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Calcular o valor das fun??es trigonom?tricas de ?ngulos n?o pertencentes ao 1? quadrante, relacionando com algum elemento do 1? quadrante.

? C?rculo trigonom?trico
? Defini??es de seno, cosseno e tangente no c?rculo trigonom?trico

               Ol? Professor, vamos apresentar alguns recursos para trabalhar o assunto ?Redu??o ao primeiro quadrante? com seus alunos. Leve-os ao laborat?rio de inform?tica e acomode-os em duplas. Antes de iniciar o assunto, fa?a os seguintes questionamentos:
                    ? O que ? um c?rculo trigonom?trico?
                    ? Como se define a fun??o seno no c?rculo trigonom?trico? E a cossecante?
                    ? E a fun??o cosseno? E a secante?
                    ? E a fun??o tangente? E a cotangente?

               Caso ainda exista alguma d?vida, procure san?-las. Para isto voc? pode utilizar alguns s?tios que tratam do assunto ?Redu??o ao primeiro quadrante? e tamb?m uma revis?o dos conhecimentos pr?vios, como exemplo:
                    ? http://alfaconnection.net/pag_avsm/trg0201.htm#TRG020203  
                    ? http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo03.htm, neste leiam a defini??o seno, cosseno e tangente;
                    ? http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/display/0,5912,POR-20-97-969-5211,00.html  

               Professor, para que os alunos possam fazer a an?lise dos diversos casos de redu??o para o primeiro quadrante, utilizaremos o GeoGebra, para consolidar os conhecimentos te?ricos vistos nos links anteriores. Vamos realizar uma atividade no laborat?rio de inform?tica utilizando um software de geometria din?mica, http://www.geometriadinamica.com/, o GeoGebra. Ele ? para se utilizar em ambiente de sala de aula. Ele re?ne GEOmetria, ?lGEBRA e c?lculo. Esta dispon?vel em http://www.geogebra.org/ em vers?o para download gratuito ou para ser executado via web (WebStart).

               No caso desta atividade, tenha instalado previamente o GeoGebra em todos os computadores do laborat?rio de inform?tica. Como documenta??o do software, temos:
                    ? O manual dispon?vel em http ://www.geogebra.org/he lp/docupt_BR.pdf e outro http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, este em portugu?s de Portugal, mas um pouco mais completo;                   

                    ? Uma apostila sobre a utiliza??o est a dispon?vel em http://www.tinaeducacao.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostilageogebra_2007.pdf, nesta apostila temos v?rias atividades utilizando o software, e
                    ? Um guia r?pido de comandos, dispon?vel em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.

               Professor, vamos mostrar aos alunos maneiras de proceder o c?lculo da fun??es trigonom?tricas de um ?ngulo que n?o pertence ao 1? quadrante, relacionando com um do 1? quadrante. Pe?a a eles que sigam os seguintes passos, para o 1? caso: Redu??o do 2? quadrante para o 1? quadrante ( ?/2 < ? < ?).

Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecer? a seguinte tela:

               Professor, comente com seus alunos que na barra de bot?es,

temos diversas ferramentas que podem ser utilizadas. Em todos os bot?es aparece uma seta no canto inferior direito, que, ao ser clicada, permite visualizar as op??es existentes.

Passo 2: Ampliar o campo de vis?o. No ?ltimo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Ampliar? e clique na ?rea de trabalho at? que as medidas dos eixos x e y sejam as da figura abaixo. Em seguida, no mesmo bot?o, selecione a ferramenta ?Deslocar eixos? e centralize o sistema de coordenadas cartesianas conforme a figura abaixo.

Passo 3: Criar um ponto A (0,0) na intersec??o dos eixos x e y. No segundo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Novo ponto? e clique na intersec??o dos eixos x e y. Existe outra forma de criar o ponto A. Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de f?rmulas,

.

Digite: A =(0,0).

Passo 4: Criar um ponto B nas coordenadas (1,0).

