? Interpretar situa??es que envolvam o uso das rela??es m?tricas no tri?ngulo ret?ngulo.
? Calcular medidas desconhecidas utilizando as rela??es.
? Resolver situa??es problemas envolvendo as rela??es m?tricas no tri?ngulo ret?ngulo.

? Propor??es
? Resolu??o de equa??o do 1? grau
? Classifica??o de tri?ngulos

Na sala de aula (1 aula)

               Ol? Professor, vamos descrever como podemos trabalhar com os nossos alunos com o assunto ?Rela??es m?tricas no tri?ngulo ret?ngulo?. Para iniciar a aula, apresente um problema para que eles possam fazer um debate inicial. Por exemplo:

               ?O tangram abaixo foi desenhado em uma malha quadriculada, na qual cada quadradinho possui 1 cm de lado. Quais as medidas dos lados de cada uma das pe?as desse tangram??

               Professor, d? um tempo para eles tentem resolver o problema. Ap?s, pe?a a eles que iniciem o debate comentando sobre as poss?veis solu??es, registrando as mesmas.

No laborat?rio de inform?tica

Atividade 1 (1 aula)

               Professor, leve seus alunos ao laborat?rio de inform?tica e acomode-os em duplas em cada computador. Em seguida, pe?a a eles que acessem o s?tio http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_relmetricas/teo_relmet1.htm,

trata-se de um aplicativo que contem a parte teoria e no final, alguns exerc?cios sobre o assunto. Pe?a aos alunos que leiam a parte te?rica e resolvam os exerc?cios propostos pelo aplicativo. Professor, ap?s a atividade, tire a d?vidas que por um acaso ainda existirem. Caso seja necess?rio, outros s?tios tamb?m t?m a parte te?rica, como por exemplo:
          ? http://www.slideshare.net/e.lribeiro/relaes-mtricas-no-tringulo-retngulo-1176268  

Atividade 2 (2 aulas)

               Professor, para consolidar os conhecimentos te?ricos visto na atividade 1, vamos realizar uma segunda atividade no laborat?rio de inform?tica utilizando um software de geometria din?mica, http://www.geometriadinamica.com/, o GeoGebra. Ele ? para se utilizar em ambiente de sala de aula. Ele re?ne GEOmetria, ?lGEBRA e c?lculo. Esta dispon?vel em http://www.geogebra.org/ em vers?o para download gratuito ou para ser executado via web (WebStart).

               No caso desta atividade, tenha instalado previamente o GeoGebra em todos os computadores do laborat?rio de inform?tica. Como documenta??o do software, temos:
                    ? O manual dispon?vel em http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf e outro http ://www.geogebra.org/he lp/docupt_PT.pdf , este em portugu?s de Portugal, mas um pouco mais completo;           

                    ? Uma apostila sobre a utiliza??o esta dispon?vel em http://www.tinaedu cacao.com.br/wp-conten t/uploads/2008/11/ap ostilageogebra_2007. pdf, nesta apostila temos v?rias atividades utilizando o software, e 
                    ? Um guia r?pido de comandos, dispon?vel em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.

               Professor, vamos mostrar aos alunos que as rela??es m?tricas no tri?ngulo ret?ngulo s?o v?lidas. Para isto, siga os seguintes passos:

Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecer? a seguinte tela:

Passo 2: No menu ?Exibir?, desmarque a op??o ?Eixos?;

              Professor, comente com seus alunos que na barra de bot?es,

,

temos diversas ferramentas que podem ser utilizadas. Em todos os bot?es aparece uma seta no canto inferior direito, que, ao ser clicada, permite visualizar as op??es existentes.

Passo 3: No segundo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Novo ponto? e clique em dois pontos na ?rea de trabalho e teremos os pontos A e B.

Passo 4: No terceiro bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ?Seguimento definido por dois pontos?, e em seguida, clique nos pontos A e B. Observe que no lado esquerdo da tela aparece uma lista de objetos dependentes. Neste caso, temos agora um segmento ?a? e o valor de sua medida em cent?metros. Pe?a aos alunos que selecione, no primeiro bot?o da barra de bot?es, a op??o ?Mover?; cliquem no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida do seguimento ?a?.

Passo 5: No quarto bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ?Reta perpendicular?, e em seguida, clique no segmento ?a? e em depois no ponto A. Ser? criada uma reta ?b? que ? perpendicular ao seguimento ?a? e passa pelo ponto A.

Passo 6: No segundo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Novo ponto? e clique em um ponto sobre a reta ?b?. Ser? criado um ponto C sobre a reta ?b?.

Passo 7: No terceiro bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ?Seguimento definido por dois pontos?, e em seguida, clique nos pontos A e C, e depois nos pontos B e C.

Passo 8: N o quarto bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ?Reta perpendicular?, e em seguida, clique no segmento ?d? e em depois no ponto A. Ser? criada uma reta ?e? que ? perpendicular ao seguimento ?d? e passa pelo ponto A. Com isto temos um tri?ngulo ret?ngulo.

