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Esta aula tem como objetivo desenvolver a compet?ncia de ?rea 2 da Matriz de Refer?ncia do ENEM, em que o aluno utiliza o conhecimento geom?trico para realizar a leitura e a representa??o da realidade e agir sobre ela. Mais especificamente, contempla as habilidades 7 e 8 visto que os alunos ter?o a oportunidade de, numa situa??o real, identificarem caracter?sticas da circunfer?ncia ao represent?-la no trabalho com uma situa??o-problema. Dessa forma, os alunos ter?o condi??es de conhecer, na segunda parte desta aula, o pi e suas rela??es com a circunfer?ncia.

2 a 3 horas/aulas (50 minutos cada).

• Equa??es.
• Uso de r?gua e compasso.
• Reconhecer figuras geom?tricas planas.

Esta aula ? a primeira parte de duas e busca evidenciar caracter?sticas e rela??es matem?ticas presentes em uma circunfer?ncia. Desta forma, na parte II, os alunos ter?o a oportunidade de conhecer as caracter?sticas do n?mero irracional pi e do conjunto dos n?meros irracionais.

Esta ? uma aula de campo composta por uma situa??o-problema proposta aos alunos que, em grupo, ter?o que mobilizar conhecimentos j? adquiridos e estrat?gias para cumprir alguns desafios relacionados ? circunfer?ncia.

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Atividade de campo

Essa atividade est? dividida em duas etapas: A) e B).

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A) Prepara??o:

Professor escolha um local com pelo menos 4 ?rvores cujas medidas das circunfer?ncias dos troncos principais sejam aproximadas. Enumere as ?rvores seguindo um crit?rio que lhe permita identific?-las futuramente e determine o comprimento da circunfer?ncia de cada uma delas (as medidas dos troncos podem ser feitas utilizando uma fita m?trica ou uma trena).

Em sala de aula, prepare os alunos para o trabalho. Informe-os que far?o uma aula de campo, e que ter?o como desafio, encontrar entre algumas ?rvores, uma cujo comprimento da circunfer?ncia voc? definir. Avise-os que voc? levar? alguns materiais que poder?o ser utilizados para a realiza??o da atividade e que ? de responsabilidades deles levarem l?pis, borracha e r?gua. Adote um crit?rio e separe-os em grupos de 3 ou 4 integrantes.

Agora, ? s? marcar a aula de campo (de prefer?ncia com 2 aulas geminadas) para que os alunos desenvolvam a atividade seguinte. Antes, por?m, levantemos os materiais necess?rios para a atividade.

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Materiais:

- Cord?o, mangueira ou qualquer outro material flex?vel que permita contornar um tronco;

- r?gua ou o ?metro de pedreiro?;

Observa??o: Propositadamente, a trena e a fita m?trica, utilizada para costura, n?o foram citadas. A inten??o ? que os alunos percebam possibilidades a partir de instrumentos n?o formais ou aparentemente inadequados para certas medi??es, como nesse caso do comprimento da circunfer?ncia.

- folhas de tamanho A4 ou of?cio (se puder, aproveite folhas que ser?o descartadas);

- cartolina ou papel pardo.

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B) No campo (espa?o f?sico onde se encontram as ?rvores)

No local onde as ?rvores est?o, reforce o objetivo da atividade: encontrar a ?rvore que voc? escolheu e que tem um determinado comprimento da circunfer?ncia. Para isso, entregue a cada grupo uma folha rascunho para anota??es e um peda?o de cord?o (com tamanho superior ao da ?rvore de maior circunfer?ncia). De posse desses materiais, al?m de l?pis, borracha e r?gua, solicite aos grupos que me?am e anotem a circunfer?ncia de todas as ?rvores indicadas e que identifiquem aquela que possui a medida apresentada.

Coment?rio: Os alunos podem apresentar dificuldades para usar os instrumentos que t?m em m?os. Incentive-os a focarem no objetivo da atividade e a pensarem em encontrar fun??es para cada instrumento (r?gua, cord?o, l?pis, folha). Espera-se que os grupos usem o cord?o para determinar o comprimento da circunfer?ncia, a r?gua para medir o comprimento do cord?o e, consequentemente da circunfer?ncia.

Ap?s determinarem e anotarem as medidas das circunfer?ncias de todas as ?rvores e encontrar a ?rvore desejada, pe?a aos grupos que ?utilizando o papel pardo ou cartolina represente na forma de desenho, em tamanho real, a circunfer?ncia desta ?rvore?.

