Portal do Professor

• Resolver situa??o-problema cuja modelagem envolva conhecimentos alg?bricos, conforme habilidade H21 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM;
• Utilizar conhecimentos alg?bricos/geom?tricos como recurso para a constru??o de argumenta??o, conforme habilidade H22 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM.

Duas horas-aulas de 50 minutos.

• Reconhecimento das dimens?es de figuras planas: quadrado e ret?ngulo;
• C?lculo de ?rea de figuras planas: quadrado e ret?ngulo;
• Reconhecimento de mon?mios e polin?mios;
• Opera??o com mon?mios e polin?mios;
• Desenvolvimento dos casos de produtos not?veis, tais como: quadrado da soma e da diferen?a de dois termos.

Recursos materiais

• Papel cart?o (3 cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Folha de papel A4 branca.
• Estudo dirigido elaborado previamente.
• Projetor multim?dia (data show) ou TV conectada ao computador. 

Inicialmente, prop?e-se que o professor divida a turma em grupos de dois a quatro componentes. A presente proposta de aula prev? tr?s atividades (de 1 a 3) a serem executadas em momentos distintos. Abordaremos nesta proposta, apenas, os procedimentos previstos na Atividade 1 (Introdu??o ? fatora??o e explorando o caso fator comum em evid?ncia). Os demais, ser?o abordados nas aulas que comp?em esta sequ?ncia did?tica. Ressalta-se que as propostas possuem o mesmo t?tulo e s?o identificadas como Parte 2 (Atividade: Explorando o caso Trin?mio Quadrado Perfeito) e Parte 3 (Fatorando polin?mios a partir da utiliza??o do Tangram).

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas nos momentos oportunos. Al?m disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multim?dia ou TV conectada ao computador. Por?m, as figuras das atividades podem ser confeccionadas anteriormente pelo docente ou pode ser solicitado que os alunos as construam.

Vale ressaltar que, caso o professor opte pela op??o de confec??o das figuras pelos discentes, torna-se importante atentar para o tempo planejado para a sua realiza??o. Al?m disso, para facilitar que os alunos expressem as dimens?es das figuras por meio de inc?gnitas, julga-se importante que os grupos troquem as figuras confeccionadas, assim, um grupo n?o saber? as medidas usadas pelo outro na sua constru??o.

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Introdu??o ? fatora??o

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Professor, ap?s a composi??o dos grupos, suscite o seguinte questionamento:

• O que significa fatorar? O que significa fatora??o? Voc? sabe ou j? ouviu falar sobre fatora??o em Matem?tica?

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Permita que os alunos conversem entre si, al?m disso, pode ser sugerido o uso de um dicion?rio de l?ngua portuguesa e/ou a Internet como fonte de busca. Em seguida, solicite que os alunos expressem algumas respostas e anote no quadro para socializa??o com a turma. Posteriormente ao momento de discuss?o em sala e usando as respostas dos alunos, o professor deve formalizar o conceito de fatora??o:

?Fatorar um polin?mio ? transform?-lo em uma multiplica??o? (DANTE, 2005, p. 107) ou ainda: ? escrever uma senten?a matem?tica na forma de produtos de fatores.

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Coment?rio: Aconselha-se ao professor n?o entregar todas as atividades juntas, para que os alunos foquem apenas na que est? sendo trabalhada, espera-se assim, que as aten??es dos discentes n?o se dispersem para as atividades subsequentes.

Em seguida, entregue a atividade 1 e enfatize a ideia do trabalho coletivo, para que o estudo, a investiga??o e as respostas sejam constru?das juntamente com o grupo sob a orienta??o do professor.

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Atividade 1 ? Explorando o caso ?fator comum em evid?ncia?

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A primeira atividade de investiga??o ? o estudo sobre a fatora??o com fator comum em evid?ncia.

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Coment?rio: Professor, sugere-se, ainda, que os questionamentos apontados e destacados ao longo da presente proposta de aula possam ser utilizados na constru??o pr?via de um roteiro a ser impresso, para que os alunos acompanhem as atividades e expressem suas respostas de forma escrita. Vale ressaltar que este roteiro pode ser recolhido ao final da aula como instrumento do processo avaliativo para saber se os objetivos pretendidos foram alcan?ados.

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Professor, cada grupo dever? ter um quadrado (vermelho de lado x) e um ret?ngulo (laranja de dimens?es x e y), confeccionados em papel cart?o, conforme ilustrado na figura a seguir (Figura 1). 

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Coment?rio: As cores e dimens?es usadas s?o apenas sugest?es.

Em seguida, fa?a as seguintes perguntas sobre essas figuras.

