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Utilizar o conhecimento geom?trico para realizar a leitura e a representa??o da realidade e agir sobre ela, conforme compet?ncia de ?rea 2 da Matriz de Refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM.

Identificar caracter?sticas de figuras planas ou espaciais, conforme habilidade H7da Matriz de Refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM.

3 horas/aulas de 50 minutos

• Figuras geom?tricas e suas formas planas e espaciais;
• medida de ?ngulos not?veis;
• diferen?a entre c?rculo e  circunfer?ncia, raio e di?metro.

PRIMEIRO MOMENTO: Agu?ar o olhar geom?trico por meio da arte.

Inicie a aula apresentando aos seus alunos a sele??o de obras a seguir (figura 1). Elas s?o do artista e fot?grafo turco Sakir G?kcebag.

Coment?rio: Use o projetor multim?dia para ampliar as imagens. Desse modo, o aluno poder? contemplar mais facilmente as obras e observar suas caracter?sticas. Para acessar o site do artista use o link: <http://www.sakirgokcebag.com/PhotoPojects.aspx>.

Figura 1: Imagens dos quadros de Sakir G?kcebag/ WM

Fonte: Adaptado de <http://www.sakirgokcebag.com/PhotoPojects.aspx>. Acesso em 18/06/2013.

Incentive seus alunos a observarem os quadros de Sakir G?kcebag ajudando-os a estabelecerem rela??es com as formas geom?tricas: quadrado, c?rculo, ret?ngulo, esfera. Para isso, sugiro que durante a apresenta??o das obras provoque um debate com perguntas do tipo:

a) Qual ? a rela??o dos quadros com a matem?tica?

b) Quais formatos as melancias utilizadas pelo artista apresentavam antes dos cortes?

c) O que voc? pode afirmar sobre as medidas dos ?ngulos usados nos cortes? 

d) Que recursos matem?ticos o artista usou para produzir encaixes t?o perfeitos?

e) Que figuras geom?tricas planas voc? identifica nas obras? Desenhe.

f) Que figuras geom?tricas espaciais voc? identifica nas obras? Desenhe.

Observa??o: Dentre as coloca??es dos alunos, espera-se que percebam na geometria dos quadros: formas arredondadas, esf?ricas, prismas, quadrados, ret?ngulos, setor circular, as simetrias, ?ngulos de corte iguais a 90? e 180?.

Coment?rio: ? importante que o professor observe se os alunos distinguem as figuras espaciais das planas. Caso seja necess?rio, fa?a uma revis?o: formas bidimensionais e tridimensionais.

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SEGUNDO MOMENTO: Construir o conceito de esfera.

Os quadros de Sakir G?kcebag chamam a aten??o, entre outras coisas, para o formato esf?rico das melancias.  Dessa forma, este ? um bom momento para trabalhar o conceito de esfera. Assim sendo, pode-se desenvolver as seguintes atividades:

1) Pe?a aos seus alunos que fa?am um esbo?o de uma melancia ?redonda? usando o compasso. Lembre-os que est?o desenhando no plano uma figura espacial, portanto precisam usar algum recurso de ilus?o de ?tica. Questione como isso pode ser feito e se for necess?rio sugira o tra?o equatorial para um desenho em perspectiva. Veja o modelo na figura 2.

Figura 2: representa??o geom?trica da melancia, em perspectiva.

Fonte: Dispon?vel em: <http://wchaverri.wordpress.com/formas/esfera/> Acesso em: 17 jun 2013.

2) Levante as quest?es, a seguir, permitindo que seus alunos falem de suas percep??es.

a) Quais outros objetos do nosso cotidiano apresentam forma semelhante?

b) A forma representada ? bidimensional ou tridimensional? Plana ou espacial?

c) Para construir a circunfer?ncia utilizada no desenho, voc? precisou utilizar o compasso. Qual ? a posi??o do ponto representado pela ponta seca do compasso? E no desenho em perspectiva, qual ? a posi??o desse ponto?

d) Marque tr?s pontos distintos na circunfer?ncia. Fa?a a medida da dist?ncia destes at? o centro.

e) Quais as medidas encontradas? O que voc? observa?