Coment?rio: Este passo se constitui num desafio aos alunos na medida em que ter?o que tra?ar planos, pensar estrat?gias e test?-las no intuito de fazer uma circunfer?ncia com uma medida determinada utilizando apenas os materiais dispon?veis.

Dependendo do n?mero de tentativas feitas pelos alunos, e se estas tentativas n?o os ajudaram a resolver a quest?o, o grupo pode querer desanimar da atividade. Nesse caso, o professor pode intervir ensinando-os a fazerem um compasso improvisado amarrando o cord?o em uma caneta e um l?pis, como o apresentado nas figuras 1 e 2. O l?pis ? mais adequado ao aluno por permitir apagar e refazer o desenho caso necess?rio. Optamos pelo pincel apenas para favorecer a ilustra??o.

Figuras 1 e 2: constru??o da circunfer?ncia com o compasso improvisado.

Fonte: autor.

Observa??o: A ?ponta seca? (parte fixa do compasso que fica no centro da circunfer?ncia) pode ser os dedos, um graveto ou l?pis, por exemplo, que permite, dependendo do raio escolhido, desenhar circunfer?ncias. Contudo, ? preciso observar que na medida em que vai se formando a circunfer?ncia, o cord?o tende a enrolar no objeto utilizado como ponta seca e encurtar o raio. Isso implica a necessidade de girar o objeto fixo acompanhando a caneta que se movimenta ao fazer a circunfer?ncia.

Depois de feita uma circunfer?ncia, o professor pode iniciar uma s?rie de perguntas aos alunos: Como saber se o tamanho da circunfer?ncia desenhada corresponde ao tamanho da circunfer?ncia da ?rvore escolhida?

Espera-se que os alunos utilizem o cord?o para contornar o desenho da circunfer?ncia e a r?gua para medi-lo, conforme as figuras 3 e 4.

Figuras 3 e 4: determinando o comprimento da circunfer?ncia desenhada com o compasso improvisado utilizando cord?o e r?gua.

Fonte: autor.

Observa??o: Apesar de n?o utilizarmos a r?gua de 30 cm para ilustrar a atividade observamos que o uso da r?gua de 20 cm ou de 30 cm pelos alunos possibilitar? aplicar e aperfei?oar, se for o caso, do conhecimento adquirido com a adi??o de n?meros racionais na forma decimal.

Outra pergunta a ser feita ?: O que significa para a circunfer?ncia este ponto fixo, localizado pela ?ponta seca? do compasso improvisado?

Espera-se que os alunos o identifiquem como sendo o centro da circunfer?ncia. Caso algum grupo n?o tenha feito isso antes, solicite aos alunos que marquem o centro da circunfer?ncia, nomeando-o com uma letra mai?scula do alfabeto da l?ngua portuguesa.

Pe?a aos grupos que marquem alguns pontos na circunfer?ncia. Questione ent?o, O que se pode observar da dist?ncia do centro at? os pontos destacados na circunfer?ncia?

Espera-se que os alunos percebam que a dist?ncia do centro at? os pontos destacados sejam iguais. A partir dessa observa??o questione: Isso acontece com qualquer ponto da circunfer?ncia? Por qu??

Espera-se que os alunos percebam que o tamanho do cord?o utilizado, do l?pis at? o centro, ? que determina o comprimento da circunfer?ncia, logo a dist?ncia do centro at? qualquer ponto da circunfer?ncia ? a mesma.

Coment?rio: Esse momento ? oportuno para trazer o conceito de raio e di?metro e a rela??o diretamente proporcional que o tamanho de ambos estabelece com o tamanho da circunfer?ncia, ou seja, aumentando-se um, aumenta-se os outros dois. O contr?rio tamb?m ? verdadeiro.

Pode ser que algum aluno j? reconhe?a o segmento, representado pelo cord?o, como raio. Caso isso n?o aconte?a o professor pode perguntar: Qual o nome que se d? a este segmento (parte) de cord?o que determina a dist?ncia do centro ? circunfer?ncia? O que acontecer? se aumentarmos ou diminuirmos esse segmento de cord?o, ou seja, o raio da circunfer?ncia? E se considerarmos outro segmento composto por dois raios na circunfer?ncia, que formam entre si um ?ngulo raso (180?), como podemos chamar esse segmento? O que acontecer? com o raio e com a circunfer?ncia se aumentarmos ou diminuirmos o di?metro? Qual ? a medida do raio da circunfer?ncia que voc?s fizeram? E do di?metro?

Coment?rio: Os alunos podem determinar as medidas utilizando o cord?o, conforme ilustra as figuras 5 e 6, e a r?gua.

