O Material dourado e a constru??o de significados para o algoritmo da multiplica??o de n?meros naturais
Autor e Co-autor(es)
Antomar Ara?jo Ferreira, Angela Cristina dos Santos
Estrutura Curricular
| Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
|---|---|---|
| Educa??o Profissional | Apoio Escolar | T?cnico em Multimeios Did?ticos |
| Ensino Fundamental Final | Matem?tica | N?meros e opera??es |
| Ensino Fundamental Inicial | Matem?tica | N?meros e opera??es |
| Ensino M?dio | Matem?tica | N?meros e opera??es |
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
- Avaliar propostas de interven??o na realidade utilizando conhecimentos num?ricos, conforme habilidade H5 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM;
- Utilizar informa??es expressas em gr?ficos ou tabelas para fazer infer?ncias, conforme habilidade H24 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM;
- Analisar informa??es expressas em gr?ficos ou tabelas como recurso para a constru??o de argumentos, conforme habilidade H26 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM.
Duração das atividades
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
- Utiliza??o do material dourado;
- Utiliza??o das fun??es de opera??es b?sicas da calculadora.
Estratégias e recursos da aula
RECURSOS MATERIAIS
- Material dourado;
- Folha de papel sulfite A4 em branco.
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1? MOMENTO
Comumente ensina-se o algoritmo da multiplica??o ap?s a abordagem dos sentidos multiplicativos, mas n?o raro, o professor depara-se com erros dos alunos como o representado na ilustra??o a seguir.
Figura 1: Exemplo de erro cometido por alunos no algoritmo da multiplica??o.
A opera??o realizada demonstra falta de compreens?o do significado do processo multiplicativo, o aluno n?o faz uma real previs?o do resultado. Por isso, prop?e-se com o aux?lio de material concreto, nesse caso, do material dourado, a constru??o de significados para o algoritmo da multiplica??o por meio do m?todo pr?tico.
Professor, inicie a aula expondo uma pe?a de cada tipo do material dourado e questione os alunos se eles sabem que ordem cada pe?a representa. Espera-se que os alunos concluam que cada cubo pequeno representa uma Unidade; cada barra, uma Dezena; cada placa uma Centena e cada cubo grande, uma Unidade de Milhar, conforme ilustra??o a seguir.
Figura 2: Ilustra??o das pe?as do material dourado.
Em seguida, questione os alunos:
- Quais pe?as devem ser utilizadas para representar o n?mero 45?
Os alunos devem intuir que s?o necess?rias quatro barras (Dezenas) e cinco cubinhos (Unidades), conforme representado na figura a seguir (Figura 3):
Figura 3: Representa??o num?rica usando material dourado
Coment?rio: Professor, caso perceba nos alunos dificuldades na troca das ordens, considera-se este momento como uma oportunidade para que os alunos compreendam que tamb?m podem representar com 45 cubos pequenos, mas que facilita a percep??o do total se o agrupamento das unidades e a troca pelas dezenas forem efetuados.
Questione os alunos se h? diferen?a entre as multiplica??es de 13 x 15 e a de 15 x 13. Professor, permita que os alunos expressem suas considera??es. A expectativa ? que eles percebam que, embora o produto seja o mesmo, a primeira representa treze vezes a quantidade 15 e na segunda, quinze vezes a quantidade 13. Para que os alunos percebam a diferen?a, solicite que eles realizem na calculadora a multiplica??o 2 x 2 e apertem a tecla =, observando o resultado. Pe?a que apertem a tecla = v?rias vezes e continuem observando o resultado.
Pergunte aos alunos o que perceberam. Acredita-se que os alunos respondam que cada vez que se aperta a tecla =, o resultado dobra. Assim, ao apertar as teclas 2 x 2 e em seguida a tecla igual , aparecer? no visor o n?mero 4. Na sequencia ao pressionar novamente a tecla
, aparecer? o n?mero 8. Ao se apertar mais uma vez a tecla
, aparecer? o n?mero 16 e assim, sucessivamente, formando a sequ?ncia visualizada na ilustra??o a seguir.
Figura 4: Ilustra??o do visor da calculadora.