Coment?rio: Espera-se que o aluno perceba que as dist?ncias s?o iguais.

f) O que voc? pode concluir a respeito das dist?ncias de cada ponto da circunfer?ncia at? o centro?

g) Considerando o desenho em perspectiva (figura tridimensional), o que se pode dizer da dist?ncia de cada ponto dessa figura at? o centro?

h) Que nome voc? daria para a dist?ncia entre o centro e um ponto qualquer da figura?

Coment?rio: Nesse momento o professor deve nomear a dist?ncia do centro ? superf?cie como sendo o raio da esfera (R).

i) Quando inserimos a linha equatorial, a circunfer?ncia ganha uma apar?ncia tridimensional. Voc? sabe qual ? o nome dado a essa forma geom?trica?

Coment?rio: ? importante que as perguntas sejam escritas no quadro ou que sejam entregues aos alunos impressas, para que os mesmos possam copiar e registrar as conclus?es da classe.

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PENSE UM POUCO! ...

(A) O que diferencia uma melancia de uma bola?

Resposta esperada: Que a melancia ? s?lida (casca, massa branca e massa vermelha) e a bola ? oca (?casca?).

(B) A melancia (redonda) utilizada pelo artista em seus quadros, pode ser comparada a uma esfera. 

Nesse caso, a esfera tamb?m pode ser comparada a uma bola? Por qu??

Resposta esperada: N?o, porque como a esfera ? comparada com a melancia ela n?o pode ser oca.

(C) Fa?a ou projete um desenho que ilustre a esfera (figura 3). N?o se esque?a de identificar o centro e o raio da sua esfera.

Figura 3: modelo de esfera

Fonte: http://www.zmaisweb.com/home/index.php/em01/90-esfera

Agora....

Construa ent?o a defini??o de esfera, considerando quest?es como: centro, raio e dist?ncia.

Espera-se uma resposta pr?xima ? defini??o formal da esfera: ?Uma Esfera de centro O e raio R ? o conjunto dos pontos do espa?o cujas dist?ncias a O s?o menores ou iguais a R?.(SMOLE, 2003, p. 281).

Coment?rio: Observe com os alunos que: ?a esfera ? um s?lido perfeito por n?o ter arestas e por apresentar sempre a mesma forma, qualquer que seja o ?ngulo de observa??o.?. (SMOLE, 2003, p. 281).

(D) No desenho a seguir, est? representada uma esfera com dois raios alinhados, ligando uma extremidade ? outra da figura e passando pelo centro da mesma (figura 4). O segmento formado por esses dois raios ? chamado de di?metro.

Figura 4: Destaque do di?metro em uma esfera

Agora responda:

1) Como encontramos a medida do di?metro (D) da figura 4?

Resposta esperada: ?somando a medida dos raios? ou ?dobrando a medida do raio?, etc.

2) Voc? consegue estabelecer uma rela??o matem?tica entre di?metro (D) e raio (R)?

Resposta esperada: ?D = R + R? ou ?D = 2*R?.

Para finalizar esse momento, proponha aos alunos a seguinte atividade:

Atividade: ?Usando o compasso,  desenhe 3 esferas em uma folha A4, de raios com medidas iguais a R=2 cm, R=3 cm e R=5 cm, respectivamente. Determine os di?metros de cada uma de suas esferas?.

Professor, recolha a atividade para avaliar.

Coment?rio:Durante a atividade verifique se seus alunos est?o utilizando o compasso corretamente e confira se os mesmos conseguiram fazer uma representa??o em perspectiva e tamb?m se est?o destacando o centro e o di?metro.

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SEGUNDO MOMENTO: Construir a ideia de Superf?cie Esf?rica

PENSE!...

Vimos que a casca, a massa branca e a massa vermelha de uma melancia (redonda) constitui a esfera. No entanto, se considerarmos apenas a casca, o que teremos?

Professor, explore as respostas dos alunos. Para isso, levante quest?es que os levem a pensar nas palavras ?superf?cie? e ?esf?rico?.

Sugest?es:

Ideia de superf?cie

O que voc? est? cobrindo, por exemplo, quando:

 - reveste o tampo de uma mesa?

