Portal do Professor

- Entender as dimens?es envolvidas no estudo do Universo.

- Compreender as no??es de infinito e eterno.

2 aulas com 50 minutos cada

- No??es b?sicas de Astronomia: Sistema Solar, Estrelas e Gal?xias.

- Opera??es b?sicas da Matem?tica

Sugerimos que a aula seja apresentada em um laborat?rio de inform?tica ou em um espa?o (sala de aula ou audit?rio) que disponibilize para o professor o acesso a um computador, com sistema de som, e a um projetor multim?dia. Propomos que a aula seja apresentada em tr?s momentos como apresentado a seguir:

1^o Momento

Propomos que a aula tenha in?cio com a apresenta??o do seguinte texto:

"Imagens do passado... Registradas na mente... A cada olhar... Sentimentos afloram... Quest?es surgem como fontes para incomensur?veis momentos de reflex?o... Por que as gentes existem??? Por que as coisas existem??? Qual o destino das gentes??? Temas recorrentes para muitos fil?sofos... Houve um momento de cria??o do Universo??? Como surgiram as gentes, os animais, as ?rvores,...??? Como responder a essas quest?es??? As gentes na busca por entender os mist?rios da sua exist?ncia conseguiram construir sofisticados modelos de representa??o da Natureza... As gentes conseguiram reproduzir fen?menos naturais de modo controlado... Esse conhecimento permitiu o desenvolvimento de maravilhosos equipamentos... M?quinas presentes em todos os lugares e que auxiliam as gentes a desenvolver diversos tipos de atividades... Um motivo de espanto para muitas gentes ? o fato de a humanidade poder compreender, mesmo que de modo limitado, os fen?menos naturais... A Matem?tica ? uma ferramenta que se mostra a cada dia mais poderosa... Fruto da imagina??o e criatividade das gentes... Por que as gentes puderam desenvolver uma ferramenta t?o fascinante??? Outro grande mist?rio... Na busca por entender o Universo as gentes se defrontam com o herc?leo desafio de tentar mensur?-lo... Qual ? o tamanho do Universo??? Com a evolu??o dos instrumentos de observa??o novas informa??es surgem a cada momento... Quest?es brotam nas mentes inquietas... O Universo ? finito ou infinito??? Eterno??? Algu?m sabe como respond?-las??? Um desafio interessante, que ficou conhecido como paradoxo do Hotel de Hilbert, foi proposto por David Hilbert um famoso  matem?tico alem?o... Nesse paradoxo ? imaginado um hotel com uma caracter?stica bem interessante... Um hotel tradicional (com um n?mero finito de quartos) quando est? lotado n?o pode receber novos h?spedes...  Mas o que ocorreria em um hipot?tico hotel com um n?mero infinito de quartos... Imagine que nesse hotel todos os quartos estejam ocupados com um n?mero infinito de h?spedes... Chega um novo h?spede... Ele poder? se hospedar??? Sim... Ele encontrar? um quarto dispon?vel... Como h? infinitos quartos, basta mover cada um dos h?spedes para um novo quarto... Assim seria poss?vel receber um n?mero infinito de novos h?spedes... A soma de infinitos... ? infinito... Uma curiosa constata??o... Assim o hotel sempre poder? receber novos h?spedes... Vamos analisar agora o processo inverso... Um h?spede deixa o hotel... Quantos h?spedes permanecem no hotel??? Infinitos h?spedes??? Uma quest?o sem resposta surge se por uma forte raz?o um n?mero infinito de h?spedes deixa o hotel... O que ocorrer???? Quantos h?spedes permanecem no hotel??? Esse paradoxo ilustra a dificuldade que as gentes possuem para tratar com quantidades incomensur?veis... Existir?o medidas infinitas na Natureza??? A humanidade at? o momento no seu cotidiano somente conhece quantidades finitas... Eternidade e Infinito s?o sin?nimos??? Um Universo eterno acarreta a exist?ncia de infinitos astros??? Um Universo finito acarreta um n?mero finito de astros??? Um bom desafio para as gentes... Ser? que ? uma quest?o muito importante??? H? muitos problemas ainda a serem resolvidos pela humanidade... Gentes com fome... Sem abrigos... Sem sorrisos...  Quest?es prementes e para as quais ? necess?rio encontrar urgentes solu??es... A reflex?o sobre a exist?ncia das gentes faz com que seja poss?vel perceber a verdadeira dimens?o de alguns problemas em rela??o a tantos mist?rios... Fazendo nascer nas mentes uma nova vis?o... Mostrando a verdadeira face da fraternidade e da justi?a... Nos melhores sonhos surgem mundos com gentes felizes e solid?rias vivendo em paz... No mundo real muita desigualdade, tristeza e guerras... Ser? que algum dia o real e a fantasia se unir?o???"