Posteriormente, solicite aos alunos que utilizem a calculadora e repitam esse procedimento, por?m para a multiplica??o 3 x 2 e anotem os resultados. Os alunos dever?o obter os resultados: 6; 12; 24; 48 e, assim, sucessivamente. Em seguida, pe?am que anotem os resultados para a opera??o 2 x 3. Dessa vez, os alunos obter?o os seguintes resultados: 6; 18; 54; 162 e, assim por diante. A expectativa ? que os alunos percebam que a tecla igual (=) da calculadora quando apertada seguidamente, funciona como uma tecla de opera??o constante, no caso da multiplica??o, a calculadora adota como multiplicador o ?ltimo fator, como no primeiro caso os dois fatores eram iguais, n?o houve diferen?a.
Solicite, ent?o, que um aluno represente a multiplica??o 13 x 15 e outro represente 15 x 13, n?o se preocupando com o resultado. As representa??es dos alunos devem ser (figura 5):
Professor, espera-se que esta atividade facilite a compreens?o da propriedade comutativa da multiplica??o. Por isso, julga-se importante que o professor retome o questionamento da diferen?a entre as representa??es das multiplica??es de 13 x 15 e a de 15 x 13. Novamente, permita que os alunos expressem suas considera??es. A seguir, solicite que outros dois alunos representem, com o material dourado e de outra maneira, o resultado da multiplica??o. Para isso, eles podem fazer as trocas necess?rias. Como resultado final, os alunos devem apresentar:
Na primeira situa??o:
Figura 7: Representa??o das trocas necess?rias da multiplica??o 13 x 15.
Assim, representem o resultado como:
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Figura 8: Representa??o do resultado usando o material dourado.
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Logo: 13 x 15 = 195
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Na segunda situa??o:
Assim, representem o resultado como:
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Logo: 15 x 13 = 195
Coment?rio: Professor, caso os alunos escolhidos n?o consigam demonstrar o resultado, ? interessante que solicite o aux?lio da turma, questionando os alunos sobre em que aspecto o colega se equivocou. D? uma nova oportunidade aos alunos escolhidos anteriormente, deixando-os fazer uma nova tentativa. Caso o professor ache necess?rio, pode tamb?m convidar outros para realizarem a atividade. Ao final, solicite aos alunos que comparem os resultados, de forma a conclu?rem que s?o iguais. Assim, formalize a propriedade comutativa da multiplica??o: ?na multiplica??o, se invertermos a ordem dos fatores o resultado n?o se altera?.
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2? MOMENTO
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Professor, questione os alunos sobre o valor de cada algarismo nos n?meros a serem multiplicados: 13 x 15.
A resposta esperada para a pergunta ? que no primeiro fator h? tr?s unidades e uma dezena e no segundo, cinco unidades e uma dezena.
A seguir, buscando facilitar o entendimento do algoritmo da multiplica??o, solicite que um aluno represente com o material dourado, as opera??es a serem realizadas. Concomitantemente a esta atividade, realize o registro escrito das opera??es e trocas realizadas pelo aluno na lousa. Julga-se importante que o professor conceda tempo aos alunos para a reflex?o e o esclarecimento de d?vidas a cada questionamento. Assim, proceda:
- Qual o resultado da multiplica??o de tr?s vezes cinco unidades?
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Coment?rio: Acredita-se que o aluno representar? o resultado usando 15 cubinhos do material dourado e realize a troca de ?10 Unidades por uma Dezena?. Enquanto isso, o professor aproveita para formalizar o c?lculo usando o algoritmo. Pode ser oportuno que o professor questione os alunos sobre o que foi feito pelo aluno com o material dourado.
- Qual o resultado da multiplica??o de tr?s vezes uma dezena?
Coment?rio: Confia-se que o aluno representar? o resultado usando tr?s barras de uma dezena e acrescente ? barra da a??o anterior. Assim:
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Coment?rio: Julga-se que esta visualiza??o permite que o professor aborde o sentido do termo comumente usado como o ?vai um?.
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- Pergunte aos alunos quais os pr?ximos passos da multiplica??o e o que significa multiplicar o um por 5.