 - Pinta uma parede?

- Encapa um caderno?

- Azuleja o ch?o ou uma parede?

Ideia de ?esf?rica?

a - Qual ? a diferen?a entre a superf?cie formada pelo revestimento da mesa e a superf?cie formada apenas pela casca verde da melancia (redonda), utilizada pelo artista?

Coment?rio: Espera-se que o aluno observe que a superf?cie da mesa ? plana, enquanto que a que reveste a melancia (casca) ? ?curva?.

b - Ent?o se a melancia representa uma esfera, como pode ser chamada a sua casca?

Coment?rio: Aproveite as ?falas? e, se  necess?rio, antes de definir a superf?cie de revestimento da esfera como ?Superf?cie Esf?rica? ressalte a quest?o do nome da figura (esfera),

Solicite aos alunos que registrem, com suas palavras, a defini??o de superf?cie esf?rica. Em seguida socialize as respostas. Esteja atento para alguma modifica??o ou complementa??o nas respostas apresentadas. Registre no quadro a resposta que foi apresentada na forma mais completa.

Resposta esperada: Superf?cie esf?rica de centro O e raio R ? o conjunto dos pontos do espa?o cujas dist?ncias a O s?o iguais a R.(SMOLE, 2003, p. 281).

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Terceiro Momento: A esfera ? um s?lido de revolu??o.

Enrique?a a percep??o de seus alunos apresentando a eles a possibilidade de girar um semic?rculo em torno do di?metro (volte na figura anterior e identifique o di?metro da esfera) e veja qual a figura que ser? visualizada. ? poss?vel uma experi?ncia simples colando o semic?rculo em uma vareta e realizando uma rota??o (figura 5).

Figura 5: visualiza??o da esfera, por meio da revolu??o do semic?rculo

Fonte: dispon?vel em: http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/

Essa atividade pode ser realizada com o uso de equipamentos eletr?nicos. O aluno pode conhecer esse equipamento assistindo ao v?deo ?Esfera de revolu??o?, dispon?vel no site:

http://www.youtube.com/watch?v=2aO5IxM1QM0&list=UUrzp98BB0GNKrOFOhIVwNBA. Acesso em: 17 jun 2013

Proponha aos alunos a seguinte atividade:

Atividade:

1- Observando o procedimento pr?tico utilizado na constru??o da esfera, ? poss?vel construir uma superf?cie esf?rica?

Espera-se que eles percebam que sim desde que tirem o ?miolo?, deixando apenas a linha do semic?rculo.

2- Construa uma superf?cie esf?rica.

Para essa atividade, devem estar dispon?veis algumas varetas, peda?os de arame e alicate.

CURIOSIDADE...

Quando a melancia n?o for esf?rica, como mostrada na figura 6, qual ? o seu formato?

Figura 6: Melancia alongada

Fonte: http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://trabalhandomuito.files.wordpress.com/

Pe?a para que pesquisem o nome do formato e uma maneira de represent?-la por meio de um desenho uma forma para constru?-la.

DANTE, Luiz Roberto. Matem?tica. S?o Paulo: ?tica, 2005.

http://cmup.fc.up.pt/cmup/arte/

http://artenaescola.org.br/uploads/boletins/boletim-65.pdf

http://artenaescola.org.br/dvdteca/catalogo/dvd/?id_video=115

http://www.sakirgokcebag.com/PhotoPojects.aspx

SMOLE, K?tia C. S. Matem?tica. S?o Paulo: Saraiva, 2003. (ensino m?dio, v.2)

Al?m da participa??o nas atividades, ao avaliar os alunos, leve em considera??o o processo de desenvolvimento das atividades solicitadas, tendo como crit?rios:

1. As discuss?es decorrentes das quest?es iniciais.

2. A atividade n?mero 5, recolhida.

3. As respostas das quest?es apresentadas em todos os momentos.

4. A representa??o das esferas (com r?gua e compasso).

5. A atividade pr?tica envolvendo a constru??o da superf?cie esf?rica de revolu??o (terceiro momento).

6. A pesquisa realizada.