               Professor, com estes descritos at? o momento, temos um tri?ngulo ABC, ret?ngulo em A.

Passo 9: No segundo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Interse??o de Dois Objetos? e clique sobre a reta ?e? e o seguimento ?d?. Ser? criado um ponto ?D?.

Passo 10: No ?ltimo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Exibir/Esconder objetos? clique nas retas ?b? e ?e?. Teremos uma figura com menos polui??o visual.

Passo 11: No terceiro bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ?Seguimento definido por dois pontos?, e em seguida, clique nos pontos A e D. Ser? criado o segmento ?f?, correspondente ? altura referente ao lado BC do tri?ngulo.

               Professor, pe?a aos alunos que selecione, no primeiro bot?o da barra de bot?es, a op??o ?Mover?; cliquem no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida do seguimento ?a?. Fa?a o mesmo com os pontos B e C.

Passo 12: No terceiro bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ?Seguimento definido por dois pontos?, e em seguida, clique nos pontos B e D; e nos pontos C e D. Ser?o criados, respectivamente, os seguimentos ?g? e ?h?.

                At? o presente momento, constru?mos um tri?ngulo ABC, ret?ngulo em C. Pe?a aos alunos que fa?am a correspond?ncia com as letras e identifiquem, neste tri?ngulo:
                    ? Os catetos;
                    ? A hipotenusa;
                    ? A altura relativa ? base e
                    ? As proje??es ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

               Professor, pe?a aos alunos que observem os objetos criados no lado esquerdo da tela, em objetos dependentes. Mostre a eles a validade das rela??es m?tricas estudadas na atividade 1. Para isto, considere uma das rela??es estudadas, por exemplo:

(medida do cateto)² = (medida da sua proje??o) X (medida da hipotenusa)

               Vamos criar uma vari?vel ?i? que ter? como conte?do o valor (medida do cateto)², e outra vari?vel ?j? que ter? como conte?do o valor do produto (medida da sua proje??o) X (medida da hipotenu sa). Proceda da seguinte forma:

Passo 13: Na parte de baixo do aplicativo, e xiste uma caixa de texto des tinada a entrada de dados e de f?rmulas,

Digite:
     ? i = a ^ 2
     ? j = g * d

               Professor, pe?a aos alunos que obser vem os valores de ?i? e de ?j? em ?Objetos d ependentes?. S?o iguais? O que significa isto? Pe?a a eles que selecione, no primeiro bot?o da barra de bot?es, a op??o ?Mover?; cliquem no ponto A e mova-o; e observem os valores das medidas dos ?Objetos dependentes.? Pe?a a eles que fa?am o mesmo procedimento com as outras rela??es m?tricas. Ao final das verifica??es, pe?a a eles que gravem o trabalho realizado.
               Retome o problema colocado na situa??o inicial para ele eles resolvam em uma folha de papel e depois no software. Elabore tamb?m uma lista de atividades que eles possam exercitar um pouco, da mesma forma, primeiro em uma folha de papel e depois verificar a resposta no software. Por exemplo, existem algumas dispon?veis em:
      ? http://www.portalimpacto.com.br/docs/01JerleyF32ANOAula02RelacoesMetricasnoTrianguloRetangulo2.pdf  ;
      ? http://www.educacional.com.br/upload/blogSite/4277/4277302/4369/Relacoes.doc.doc .

Plano de aula
http://mathemanil.blogspot.com/2008/12/plano-de-aula-geogebra.html  

Semin?rios
http://www.mat.ufrgs.br/~dmpa/disciplinas/planos/planos2009/091MAT01341.pdf  

A avalia??o (1 aula) poder? ser da seguinte forma:
     * Atividades em sala.
     * Listas de exerc?cios envolvendo aplica??es das rela??es m?tricas no tri?ngulo ret?ngulo no cotidiano.
     * Durante as aulas observando o interesse e a participa??o do aluno.
     * Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog j? existente, sugerimos os seguintes:
          . http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/03/relacoes-metricas-no-triangulo.html
          . http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20071220155103AABeYWZ  
     * Semin?rios: ?A import?ncia das rela??es m?tricas e suas aplica??es no dia-a-dia?. O semin?rio ser? organizado em grupos de quatro alunos. Os alunos ir?o abordar as aplica??es das rela??es m?tricas atrav?s de exerc?cios, cartazes, desenhos geom?tricos, situa??es problema. Outros temas tamb?m podem ser propostos para os semin?rios, como por exemplo:
          . Procurar descobrir mais sobre os ?esticadores de corda? no Antigo Egito e o ?ngulo reto que formavam com a corda de 12 n?s.
          . Construir uma espiral pitag?rica ou mesmo a localiza??o de irracionais de forma ?n, com n natural, na reta numerada.