autor: Marcelo de Oliveira Souza

Fonte: livro "Um Passeio pelo C?u" - editora Muyraquit? - 2007

Nesse momento propomos que seja apresentado aos alunos dados relativos a hist?ria dos n?meros, que est? diretamente relacionado ao processo de contagem. Foram descobertas diversas ferramentas de contagens utilizadas pelos nossos ancestrais distantes, duas das mais antigas s?o o Osso de Lebombo e Osso de Ishango (figura 1).  

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Figura 1 - Osso de Ishango

Fonte: http://www.nicolamarras.it/calcolatoria/esordi_calcolo_en.html

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Os estudantes poderiam ser motivados a produzir instrumentos de contagem com os recursos que disp?e na sala de aula. H? v?rias possibilidades, como por exemplo, a utiliza??o de n?s em cordas, riscos em gravetos ... Os instrumentos desenvolvidos podem ser expostos para a turma e os mais criativos selecionados para serem utilizados em aulas para os estudantes dos primeiros anos do ensino fundamental. 

Algumas refer?ncias que podem ser utilizadas nesse momento s?o:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Osso_de_Ishango

http://www.youtube.com/watch?v=ntylzQWvzCA

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2^o  Momento

Nesse momento propomos uma atividade de reflex?o em rela??o a import?ncia dos n?meros em nosso cotidiano. H? registros de tribos que em suas l?nguas possuem vocabul?rios muito restritos para n?meros, limitado a palavras para um, dois, poucos e muitos, como ? o caso, na Austr?lia das tribos abor?genes Walpiri e Anindilyakwa e no Brasil da tribo Pirah?s (tamb?m conhecida como Pirarr?s ou Pira?s) (figura 2).  

Figura 2 - Tribo Pirah?

Fonte: http://revistageo.uol.com.br/cultura-expedicoes/16/artigo180311-2.asp

Uma das quest?es a serem colocadas para os estudantes ? como eles imaginam que seria poss?vel viver em uma civiliza??o que tivesse as mesmas limita??es relativas a contagem que possuem essas tribos. O avan?o tecnol?gico obtido pela humanidade est? diretamente associado a utiliza??o da matem?tica. Como seria poss?vel viver sem poder definir quantidades?  Voltando para a Astronomia, seria poss?vel construir algum modelo para o Universo sem a exist?ncia de n?meros? ? um bom momento para organizar um debate sobre esses questionamentos. 

Uma atividade criativa que pode ser realizada com o uso de novos recursos tecnol?gicos ? a utiliza??o de um projetor multim?dia para realizar a proje??o de sombras. A ideia principal ? poder fazer uma rela??o entre os tamanhos dos objetos e suas sombras. Uma forma de poder verificar que os objetos podem apresentar a sensa??o de tamanhos distintos dependendo do referencial considerado. Analisar o tamanho de um objeto a partir de sua sombra pode induzir a diversas concep??es sobre a forma e o tamanho reais do objeto (Figura 3). Deve ser feita uma associa??o entre essa ideia e a quest?o da dist?ncia e o tamanho aparente de objetos no Universo. A Lua ? muito menor do que o Sol, por?m observamos ambos os astros a partir da Terra com o mesmo tamanho aparente. Assim ? poss?vel contextualizar os n?meros relacionados com as medidas de dist?ncia com os astros e objetos. Propomos que a partir dessas atividades os alunos desenvolvam sistemas criativos para determinar a dist?ncia de objetos distantes. Os estudantes podem utilizar a rela??o entre o tamanho de sua sombra e o seu tamanho real ou outras formas de medi??o indireta. Deve-se incentivar os estudantes a imaginar como no passado, sem o uso de instrumentos de observa??o, era poss?vel realizar determina??es das dist?ncias de astros. Como os novos recursos tecnol?gicos auxiliam na determina??o de dist?ncias no Universo? Em uma etapa final da atividade deve ser proposto aos estudantes considerarem o uso dos recursos tecnol?gicos que disp?em para elaborar novos sistemas criativos para determinar a dist?ncia de objetos distantes.    

