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- Compreender e calcular a inversa de uma matriz;

- Conhecer a criptografia e como as matrizes podem ser utilizadas para criptografar mensagens;

- Construir mensagens criptografadas.

6 horas/aula

- Multiplica??o de matrizes;

- Resolu??o de sistemas lineares.

ATIVIDADE 1:  COMPREENDENDO E DETERMINANDO A INVERSA DE UMA MATRIZ

PREPARA??O DO AMBIENTE:

Esta atividade ser? realizada na sala de aula e ser?o utilizados os seguintes recursos: folhas de papel A4, canetas e l?pis.

Recomendam-se as seguintes regras para o desenvolvimento da atividade:

- Participa??o na atividade;

- Turma dividida em tr?s grupos;

- Respeitar a opini?o do colega.

DESCRI??O DA ATIVIDADE:

Segue abaixo a descri??o das etapas desta atividade:

Etapa1: Criando

Com a turma dividida em grupos o professor dever? escrever no quadro uma matriz 3x3 com as entradas vazias e solicitar para cada grupo tr?s n?meros, cada grupo dever? escolher n?meros distintos, ou seja, dois grupos n?o dever?o escolher os mesmos tr?s n?meros, essa matriz dever? ser chamada de A. Segue um exemplo dessa matriz:

Etapa 2: Problematizando

O professor dever? solicitar aos grupos que multipliquem a matriz A por outra matriz (os alunos a chamar?o de matriz B) de modo que o resultado da multiplica??o resulte em uma matriz identidade. Os alunos dever?o chamar as entradas de B de a,b,c,d,...,etc.

Etapa 3: Questionando

Os grupos dever?o responder as seguintes perguntas e posteriormente apresentar as respostas para o restante da turma:

1)     Qual ? o tipo da matriz B?

2)     Qual ? a matriz B encontrada pelo grupo?

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento os alunos buscar?o realizar a atividade proposta.

DISCUSS?O:

Os grupos dever?o apresentar ao restante da turma suas respostas. Em seguida o professor dever? propor as seguintes quest?es aos alunos:

1)     Por que o tipo das matrizes B e identidade s?o iguais?

 Espera-se que os alunos respondam que isso acontece porque a matriz resultante da multiplica??o ? quadrada e nesta a quantidade de linhas ? determinada pela matriz A e a quantidade de colunas ? determinada pela matriz B, como a matriz A possui tr?s linhas ent?o a matriz identidade dever? ser uma matriz 3x3, como o n?mero de colunas de B e a identidade ? igual resulta que a matriz B possui tr?s colunas, por fim, a multiplica??o entre matrizes s? ? poss?vel se o n?mero de colunas da matriz A for igual ao n?mero de linhas da matriz B, como A possui tr?s colunas, a matriz B dever? ter tr?s linhas. Portanto, B e a identidade possuem o mesmo tipo.

2)     A matriz B ? ?nica?

Espera-se que os alunos respondam sim, pois a mesma matriz foi encontrada por todos (o professor dever? explorar esta pergunta na sistematiza??o).

?

SISTEMATIZA??O:

Neste momento o professor dever? formalizar o conceito de matriz inversa, mostrando aos seus alunos que a matriz B ? a inversa da matriz A da seguinte forma:

?Suponha que B e C s?o inversas da matriz A, assim AB = BA = I e AC = CA = I, logo B = C.

O professor dever? solicitar aos alunos que tentem iniciar a demonstra??o de que B=C. Espera-se que a demonstra??o constru?da seja semelhante a esta:

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

Portanto, B = C.?

Ap?s isso o professor dever? pedir aos alunos que ?tentem? encontrar a matriz inversa da seguinte matriz:

?

Os alunos encontrar?o os seguintes sistemas:

?

O professor dever? explorar uma discuss?o sobre a resolu??o dos sistemas de equa??es obtidos, e ent?o estimular a percep??o dos alunos acerca da exist?ncia de algumas matrizes que n?o possuem uma matriz inversa, neste caso elas s?o denominadas matrizes singulares, pois n?o existe outra matriz que multiplicada pela primeira resulte na matriz identidade.

Com o intuito de ilustrar melhor o conceito de matriz singular o professor dever? solicitar aos alunos que verifiquem se as matrizes abaixo s?o singulares:

?

ATIVIDADE 2: DESVENDANDO A CRIPTOGRAFIA

Etapa 1: Na sala de Inform?tica

Inicialmente os alunos, em duplas, dever?o assistir ao v?deo Tempos de Guerra como tamb?m fazer a leitura do conte?do abordado no objeto Mensagens Secretas com Matrizes, ambos dispon?veis no Banco Internacional de Objetos Educacionais atrav?s dos seguintes endere?os eletr?nicos: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/20432 e    http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17047. O conte?do explorado no primeiro contribui para despertar o interesse nos alunos pela criptografia eu segundo apresenta um processo de criptografia de uma mensagem (a atividade proposta ? baseada neste experimento, mas utiliza uma tabela de refer?ncia num?rica).

