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Resolver situa??o-problema envolvendo conhecimentos num?ricos;

Identificar o n?mero de termos de uma sequ?ncia num?rica de n?meros inteiros, a partir dos naturais, observando tr?s particularidades:

1) quando as duas extremidades da sequ?ncia fazem parte da contagem;

2) quando apenas umas das extremidades faz parte da contagem;

3) quando nenhuma das extremidades fazem parte da contagem.

5 a 6 horas/aulas (50 minutos)

- Subtra??o de n?meros naturais;

- Identificar uma sequ?ncia num?rica em contextos sociais, al?m do pr?prio conjunto num?rico, aqui em particular, os naturais e os inteiros.

As estrat?gias e os recursos aqui descritos visam responder ? quest?es diversas mas, que t?m em comum determinar o n?mero de termos de uma sequ?ncia num?rica no conjunto dos n?meros naturais ou inteiros, seja dentro de um contexto social ou no campo exclusivo da matem?tica. Por exemplo: ?Quantos n?meros inteiros h? entre ?30 e 21?? (RIBEIRO, 2009, p. 115). Neste caso, a tend?ncia dos alunos ? acreditar que o resultado ? 51 e n?o 50. Ent?o, como fazer para que compreendam essa e outras situa??es similares? Esta quest?o poderia ser formulada de duas outras maneiras. A saber: quantos n?meros inteiros h? de ?30 at? 21? Ou, quantos n?meros inteiros h? de ?30 ao termo que antecede o n?mero 21?

Para responder os tr?s casos apresentados, os alunos precisam compreender uma propriedade da subtra??o de n?meros naturais, qual seja: considerando a sequ?ncia num?rica a + 0, a + 1, a + 2, a + 3, ... , a + (b ? a) = b, quando b > a, o n?mero b ? a nos auxilia na contagem de quantos n?meros inteiros maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b existem. Se a < b, o intervalo [a, b] possui b ? a + 1 elementos (HEFEZ, s/d, p. 12). Podemos desta propriedade, definir outras duas para os demais casos. Assim sendo, se a < b, o intervalo ]a, b[ possui b ? a ? 1 elementos. E, a < b, o intervalo ]a, b] ou [a, b[  possui b ? a elementos.

Para ser poss?vel o professor ensinar e o aluno aprender esse conhecimento, o professor precisa promover uma transposi??o did?tica, que facilite a compreens?o de uma linguagem formal que, dependendo da faixa et?ria pode ser de natureza complexa, para uma linguagem mais adequada aos alunos do Ensino Fundamental. Dessa forma, o professor pode se servir das contribui??es de Polya (2006) para essa transposi??o. Vamos l??

De modo geral, a estrat?gia ? envolver os alunos na resolu??o de um problema que engloba uma sequ?ncia num?rica no conjunto dos n?meros naturais, contemplando as tr?s situa??es supracitadas. O professor por meio de indaga??es dever? estimular os alunos, dispostos em grupos de tr?s, a mobilizarem seus conhecimentos pr?vios para pensar em estrat?gias ou esquemas que facilitem a leitura e a ?compreens?o do problema?; desenvolver estrat?gias na busca de solu??o, ou seja, ?estabeler? e ?executar um plano de resolu??o do problema? e, por fim, ?fazer o retrospecto?, testando os resultados obtidos e refazendo o caminho ou buscando outros at? ent?o n?o considerados ou desconhecidos.

A aula

O professor, para iniciar a aula, solicite aos alunos que se organizem em trios. Os crit?rios de sele??o dos grupos s?o variados. O importante ? que o professor esteja atento para que n?o fiquem, num mesmo grupo, somente alunos com dificuldades em trabalhar coletivamente.

Estando os grupos reunidos, o professor entrega-lhes tr?s folhas em branco para cada grupo, e prop?e-lhes a seguinte quest?o (o professor pode fazer uma leitura em voz alta e pedir para que os alunos copiem a situa??o):

?Voc?s tr?s se encontraram e come?aram a conversar sobre um livro que estavam lendo. Um comenta que no dia anterior havia lido da p?gina 13 at? a que antecede a p?gina 100. O outro revela que nesse dia leu todas as p?ginas entre as de n?meros 11 e 97, e o terceiro, por sua vez, relata que come?ou a leitura na p?gina 5 e leu at? o fim da p?gina 92? (PROFESSOR).