Passo 5: Criar uma circunfer?ncia de centro em A passando por B. No sexto bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?C?rculo dados centro e raio? e clique no ponto A e em seguida no ponto B. Para melhorar a visualiza??o, no primeiro bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta a op??o ?Mover?; cliquem no texto ?c? e mova-o para fora da circunfer?ncia, como mostra a figura abaixo.

Passo 6: Criar um ponto C sobre a circunfer?ncia. No segundo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Novo ponto? e clique na circunfer?ncia na regi?o do primeiro quadrante.

Passo 7: Criar uma reta ?a? paralela ao eixo x que passa pelo ponto C. No quarto bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Reta paralela? e clique no eixo x e em seguida no ponto C.

Passo 8: Criar um ponto D na intersec??o da circunfer?ncia e a reta ?a? no segundo quadrante do sistema de coordenadas cartesianas. No segundo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Novo ponto? e clique no ponto de intersec??o da circunfer?ncia e a reta ?a?, no segundo quadrante.

Passo 9: Criar segmento de reta ligando os pontos A e C; e outro ligando os pontos A e D. No terceiro bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ?Seguimento definido por dois pontos?, e em seguida, clique nos pontos A e C, em seguida nos clique nos pontos A e D. Observe que no lado esquerdo da tela aparece uma lista de objetos dependentes. Neste caso, temos agora os segmentos ?b? e ?d? com os valores de suas medidas em cent?metros. Pe?a aos alunos que s elecione, no primeiro bot?o da barra de bot?es, a op??o ?Mover?; cliquem no ponto C e mova-o; e observe:
          ? O que acontece com as abscissas e ordenadas dos pontos C e D?

Passo 10: Determinar as medidas dos ?ngulos BAC e BAD. No oitavo bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ??ngulo?, e em seguida, clique nos pontos B, A e C, nesta sequ?ncia. Em seguida, nos pontos B, A e D, nesta sequ?ncia. Crie tamb?m um ponto E em (-1,0). Pe?a aos alunos que selecione, no primeiro bot?o da barra de bot?es, a op??o ?Mover?; cliquem no ponto C e mova-o; e observe:
          ? O que acontece com a soma dos ?ngulos criados? Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de f?rmulas,

.

Na terceira caixa, selecione as letras do alfabeto grego e digite: ?=?+?. Observe na lista de objetos dependentes o valor de ?. Mova novamente o ponto C, o que acontece com o valor de ??
          ? Como s?o classificados estes ?ngulos?
          ? As medidas dos ?ngulos BAC e EAD s?o iguais?

               Professor, depois destes questionamentos, passe a analisar e comparar os valores do seno, cosseno e tangente dos ?ngulos no primeiro e segundo quadrantes. Vamos come?ar com o seno.

Passo 11: Criar um ponto F na intersec??o do eixo y e a reta ?a?. No segundo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Novo ponto? e clique no ponto de intersec??o do eixo y e a reta ?a?.

Passo 12: Criar segmento de reta ligando os pontos A e F. Para real?ar este segmento, clique com o bot?o direito do mouse sobre o segmento criado e selecione ?Propriedades?. Na aba ?Cor? selecione uma cor diferente. Na aba ?Estilo? altere a espessura da linha. Movimente o ponto C, observe o que acontece.

               Professor questione aos seus alunos, quanto ao seno dos ?ngulos:
                    ? O sen o de um ?ngulo ? medido no eixo x ou no eixo y?
                    ? O segmento AF representa o valor do seno do ?ngulo BAC?
                    ? O segmento AF representa o valor do seno do ?ngulo BAD?
                    ? Observe o valor das ordenadas dos pontos C e D. S?o iguais?

               Vamos analisar agora o cosseno dos ?ngulos.

Passo 13: Criar uma reta perp endicular a reta ?a? e que passe pelo ponto C. No quarto bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Reta perpendicular? e clique na reta ?a? e em seguida no ponto C.