No Portal do Professor h? a seguinte aula sobre a determina??o da dist?ncia entre a Terra e a Lua durante um eclipse lunar: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=38803

Figura 3 - Usando uma haste como refer?ncia ? poss?vel determinar a altura de uma ?rvore utilizando a semelhan?a entre dois tri?ngulos que podem ser constru?dos usando como dois de seus lados, em um deles, a sombra de uma haste e a altura da haste e, no outro, a sombra da ?rvore e a altura da ?rvore. 

Cria??o a partir de imagens de dom?nio p?blico: Marcelo de Oliveira Souza

Algumas refer?ncias que podem ser utilizadas como base para a determina??o de tamanhos e dist?ncias atrav?s de medi??es indiretas:

http://www.infoescola.com/matematica/medindo-distancias-usando-sombras-como-fonte-de-calculo/

ftp://ftp.cefetes.br/cursos/Matematica/Lourenco/N18%20Geoprocessamento/Geometria-proporcionalidade/Distancia%20sem%20medir.pdf

http://www.spm.pt/files/outros/MedirMundo.pdf

http://astro.if.ufrgs.br/dist/

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Refer?ncias sobre as tribos abor?genes Walpiri e Anindilyakwa e sobre a tribo Pirah?s

http://jporfiro.wordpress.com/2007/04/29/caso-pirahas-gramatica-de-indio-teoria-linguistica/

http://revistageo.uol.com.br/cultura-expedicoes/16/artigo180311-2.asp

http://www.independent.co.uk/news/science/unlocking-the-secret-sounds-of-language-life-without-time-or-numbers-477061.html (em ingl?s)

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3o Momento

Propomos agora uma atividade interativa e com uso de recursos multim?dia. A refer?ncia principal que utilizaremos ? o v?deo curta-metragem "Power of Tens" (Pot?ncias de Dez) produzido em 1997. O v?deo foi escrito e dirigido por Ray Eames e seu marido Charles Eames. Ele mostra a escala relativa do Universo em pot?ncias de dez. O filme ? uma adapta??o moderna do livro de 1957 Cosmic View escrito por Kees Boeke. O v?deo pode ser acessado atrav?s da p?gina oficial na internet, http://www.powersof10.com/ (Figura 4), ou no youtube atrav?s do link:

http://www.youtube.com/watch?v=0fKBhvDjuy0

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Figura 4 - V?deo Powers of Ten. Imagem capturada da p?gina principal do Powers of Ten

Fonte: http://www.powersof10.com/

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Uma das quest?es iniciais a ser debatida com os estudantes ? sobre se ainda s?o v?lidos os dados apresentados nesse filme, j? que ele foi produzido em 1977. Propomos que ap?s a apresenta??o do v?deo os estudantes sejam desafiados a produzir um v?deo ou uma apresenta??o multim?dia (no software powerpoint, por exemplo) baseado na ideia original do v?deo Powers of Ten. Abaixo apresento dados que podem auxiliar a cria??o desse material:

- Para medir dist?ncias entre astros do Sistema Solar utilizamos a Unidade Astron?mica (UA) que corresponde a dist?ncia m?dia entre a Terra e o Sol. 1 UA = 150 000 000 Km = 1,5x10⁸ Km

- Para medir dist?ncias entre estrelas utilizamos o ano-luz que corresponde a dist?ncia que a luz percorre em um ano. 1 ano-luz ? aproximadamente igual a  9,5 bilh?es de quil?metros = 9,5 x 10¹² Km 

- Para medir dist?ncias entre objetos mais distantes (entre gal?xias, agrupamentos de gal?xias, ...) utilizamos o parsec. Essa unidade de medida equivale ? dist?ncia de um objeto cuja paralaxe anual m?dia vale um segundo de arco (1").Devido ? defini??o da paralaxe anual, o parsec tamb?m pode ser entendido como a dist?ncia ? qual se deveria situar um observador para ver uma unidade astron?mica (UA) -- equivalente ? dist?ncia da Terra ao Sol -- sob o ?ngulo de um segundo de arco (fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Parsec). 1 parsec = 206,26x10³ UA = 3,26156 anos-luz = 30,86 x 10¹² km