O professor deve observar se os alunos se colocam na situa??o. Se isto ocorrer, diante da curiosidade, eles pr?prios determinam a quest?o problematizadora, ou seja, querem saber quem leu o maior e o menor n?mero de p?ginas. Se isto n?o ocorrer, o professor pode questionar os alunos qual seria a quest?o a resolver nessa situa??o. Assim, podem buscar como resposta quem leu o maior n?mero de p?ginas.

Determinado a inc?gnita, e interessados pelo problema, assume-se o desafio de saber quem leu o maior n?mero de p?ginas. Dessa forma, o professor pode sugerir aos grupos que busquem a solu??o ou as respostas para esta e para as outras duas quest?es.

Observe o trabalho dos grupos e incentive aqueles que apontam um plano de resolu??o do problema a apresent?-lo a voc?, instigue-os a refletir sobre a estrat?gia pensada e, tamb?m, se n?o existem outros caminhos. Caso um grupo n?o consiga pensar em nenhum caminho poss?vel, reforce para a leitura atenta do problema, instigue-o a procurar semelhan?as com outros problemas j? resolvidos e, tamb?m pensar nas opera??es poss?veis para resolver aquelas situa??es.

No trabalho em grupo, em uma leitura desatenta, os alunos tendem a utilizar o algoritmo da subtra??o para as tr?s situa??es, sem fazer distin??o entre os termos que caracteriza cada uma. Contudo, ? preciso observar que termos como ?entre? e ?antecede? diferenciam uma situa??o de outra. Dessa forma ? interessante que o professor incentive os alunos a fazerem duas coisas: a criarem um esquema (em forma de desenho, por exemplo) para ajud?-los a ler e interpretar o problema em suas diferentes situa??es e, a buscarem outros caminhos que permitam comparar os resultados adquiridos pelo primeiro caminho pensado (no caso aqui registrado, a subtra??o). Uma das possibilidades, manifestada pelos conhecimentos pr?vios dos alunos, ? a contagem por meio da reta num?rica ou, de modo mais pr?tico, por meio de pequenos riscos, bem como faziam nossos antepassados. Pode ser que alguns tamb?m optem pela contagem das p?ginas do pr?prio livro.

? medida que o professor vai conduzindo o processo, pe?a aos grupos que socializem as etapas de trabalho. Para a consolida??o do trabalho, o professor pode fazer o registro dos trabalhos numa tabela. A tabela abaixo, por exemplo, ilustra uma situa??o a qual utilizaremos para situar o professor.

TABELA 1 ? Representa??o gr?fica e express?o geral para cada uma das tr?s situa??es envolvendo uma sequ?ncia de n?merosnaturais

    

                                   Fonte: autor.

Na tabela ? poss?vel verificar na segunda coluna (primeiramente, em preto), possibilidades de respostas que poder?o ser apresentadas pelos grupos para as tr?s situa??es (descritas na coluna 1). Observa-se que para a primeira situa??o, o resultado pode ser o mesmo para todos, pois, todos podem optar pelo algoritmo da subtra??o. Na segunda situa??o, pode haver diverg?ncia nas respostas dos grupos, pois, alguns podem utilizar a subtra??o e um grupo, em espec?fico, considerar o termo ?entre? e desprezar as extremidades. Na terceira situa??o os resultados podem ser os mesmos, visto que todos podem fazer a subtra??o.

No caso da segunda situa??o, o professor deve questionar o porqu? da diferen?a de resultados. A constata??o pelos alunos de que os termos influenciam no resultado, ? a oportunidade que o professor tem para sugerir que os alunos procurem um esquema para representar as tr?s situa??es do problema. Caso os alunos n?o consigam visualizar uma forma, o professor pode sugerir a representa??o, conforme ilustra a quarta coluna. Neste tipo de figura entende-se bolinha fechada como p?gina lida e, bolinha aberta como p?gina n?o lida.

