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Esta aula tem como objetivo o desenvolvimento da compet?ncia de ?rea 1 da Matriz de Refer?ncia, em que o aluno ter? a oportunidade de construir significados para os n?meros irracionais, que est?o contidos no conjunto dos n?meros reais. De acordo com as Habilidades H1 (reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representa??es dos n?meros e opera??es ? naturais, inteiros, racionais ou reais, com destaque para os irracionais), H3 e H4 poder?o identificar padr?es num?ricos e resolver situa??es-problema envolvendo conhecimentos num?ricos. Espera-se que o aluno se aproprie do conceito de circunfer?ncia, de seus elementos, fa?a as rela??es existente entre eles reconhecendo o pi como n?mero irracional.

2 a 3 horas/aulas (50 minutos cada).

• Circunfer?ncia.
• Uso de r?gua e compasso.
• Equa??o.

Esta aula ? continua??o da aula intitulada ?Isso ? m?gica? N?o! ? Matem?tica. ? Descobrindo o pie os n?meros irracionais a partir da circunfer?ncia- Parte I?, podendo ser acessada em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/verAula.html?aula=50590>. Depois do trabalho de campo, esta aula acontece na sala de aula, quando os alunos ter?o a oportunidade de revisar os conhecimentos sobre circunfer?ncia e fazer rela??es por meio das opera??es com n?meros de diferentes conjuntos num?ricos.

Para o desenvolvimento das atividades propostas os alunos precisar?o dos seguintes materiais:

- Cord?o;

- r?gua;

- l?pis;

- borracha;

- compasso;

- folhas no tamanho A4;

- cartolina ou papel pardo;

- peda?os pequenos de canos com diferentes di?metros;

- objetos com formatos arredondados como moedas, corretivo, arruelas, latas de refrigerantes e energ?ticos, pratos, pires, copos, por exemplo, entre outros;

- calculadora.

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Professor, a fim de criar um clima de suspense diga aos alunos que hoje voc? vai fazer m?gica. Para cada circunfer?ncia que eles fizerem e falarem o seu comprimento, voc? vai adivinhar o di?metro e o raio de cada uma.

Dessa forma, oriente-os para que, novamente, se organizem em grupos. Pe?a-os que deixem sobre a mesa compasso, r?gua, l?pis, borracha e algumas folhas. Distribua para os grupos cord?o, folhas e alguns objetos com formatos arredondados. Garantidas as condi??es de trabalho, solicite aos grupos que desenhem a circunfer?ncia de cada objeto recebido. Diga-lhes que para cada circunfer?ncia desenhada, calculem o seu comprimento, encontrem e marquem o centro da circunfer?ncia, al?m de tra?arem e medirem o di?metro.

Para o desenho da circunfer?ncia, provavelmente os alunos utilizar?o os pr?prios objetos como modelo, contornando-os com l?pis ou caneta. Posteriormente, por estimativa os alunos far?o o exerc?cio de visualizarem um prov?vel ponto, pr?ximo ao centro, onde colocar? a ponta seca do compasso. No exerc?cio de percorrer o caminho da circunfer?ncia j? desenhada, os alunos regulam a abertura do compasso at? encontrar o raio e o centro da circunfer?ncia em quest?o. Caso coloque o compasso sobre a r?gua, j? ? poss?vel determinar o valor do raio da circunfer?ncia e, facilmente obt?m-se o valor do di?metro com o dobro da medida do raio. Al?m do compasso, tamb?m pode determinar a medida do di?metro utilizando o cord?o, unindo um ponto ao outro da circunfer?ncia, passando o cord?o pelo centro.

Observa??o: provavelmente os alunos n?o ter?o dificuldades em executar esta atividade por conta da atividade anterior. Caso seja necess?rio, auxilie o aluno na utiliza??o do compasso, para localizar o centro da circunfer?ncia, e assim determinar o di?metro.

Outra forma de determinar o di?metro, tendo o desenho da circunfer?ncia ? dobrando o papel de forma que as semicircunfer?ncias se coincidam, como ilustra a figura 1.

Figura 1: Determinando o di?metro por meio de dobradura.

Fonte: autor.

Observa??o: Perceba que a dobradura pode ser feita em qualquer dire??o e que o ponto de encontro de duas dobras ? o centro da circunfer?ncia.

Para determinar o comprimento da circunfer?ncia espera-se que os alunos utilizem o cord?o para sobrepor o desenho, como feito na aula ? parte I, e utilizar a r?gua para medir o segmento de cord?o que corresponde a circunfer?ncia. Outra op??o ? os alunos contornarem os pr?prios objetos com cord?o como fez com a ?rvore.

Espere at? que os grupos determinem o comprimento da circunfer?ncia e o di?metro dos objetos recebidos, ou, pelo menos, da maioria deles.

Com a calculadora em m?os, ? hora de ?brincar de m?gica?, ou melhor, de trabalhar a matem?tica com os alunos. Solicite a um grupo que diga o comprimento da circunfer?ncia que voc? vai adivinhar o di?metro deste objeto.

Coment?rio: Lembre-se que o di?metro ? calculado, dividindo-se o comprimento da circunfer?ncia pelo valor aproximado de pi.