Passo 14: Crie um ponto G na intersec??o do eixo x e com a reta ?f?, a perpendicular criada.

Passo 15: Criar segmento de reta ligando os pontos A e G e realce de forma diferente do segmento ?e?.

Passo 16: Criar uma reta perpendicular ? reta ?a? e que passe pelo ponto D. Criar um ponto de intersec??o da reta criada com o eixo x e, em seguida, criar um seguimento de reta ligando o ponto A ao ponto criado. Realce o seguimento criado com as mesmas caracter?sticas do seguido do passo 15.

               Professor questione aos seus alunos, quanto ao cosseno dos ?ngulos:
                    ? O cosseno de um ?ngulo ? medido no eixo x ou no eixo y?
                    ? O segmento AG representa o valor do cosseno do ?ngulo BAC?
                    ? O segmento AH representa o valor do cosseno do ?ngulo BAD?
                    ? Observe o valor das abscissas dos pontos C e D. S?o iguais?

               Vamos analisar agora a tangente dos ?ngulos.

Passo 17: Criar uma reta perpendicular ? reta ?a? e que passe pelo ponto B.

Passo 18: Criar uma semirreta ligando o ponto A ao ponto C. No terceiro bot?o da barra de bot?es, selecione a op??o ?Semirreta Definida por Dois Pontos?, e em seguida, clique nos pontos A e C, nesta sequ?ncia.

Passo 19: Criar um ponto na intersec??o da semirreta c riada e a reta ?j?, criada no passo 17. Em seguida, criar um segmento de reta que liga o ponto B ao ponto criado. Realce este seguimento de forma diferente dos outros criados.

Passo 20: Criar uma semirreta ligando o ponto D ao ponto A, nesta sequ?ncia. Criar um ponto de intersec??o da semirreta criada com a reta ?j?, criada no passo 17. Criar um segmento de reta ligando o ponto criado ao ponto B. Realce este seguimento da mesma forma que foi real?ado o seguimento do passo 18.

               Professor questione aos seus alunos, quanto ? tangente dos ?ngulos:
                    ? A tangente de um ?ngulo ? medida no eixo x, no eixo y ou em um eixo auxiliar?
                    ? O segmento BI representa o valor da tangente do ?ngulo BAC?
                    ? O segmento BJ representa o valor da tangente do ?ngulo BAD?
                    ? Observe o valor das ordenadas dos pontos I e J. S?o iguais?

               Professor, fizemos at? aqui todo o detalhamento de como trabalhar a ?Redu??o do 2? quadrante para o 1??. Pe?a a eles que salvem atividade feita e, em seguida, fa?am a analise da ?Redu??o do 3? quadrante para o 1?? e da ?Redu??o do 4? quadrante para o 1??. Esta an?lise pode ser ampliada para secante, cossecante e cotangente.

               Professor, elabore uma lista de exerc?cios para que os alunos possam praticar um pouco. Utilize o livro did?tico e caso queira complement?-la, existe algumas lista dispon?veis em:
                    ? http://www.portalimpacto.com.br/docs/ImpactoGeorgeVest2008Aula10F2.pdf  
                    ? http://www.portalimpacto.com.br/docs/2008VestPimentelF2Aula08a11.pdf

http://www.youtube.com/v/t--mFYQPtig&color1=0xb1b1b1&color2=0xcfcfcf&hl=pt&feature=player_embedded&fs=1

A avalia??o (1 aula) poder? ser da seguinte forma:
     ? Atividades em sala.
     ? Listas de exerc?cios envolvendo aplica??es do assunto no cotidiano.
     ? Durante as aulas observando o interesse e a participa??o do aluno.
     ? Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog j? existente, sugerimos os seguintes:
          o http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070419203143AA7ZdWl  
          o http://22amatematica.blogspot.com/2007/05/reduo-ao-1-quadrante.html  
     ? Competi??o entre grupos, de no m?ximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo caso consiga resolv?-lo, continua na competi??o, caso erre, ser? eliminado.