am anota??es sobre simetrias e isometrias. Professor, reforce sempre a import?ncia das observa??es e suas anota??es.
f) Desenhando as isometrias no caderno, observar as conex?es que o aluno faz.
g) No Laborat?rio de Inform?tica, usando o software Geogebra, para a constru??o das isometrias de algumas figuras planas. Eles devem chegar ao Laborat?rio com as atividades que far?o j? determinadas, para que n?o fiquem perdidos com as ferramentas do programa. Apontar algumas que poder?o ser usadas. Explorar visualmente os conceitos trabalhados em sala de aula.
* O software Geogebra ? muito f?cil de ser manipulado. Pode ser obtido gratuitamente, e no pr?prio site pode ser encontrado um tutorial e manual para consulta.
* Explore os recursos antes de propor a atividade.
h) Trabalho em sala de aula, de volta ? sala, buscar conex?es sobre o que foi trabalhado no laborat?rio de inform?tica com o trabalho em aula. 

Recursos Complementares

Materiais necess?rios para a realiza??o das atividades:

Livros did?ticos para o Ensino M?dio e Fundamental;

Livros que discutam geometria plana de um ponto de vista did?tico e art?stico;

V?deos;

Laborat?rio de Inform?tica;

Aplicativo: Geogebra;

Folhas de papel colorido;

R?gua e Canetas ou L?pis Coloridos.

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Sugest?es de Leituras:

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo Padr?es em Mosaico. S?o Paulo. Atual Editora, 2008.

FERREIRA, Suzana. Transforma??es Geom?tricas e Simetrias. Coimbra, 2000.

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Atividades Desenvolvidas com o Software Geogebra:

Simetria com Geogebra - Acesso 01.08.2012
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Transforma??es no plano:

Transla??o; Reflex?o; Rota??o; Reflex?o Deslizante.

Usando r?gua e canetas coloridas, fa?a os desenhos das isometrias,

e por dobradura de papel, demonstre simetrias.

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Aplicativo Geogebra:

http://www.geogebra.org.

Instala??o do programa:

Primeiramente, para baixar a ?ltima vers?o do software GeoGebra, proceda da seguinte forma:

1.    Acesse a p?gina oficial do programa: www.geogebra.org;

2.    Clique na op??o Download que fica na coluna esquerda da tela.

3.    Clique em: Download GeoGebra .

4.    Aparecer? em parte da tela, a figura 1 deste texto, onde dever? selecionar a op??o de acordo com o seu sistema operacional.

5.    Ao aparecer a pr?xima tela, clique em salvar.

6.    Crie uma pasta para o GeoGebra, clicando em "nova pasta".

7.    D? dois cliques na nova pasta para selecion?-la, em seguida clique em SALVAR.

Aguarde... Ao concluir o download, clique em FECHAR.

Uma vez baixado o arquivo de instala??o, o procedimento ? o seguinte:

1.    Abra o ?cone GeoGebra, que dever? estar na pasta escolhida.

2.    Abra o arquivo GeoGebra, com um clique duplo.

3.    Clique em EXECUTAR.

4.    Selecione o idioma, e clique no bot?o OK.

5.    Clique em AVAN?AR.

6.    Selecione Aceito os termos do Contrato de Licen?a (depois de ler, ? claro!) e clicar no bot?o Avan?ar em cada tela que for aparecendo.

7.    Aguarde a instala??o...

8.    Clique em AVAN?AR e em seguida em CONCLU?DO.

9.    Finalmente aparecer? a tela do GeoGebra para iniciar o trabalho.

Observa??o:

Caso n?o consiga executar o programa, ser? necess?rio baixar a m?quina virtual Java, a partir do site http://www.java.com

Avaliação

Nessa etapa, avaliar os poss?veis conhecimentos pr?vios dos alunos. Posteriormente verificar o entendimento dos conceitos geom?tricos trabalhados, por prova escrita.

Com a sala dividida em grupos, avaliar a capacidade de trabalho dos grupos:

Participa??o individual na atividade;

Troca de ideias com os colegas;

Percep??o do assunto explorado;

Conex?es que realizam com atividades desenvolvidas nas disciplinas de Arte e Espanhol.

Os alunos reconhecem as transforma??es isom?tricas?

Eles identificam as formas sim?tricas obtidas por isometrias?