Usando a calculadora, determine e responda imediatamente aos alunos o valor do di?metro e pe?a-os para confirmarem o resultado. Por exemplo, para uma circunfer?ncia de tamanho 28,4 cm fa?a: 28,4 : 3,14 e encontrar? o valor aproximado do di?metro de 9 cm. Em caso, de incompatibilidade de resultados, e essa for significativa, pe?a-os para conferir as medidas realizadas visto que voc? tem certeza da sua resposta.

Retome com os alunos a rela??o entre di?metro e raio*, lembrando-os de que se souberem o di?metro, consequentemente tamb?m saber?o o valor do raio, e vice-versa.

* A medida do di?metro ? o dobro da medida do raio.

Coment?rio: Professor, ? bem prov?vel que os alunos fiquem curiosos para saber como ? que voc? sabe o valor do di?metro sem medir com a r?gua, como eles precisaram fazer. O que eles ainda, provavelmente n?o sabem, apesar de j? suspeitarem, ? que existe uma rela??o do comprimento da circunfer?ncia com o di?metro.  Essa ? uma boa hora para apresentar o n?mero pi.

Quando achar oportuno, diga-lhes que existe um n?mero especial, infinito e que n?o pode ser escrito na forma de fra??o, ou seja, uma d?zima n?o peri?dica que ao dividir o comprimento da circunfer?ncia ? poss?vel determinar o valor aproximado do di?metro. Ou seja, se dividirmos o comprimento da circunfer?ncia (C) pelo valor de pi, que mede aproximadamente 3,1415, obtemos o di?metro.

Assim, voc? ter? a oportunidade de revelar o ?segredo?: o uso do pi, conforme destacamos na figura 2.

Figura 2: Esquema para explicar o uso do pi e encontrar o di?metro.

Fonte: autor.

Coment?rio: O fato desse n?mero, o pi, permitir determinar o di?metro de qualquer circunfer?ncia, independente de seu tamanho, contribui para que o aluno se interesse pela origem desse n?mero, exigindo um conhecimento mais elaborado a respeito do mesmo. ? a? que o professor pode entrar com a sugest?o para os alunos dividirem, utilizando a calculadora, todas as circunfer?ncias por eles desenhadas, pelos seus respectivos di?metros e compararem os resultados. Surpreendentemente os resultados ser? uma d?zima n?o peri?dica, com valor aproximado de 3,14. Nesse sentido, o professor pode trazer o conceito de constante e explicar que a exist?ncia desse tipo de n?mero (d?zima n?o peri?dica, j? que existem infinitos outros n?meros com essa caracter?stica) originou um conjunto para al?m do conjunto dos n?meros racionais, denominado, portanto, de irracionais. Assim, ? poss?vel o aluno compreender que a uni?o dos dois conjuntos (racionais e irracionais) d? origem a outro conjunto, o dos n?meros reais.

Para finalizar a atividade, neste momento, se a sala, no caso, possuir um computador e um projetor multim?dia, passe o v?deo <https://youtube.googleapis.com/v/r16Aw0wWGxU%26source=uds%26autoplay=1>. Se isso n?o for poss?vel, pode-se pedir aos alunos que o assistam em casa e que fa?am um relato, por escrito da aula, destacando: o conceito de circunfer?ncia, seus elementos e as rela??es existente entre eles, destacando a express?o que permite calcular o comprimento da circunfer?ncia. O professor pode tamb?m pedir que pesquisem a hist?ria desse n?mero que ? t?o fascinante e que aparece constantemente na matem?tica.

Coment?rio: Se o professor achar conveniente, e interessante que os relatos sejam socializados e que as considera??es principais dos alunos sejam debatidas e as conclus?es, destacadas na lousa.

Observa??o: Para uma fundamenta??o te?rica a respeito do pi, e favorecer o di?logo com os alunos,  consulte o site <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html>.

Diga aos alunos que esse n?mero pi realmente ? fascinante, e que chega a ser m?sica para seus ouvidos. Provavelmente ir?o rir e pensar que est? brincando. Assim, utilizando um recurso multim?dia, ou, levando-os ao laborat?rio de inform?tica apresente-os o seguinte v?deo: <http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pipag-videos.html>. Caso a escola n?o disponibilize de recurso computacional pe?a-lhe para assistir em uma lan house ou em casa, mas que n?o deixem de assistir. Outros v?deos interessantes tamb?m podem ser encontrados neste mesmo endere?o eletr?nico.

Para verificar se os objetivos da aula foram alcan?ados, nesta atividade o professor pode avaliar a participa??o e a responsabilidade com as atividades propostas, as estrat?gias utilizadas pelos alunos para determinar o raio e a habilidade dos alunos com os instrumentos de medida (uso da r?gua), de desenho (compasso) e de c?lculo (calculadora).

Com rela??o ao conte?do matem?tico, propriamente dito, o professor pode perguntar ou aplicar um question?rio sobre conceitos como raio, di?metro, comprimento de circunfer?ncia e pi. O relato escrito e os debates s?o, tamb?m, importantes recursos para a avalia??o da aprendizagem do conte?do ministrado. Tamb?m ? poss?vel passar alguns exerc?cios com rela??o a circunfer?ncia para que os alunos trabalhem, de forma abstrata, os conceitos constru?dos com a atividade pr?tica e a aula expositiva, tanto pelo v?deo quanto pelo professor da turma.