Observado a import?ncia de uma leitura atenta do problema e que os termos influenciam no resultado, o professor solicita a todos os grupos que busquem outros caminhos ou outras estrat?gias para determinar as respostas ?s tr?s quest?es apresentadas. Comparando a segunda e a quinta coluna podemos identificar que os registros em vermelho se referem aos resultados daqueles que optaram pela contagem por meio de riscos ou fazendo uso da reta num?rica (Isto permite uma discuss?o para o uso de instrumentos formais e n?o formais na Matem?tica). Em azul, temos os resultados da confer?ncia por meio do livro did?tico. Contudo, devido ao tamanho do intervalo do problema proposto, percebe-se que os alunos podem apresentar dificuldades em determinar o n?mero de termos do intervalo para cada situa??o. Sendo assim, ? conveniente fazer a redu??o do problema.

Neste momento, o professor pode perguntar se ? poss?vel reformular o problema de outra maneira. Nesse caso, mantendo a situa??o ou o contexto e mudando apenas os n?meros das p?ginas, o professor pode sugerir que fa?am a redu??o do problema, ou seja, que trabalhem com as mesmas informa??es, por?m, com um intervalo de p?ginas de 10 a 20. Essa estrat?gia permite que repetindo os procedimentos utilizados para o problema correlato anterior, os alunos verifiquem quais respondem a cada uma das tr?s situa??es e quais resultados s?o verdadeiros. Solicite a todos os grupos que repitam todas as estrat?gias utilizadas (subtra??o, contagem por meio de riscos e da reta num?rica, e, por fim, recorrendo ?s p?ginas do livro did?tico). O objetivo ? que cheguem ao resultado correto para as tr?s situa??es.

Ap?s a confirma??o dos resultados, o professor prop?e aos alunos que criem uma lei geral para responder aos tr?s casos. Para convencer os alunos dessa necessidade ou da vantagem dessa forma matem?tica de se expressar, o professor pode pedir para os alunos imaginarem situa??es em que o intervalo ? maior, como por exemplo: e se as p?ginas fossem de 42 a 923? E se fossem entre a 2 e a 432? Ficaria dif?cil utilizarmos m?todos de contagem como os dos riscos e de passar as p?ginas do livro! Observe que, at? mesmo para a confer?ncia dos resultados para este problema que estamos trabalhando, o intervalo j? ofereceu dificuldades.

 A partir dos resultados, espera-se que os alunos observem que para a situa??o em que uma das extremidades n?o ? contada, a subtra??o ? suficiente para responder a quest?o. Contudo, ela n?o responde para as outras duas situa??es. Aqui os alunos t?m o desafio de perceber que: no caso em que as duas extremidades ? considerada, al?m da subtra??o ? preciso acrescentar uma unidade a resposta. E, no caso em que n?o ? contada nenhuma das extremidades, al?m da subtra??o destas ? preciso tirar uma unidade da resposta.

? importante que o professor passe pelos grupos e fomente a discuss?o dos alunos no sentido de chegar a essa conclus?o. Contudo, outras generaliza??es podem surgir. Para qualquer caso apresentado, ? preciso verificar se o que foi proposto responde a situa??o em quest?o. Podem-se pensar outros intervalos para validar ou n?o a express?o proposta. Depois de certo tempo de trabalho, caso algum grupo tenha chegado ?s express?es desejadas, solicite que apresente o racioc?nio e a conclus?o do grupo para os demais da classe. O professor pode refor?ar o racioc?nio exposto, na inten??o que todos os alunos entendam as diferen?as e as tr?s express?es definindo o m?todo de resolu??o para problemas que envolvam uma sequencia num?rica com n?meros naturais ou inteiros. Sen?o, o professor conduz ao racioc?nio esperado. Sugira que continuem trabalhando com o algoritmo da subtra??o. Contudo, alerte sobre a necessidade de se fazer ajustes, pois somente a subtra??o n?o ? suficiente para responder duas das tr?s situa??es apresentadas.