Figuras 5 e 6: determinando o comprimento do raio e do di?metro da circunfer?ncia.

Fonte: autor.

Professor, at? agora, na busca de construir a circunfer?ncia desejada, com o compasso improvisado, os alunos tiveram que usar da tentativa e erro relacionando o tamanho do raio com o comprimento da circunfer?ncia obtida. Contudo, um caminho interessante para se obter o desenho da circunfer?ncia da ?rvore ? utilizar o cord?o com a medida igual ao do comprimento da circunfer?ncia da ?rvore e com ele fazer uma circunfer?ncia. Para isso, os alunos podem, novamente, medir a circunfer?ncia da ?rvore com o cord?o, desprezando a parte excedente e utilizar uma circunfer?ncia feita anteriormente para ajudar a dar forma ao cord?o, como ilustra a figura 7.

Figura 7: modelando a circunfer?ncia da ?rvore com o cord?o.

Fonte: autor.

Coment?rio: Al?m da apar?ncia ou aspecto visual de circunfer?ncia, ? importante verificar por v?rias posi??es se o raio ? o mesmo, conforme ilustra as figuras 8, 9, 10 e 11. Dessa forma, al?m do comprimento da circunfer?ncia ? poss?vel que os alunos determinem tanto a medida do raio quanto a do seu di?metro.

Figuras 8, 9, 10 e 11: conferindo e dando forma a circunfer?ncia desejada pelo raio.

Fonte: autor.

Dessa forma os alunos podem novamente utilizar o compasso improvisado para desenhar no papel a circunfer?ncia correspondente a da ?rvore.

Caso j? tenham estudado, os alunos podem utilizar o conte?do de propor??o como um recurso matem?tico estrat?gico.  Como os grupos, utilizando o compasso improvisado, j? fizeram o desenho de uma circunfer?ncia e, com o cord?o, determinaram a medida do seu comprimento e do seu raio, ent?o, ? poss?vel, j? sabendo a medida do comprimento da ?rvore desejada, escrever uma propor??o que permite encontrar o raio da circunfer?ncia da ?rvore.

Figura 12: Esquema da propor??o que permite encontrar o raio da ?rvore, necess?rio para fazer o desenho da circunfer?ncia.

Fonte: autor.

Assim, utilizando o compasso improvisado ? poss?vel fazer, em uma s? tentativa, o desenho da circunfer?ncia do tamanho desejado.

Com esta aula foi poss?vel modelar a circunfer?ncia de uma ?rvore e estabelecer rela??es entre o raio e o comprimento da circunfer?ncia e do raio com o di?metro.

Finalizando a aula, lance a quest?o :

Existe uma rela??o entre o di?metro e o comprimento da circunfer?ncia? 

As respostas ? essa quest?o ser?o o ponto de partida da aula parte II que acontecer? na sala de aula, quando o professor poder? ?brincar de m?gica? com os alunos.

Observa??o: Para viabilizar o tempo da atividade, o professor pode, ? medida que um grupo realizar uma etapa da atividade, solicitar que este auxilie outro grupo. Lembre-se que muitos alunos, turmas, n?o est?o preparados para trabalhar em grupo, em especial quando o ambiente n?o ? a sala de aula, local de costume. No entanto, se a escola ? um espa?o para preparar os alunos para a vida e o trabalho coletivo, esta atividade tamb?m ? um bom exerc?cio para que isso aconte?a.

Como recurso complementar professor e alunos podem assistir ao v?deo

<https://youtube.googleapis.com/v/r16Aw0wWGxU%26source=uds%26autoplay=1>, no sentido de formalizar os conhecimentos adquiridos sobre circunfer?ncia e tamb?m apresentar a constante pi, o que nos interessa para a aula parte II.  Al?m disso, traz o conceito de c?rculo e ?rea do c?rculo que ajudar? no estudo deste conte?do posteriormente.

A avalia??o nesta atividade acontece em sentido amplo. O professor pode avaliar as estrat?gias, utilizadas pelos alunos para resolver o problema de medir o comprimento da circunfer?ncia das ?rvores, conjugando instrumentos formais (r?gua, metro de pedreiro) e n?o formais (cord?o e compasso improvisado) de medida e represent?-lo em forma de desenho no papel.

Outro aspecto a avaliar ? o trabalho em grupo, para isso ressalta-se a necessidade de se observar entre outros: a coletividade, o respeito, a capacidade de ouvir, de aceitar e avaliar a ideia do outro e de aceitar poss?veis cr?ticas a respeito do pr?prio trabalho ou no caso, de suas estrat?gias.