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Coment?rio: Espera-se que os alunos expliquem que seja necess?rio multiplicar a Dezena, como continuidade da multiplica??o. E como o algarismo 1 (um) ocupa a ordem das Dezenas, na verdade, a multiplica??o ? por 10.
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- Ent?o, quanto ? 10 vezes 5 unidades?
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Coment?rio: A resposta esperada para esta pergunta ? que os alunos digam que sejam 50 unidades. Assim, o professor pode questionar sobre qual troca pode ser realizada. E, portanto, os alunos respondam que as 50 unidades podem ser trocadas por 5 barras, ou seja, 5 Dezenas. Assim sendo:
Coment?rio: Pondera-se que este seja um dos momentos mais importantes da formaliza??o do algoritmo, a fim de buscar o entendimento e a supera??o do erro no algoritmo demonstrado na introdu??o desta proposta de aula. Por isso, o professor deve explicar o porqu? e qual a posi??o do algarismo 5 no processo ? cinco Dezenas - e explicar o porque da ordem das Unidades ficar vazia, ou pode-se aproveitar e questionar os alunos sobre quantas unidades restaram ap?s a troca pelas Dezenas. A expectativa a este questionamento ? que os alunos consigam responder que n?o sobrou nenhuma unidade e por isso, no algoritmo, ao multiplicar a Dezena pela Unidade t?m-se Dezenas exatas.
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- Qual o resultado da multiplica??o de dez vezes uma dezena?
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Coment?rio: Espera-se que o aluno represente o resultado usando dez barras do material dourado e realize a troca de ?10 Dezenas por uma Centena?. Enquanto isso deve-se formalizar o registro no algoritmo escrito na lousa. Pode ser oportuno que o professor questione sobre o que foi feito pelo aluno ao representar com o material dourado e trocar as barras (Dezenas) pela placa (Centena). Dessa forma:
Figura 14: Multiplica??o da Dezena pela Dezena.
- Como obter o resultado final da multiplica??o de 13 x 15?
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Coment?rio: A resposta esperada ? que os alunos sugiram a soma dos resultados obtidos ap?s as trocas efetuadas. Avalia-se que seja importante que a disposi??o do material dourado acompanhe o registro do algoritmo para que o aluno estabele?a a rela??o. Desse modo, espera-se que se tenha a seguinte situa??o:
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Logo: 15 x 13 = 195.
Coment?rio: O professor pode propor outros exemplos de multiplica??o e realizar os mesmos procedimentos, inclusive criando um espa?o de di?logo a fim de permitir que os alunos exponham suas considera??es e expliquem os procedimentos realizados.
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Recursos Complementares
O professor pode ao final da aula propor o jogo online sobre multiplica??o denominado de ?Labirinto da tabuada?. Este jogo foi elaborado pelo matem?tico Ant?nio Jos? Lopes Bigode e o desafio consiste em realizar o jogo usando as propriedades da multiplica??o. O jogo est? dispon?vel no endere?o: <http://revistaescola.abril.com.br/swf/jogos/exibi-jogo.shtml?209_tabuada-2.swf>. Acesso em 08 jul. 2013. Al?m disso, outro recurso dispon?vel na Internet que pode ser utilizado pelo professor ? o jogo da calculadora quebrada. A proposta deste jogo ? usar apenas os n?meros e opera??es dispon?veis em uma calculadora para fazer os c?lculos para obten??o dos n?meros solicitados no menor tempo poss?vel. Este jogo encontra-se dispon?vel no endere?o: <http://rachacuca.com.br/jogos/calculadora-quebrada/>. Acesso em 08 jul. 2013.
Avaliação
Recomenda-se como processo avaliativo que o professor observe o interesse, a motiva??o e o envolvimento dos alunos na realiza??o das atividades. ? importante que a avalia??o possibilite ao professor perceber se os objetivos pretendidos inicialmente foram alcan?ados. Dessa forma, torna-se importante considerar as respostas dos alunos, as a??es e respostas apresentadas quando dos questionamentos. Aconselha-se, ainda, que o professor realize uma autoavalia??o para que os discentes manifestem as facilidades e as dificuldades encontradas ao longo das atividades realizadas.