Depois de chegarem ?s generaliza??es e de fazerem o retrospecto e validando cada express?o que permite a resolu??o das tr?s situa??es que tomam como refer?ncia as extremidades de uma sequ?ncia num?rica, envolvendo os n?meros naturais, o professor e os alunos podem chegar ?s seguinte conclus?es (expressa na ?ltima coluna da tabela):

1. Para situa??es em que o termo de apenas uma das duas extremidades da sequ?ncia ? contado, ? suficiente aplicar o algoritmo da subtra??o para determinar a quantidade de termos existentes naquele intervalo, ou seja, a resposta ? obtida por meio da subtra??o entre os extremos da sequ?ncia.
2. J? para as situa??es em que os termos das duas extremidades da sequ?ncia de n?meros inteiros s?o contados, ? necess?rio, al?m de utilizar a subtra??o entre os extremos, acrescentar uma unidade ao resultado.
3. Por fim, quando, na situa??o analisada, n?o ? considerado nenhum dos dois termos das extremidades da sequ?ncia, tamb?m recorremos ? subtra??o. Por?m ? necess?rio retirar uma unidade do resultado para determinar o n?mero de termos da sequ?ncia.

Como atividade complementar, o professor pode buscar no(s) livro(s) did?ticos (em especial os de 7? ano ou 6? s?rie) problemas contextualizados ou n?o, que envolvem sequ?ncia num?rica para os alunos praticarem aplicando as express?es elaboradas. Entre as situa??es que podemos encontrar nos livros ou at? mesmo formular est?o aquelas em que ? preciso: determinar a quantidade de termos de uma sequ?ncia da reta num?rica, por exemplo, entre o 0 e 73; calcular o deslocamento de um carro do quil?metro 13 ao quil?metro 180, por exemplo; verificar a varia??o de temperatura de -5 a +5, por exemplo; calcular a idade de um personagem que viveu antes e depois de Cristo; planejar os hor?rios para tomar rem?dios em fun??o de um determinado tratamento; determinar o n?mero de dias de trabalho em uma empresa a fim de pagamento ou aposentadoria, entre outras.

Como avalia??o o professor pode recorrer a diferentes estrat?gias: uma delas ? solicitar que os grupos, ap?s chegarem ?s express?es gerais para as tr?s situa??es, resolvam a quest?o descrita no in?cio do t?pico ?estrat?gia e recursos materiais?. Esta quest?o, a princ?pio se constitui como um desafio, pois, o trabalho at? aqui, se limitou ao conjunto dos n?meros naturais. Contudo, a atividade pode, de forma tranquila, ser estendida ao conjunto dos n?meros inteiros. Assim sendo, o grupo pode responder ?Quantos n?meros inteiros h? entre ?30 e 21?? (RIBEIRO, 2009, p. 115) Sendo assim, esta avalia??o se configura como um instrumento de enriquecimento da atividade e da aprendizagem.

Outra possibilidade ? solicitar que os alunos elaborem seus pr?prios problemas. O objetivo ? que possam considerar aspectos da sua realidade, trabalhem as diferentes particularidades dependendo dos termos que considerem ou n?o as extremidades da sequ?ncia num?rica, al?m de poderem socializar os problemas entre si e resolver o maior n?mero de problemas correlatos poss?vel.

Por fim, uma terceira atividade de avalia??o sugerida, ? que o professor elabore algumas quest?es envolvendo uma sequ?ncia num?rica e solicite aos alunos a resolu??o das mesmas. Neste tipo de avalia??o o professor tem a oportunidade de considerar aspectos relevantes da realidade dos alunos, observando os tr?s aspectos poss?veis que considerem ou n?o as extremidades da sequ?ncia num?rica, na hora de determinar o n?mero de termos.

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Refer?ncias

HEFEZ, Abramo. Inicia??o ? aritm?tica. Programa de inicia??o cient?fica OBEMEPE, [s. d.].

POLYA, G. A arte de resolver problemas. Trad. Ara?jo, H. L. Rio de Janeiro: Interci?ncia, 2006.