As pot?ncias de dez e as dimens?es associadas

- O di?metro equatorial da Terra ? 12,756 x 10⁶ m

- A dist?ncia m?dia entre a Terra e a Lua ? de 3,84x10⁹

- O di?metro equatorial do Sol ? 1,4 x 10⁹ m

- A dist?ncia m?dia entre a Terra e o Sol ? de 1,5x10¹¹ m   

- O di?metro do Sistema Solar ? de aproximadamente 100 UA (uma estimativa considerando a regi?o mais interna da nuvem de Oort), o que corresponde a 150x10¹¹ m

- O di?metro da nossa Gal?xia ? de aproximadamente 100.000 anos-luz, o que corresponde a ordem de grandeza de10²¹ m

- O di?metro do Grupo Local de Gal?xias ? da ordem de 10²² m

- O di?metro do superaglomerado de Virgo ? de aproximadamente 10²³ metros

- O di?metro do Universo vis?vel ? maior do que 10²⁵ metros

Refer?ncias

http://www.las.inpe.br/~cesar/miudos/ciencia/dimensuniverso.htm

http://www.if.ufrgs.br/oei/cgu/sca/sca.htm

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Como ferramenta auxiliar sugerimos a utiliza??o dos softwares gratuitos Celestia (http://www.shatters.net/celestia) (Figura 5) e Mitaka (http://4d2u.nao.ac.jp/html/program/mitaka/index_E.html). Ambos os softwares permitem a realiza??o de uma viagem virtual pelo Universo. Com a utiliza??o desses softwares ? poss?vel ter uma ideia das dist?ncias entre os astros no Universo. Sugerimos que os alunos sejam estimulados a explorar os softwares de modo a seguir o roteiro do filme Powers of Ten at? os limites permitidos em cada um dos softwares.

Figura 5 - Imagem de tela do software Celestia

Fonte: Software Celestia

Propomos agora, ap?s a apresenta??o realizada pelos estudantes do material multim?dia que eles produziram, que seja realizado um debate tendo como tema principal a defini??o de infinito e eternidade. Um retorno ao texto utilizado no in?cio da aula. Qual a vis?o que os estudantes tem do Universo? Infinito e eterno? Finito e eterno? Finito e com limites temporais (in?cio e fim)? ? poss?vel apresentar uma representa??o para infinito e eternidade? 

Refer?ncias adicionais

http://www.independent.co.uk/news/science/unlocking-the-secret-sounds-of-language-life-without-time-or-numbers-477061.html  - Desvendando os segredos da linguagem sem tempo ou n?meros (em ingl?s)

http://www.edge.org/3rd_culture/everett07/everett07_index.html - Uma conversa com Daniel Everett sobre a tribo Pirah? (em ingl?s)

http://www.mortesubita.org/blog/pirahas-a-tribo-que-converteu-um-missionario-ao-ateismo - Sobre Daniel Everett e a tribo Pirah?

http://www.numbersleuth.org/universe/size/ - tamanhos no Universo (em ingl?s)

http://quest.arc.nasa.gov/mars/teachers/imaging/Tutorial/shadmeas.html - Medindo altura e profundidades no relevo a partir das sombras em imagens obtidas pela nave Viking  (em ingl?s)

http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/shadows/ - Medindo com sombras, excelente p?gina interativa (em ingl?s) 

Propomos duas avalia??es:

- Produ??o de material multim?dia (v?deo, anima??es, p?ginas de web ou apresenta??es em formato Power-point) com a opini?o justificada dos estudantes em rela??o ao tema abordado: As dimens?es do Universo. Os estudantes devem incluir em suas apresenta??es as suas vis?es sobre como definir os limites das pequenas e grande dist?ncias no Universo e justificar qual o sistema de refer?ncia que consideram para essa considera??o. 

- Avalia??o oral sobre os seguintes temas:

   - A hist?ria dos n?meros - o in?cio da contagem.

   - Modelo de Universo - Infinito e eterno? Finito e eterno? Finito com in?cio e fim.