Etapa 2: Em sala de aula

A turma dever? ser reorganizada em quatro grupos, o professor dever? comentar com seus alunos o texto e v?deo utilizados na sala de inform?tica e propor a seguinte din?mica:

Criptografando e Descriptografando mensagens

Tabela de Recorr?ncia:

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
U	V	W	X	Y	Z	.	?	!	# (espa?o)
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

A din?mica consiste em criptografar uma matriz de mensagens, por exemplo, a matriz abaixo significa ?MATEM?TICA ? LEGAL!:

Para isso multiplicamos a matriz C abaixo (denominada matriz Codificadora) pela matriz M acima.

Assim temos na matriz CM a mensagem criptografada:

Para voltar ? mensagem original basta multiplicar a inversa de C, que chamaremos de D (descodificadora) pela matriz CM, segue a matriz D:

Assim,

D(CM) = (DC)M = IM = M.

Cada grupo dever? criar uma mensagem utilizando uma matriz como a do exemplo acima e criptografar a mesma com a matriz C e escrever a matriz criptografada em um peda?o de papel, ap?s isso os grupos dever?o trocar os pap?is entre si e tentar descobrir a mensagem criptografada utilizando a matriz D.

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ATIVIDADE 3: DESCRIPTOGRAFANDO PARA SOCIALIZAR INFORMA??ES

Esta atividade ser? desenvolvida no laborat?rio de inform?tica educativa (LIE). A turma ser? dividida em quatro equipes, estas dever?o ser nomeadas a crit?rio dos alunos. Cada equipe dever? realizar os seguintes passos:

Passo 1: Criar uma matriz invers?vel 2x2 e cham?-la de C, esta ser? a chave de criptografia.

Passo 2: Criar uma matriz de mensagem que ser? criptografada pela matriz C. Esta mensagem dever? conter uma informa??o sobre a import?ncia da criptografia atualmente como tamb?m a rela??o entre criptografia e Matem?tica. O professor dever? acompanhar a pesquisa dos alunos orientando na sele??o e compreens?o das informa??es pesquisadas.

Passo 3: Representar a matriz criptografada como uma lista de n?meros separados por v?rgulas. Por exemplo, a matriz da atividade anterior que representava a mensagem MATEM?TICA ? LEGAL poderia ser representada da seguinte forma:

M = 13,1,20,5,13,1,20,9,3,1,30,5,30,12,5,7,1,12,30,29

A matriz criptografada poderia ser representada assim:

CM = 69,8,90,27,44,10,61,39,39,32,56,7,70,22,31,9,41,30,36,31

Para escrever as listas acima em formato de matriz basta contar a quantidade de elementos e dividi-los em duas partes, das quais a primeira parte ? a primeira linha da matriz e a segunda parte ? a segunda linha da matriz.

Passo 4: Criar um grupo no Facebook com o nome da respectiva equipe, para isso os alunos dever?o ler o tutorial Como criar um grupo no Facebook, que est? dispon?vel no seguinte endere?o: http://www.dicastutorial.com/2012/02/como-criar-um-grupo-no-facebook.html

Passo 5: Cada equipe dever? postar a mensagem criptografada em seu grupo juntamente com a chave de criptografia associada ? mensagem.

Passo 6: Cada equipe dever? acessar os outros grupos e descobrir a mensagem criptografada, para isso a equipe dever? calcular a matriz inversa da matriz associada ? chave de criptografia. O per?odo de dura??o para essa etapa ser? determinado pelo professor.

Passo 7: Cada equipe dever? postar em seu pr?prio grupo uma mensagem escrita normalmente em portugu?s informando a mensagem criptografada pelas demais equipes.

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Sugest?es de links para os alunos:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=37071: um v?deo que trata da criptografia durante a 2? Guerra Mundial. Acesso em 31/09/2012.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35425: um v?deo que introduz os conceitos b?sicos de criptografia. Acesso em 31/09/2012

Sugest?es de links para os professores:

http://www.brasilescola.com/informatica/criptografia.htm: o site exibe uma defini??o de criptografia.  Acesso em 31/09/2012.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35425: um v?deo que introduz os conceitos b?sicos de criptografia. Acesso em 31/09/2012

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Links do Portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=32846: orecurso possui o objetivo de abordar o conceito de criptografia e explorar conte?dos operacionais de matrizes. Acesso em 31/09/2012.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=37074: o recurso mostra uma situa??o que estimula o uso de criptografia. Acesso em 31/09/2012

Na atividade 1 o professor poder? verificar se os alunos compreenderam o conceito de inversa de uma matriz, bem como a maneira de determin?-la a partir da discuss?o proposta e da identifica??o de matrizes singulares. Na atividade 2 o professor poder? averiguar se os alunos entenderam o que ? criptografia e uso de matrizes nesse processo a partir das mensagens constru??o das mensagens codificadas. Na atividade 3 o professor poder? verificar se os alunos utilizaram corretamente os conhecimentos de criptografia a partir da decodifica??o de mensagens relacionadas ao assunto atrav?s do Facebook.