• Qual a ?rea da figura vermelha?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: x . x ou x?.

• Qual a ?rea da figura laranja?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: x . y.

• Qual a soma das ?reas?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: x? + x . y.

Ap?s esses questionamentos, solicite aos alunos que  juntem as figuras de forma que se obtenha um novo ret?ngulo.

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II - Junte as figuras (vermelha e laranja) formando um ret?ngulo e responda:

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Coment?rio: Espera-se que os alunos consigam compor o ret?ngulo conforme a ilustra??o a seguir (Figura 2). Vale lembrar que outras varia??es dessa figura podem ser obtidas pelos alunos. 

Realize, ent?o, os seguintes questionamentos sobre a figura formada.

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• Como posso expressar as dimens?es dos lados do ret?ngulo formado?

Coment?rio: Espera-se como respostas: Comprimento: x + y. Altura: x.

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• Como posso representar o c?lculo da ?rea do ret?ngulo formado?

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Coment?rio: Espera-se como resposta: ?rea: x . (x + y).

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Ap?s esse momento, inicia-se o processo de investiga??o para que os alunos formalizem o conceito de fator comum em evid?ncia. Para isso, questione os alunos:

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• A ?rea da figura formada ? maior em rela??o ? soma da ?rea das duas figuras anteriores?

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• Comparando a express?o que permite calcular a ?rea da figura formada com as express?es que permitem calcular a soma das ?reas ( I ) e ( II ), pode-se estabelecer uma senten?a matem?tica que as relacionam? Como podemos escrev?-la?

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Coment?rio: Espera-se, com essas duas quest?es, que os alunos expressem que as duas figuras representam uma mesma ?rea.

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• Ent?o __________________ = ___________________.

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Coment?rio: Espera-se que os alunos expressem a igualdade das senten?as que representam a ?rea total das duas figuras.

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• Observe que quando escrevemos o polin?mio na forma de multiplica??o, o fator x ? chamado de fator comum em evid?ncia. Por qu??

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• Logo esse processo de fatora??o ? chamado: ­­­­­­­­­­­­­___________________________.

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Coment?rio: Espera-se que os alunos concluam que x ? um fator comum aos dois mon?mios e se est? isolada, por isso, ?fator comum em evid?ncia?.

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Com o intuito de consolidar esse conceito, solicite que os alunos realizem o mesmo procedimento para figuras diferentes das anteriores. A seguir, sugere-se modelos de figuras para essa atividade (Figura 3).

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Como conclus?o da Atividade 1, desafie os alunos questionando-os sobre como verificar se o processo de fatora??o est? correto. A expectativa ? que os alunos expressem que seja necess?rio desenvolver o produto not?vel, aplicando-se a propriedade distributiva da multiplica??o em rela??o ? adi??o. Assim, os alunos devem expressar que a verifica??o da forma fatorada da atividade anterior, tem-se: 2 . y . (x + y) = 2 . y . x + 2 . y? ou 2 . y . x + 2 . y . y.

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Refer?ncias

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DANTE, Luiz Roberto. Tudo ? matem?tica: 7? s?rie. S?o Paulo: ?tica, 2005. 264 p.

FANTI, Erm?nia de Lourdes Campello; KODAMA, H?lia Matiko Yano; MARTINS, Ana Claudia Cossini; Cunha, Ana de F?tima C. S. Ensinando fatora??o e fun??es quadr?ticas com o apoio de material concreto e inform?tica, 2006. Dispon?vel em:  http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/fatoracao.pdf. Acesso em 23 jun. 2013.

O professor pode, ainda, complementar a presente proposta de aula usando o relato de experi?ncia: ?ENSINANDO FATORA??O E FUN??ES QUADR?TICAS COM O APOIO DE MATERIAL CONCRETO E INFORM?TICA? (FANTI; KODAMA; MARTINS; CUNHA, 2006). Nesse relato, os autores abordam conte?dos matem?ticos, em especial casos de fatora??o e fun??es quadr?ticas, que foram trabalhados com o aux?lio do material concreto, como o Algeplan, e softwares, como o Cabri, o G?om?tre II e o Winplot. Dispon?vel em: <http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/fatoracao.pdf>. Acesso em 23 jun. 2013.

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Caso esta proposta seja aplicada para alunos do Ensino M?dio, o professor pode motivar os alunos com o uso de recursos multim?dia para o estudo de polin?mios. O conte?do de polin?mios, geralmente, ? trabalhado antes dos casos de fatora??o. Assim, recomenda-se utilizar o material dispon?vel em: <http://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/Softwares/SoftwaresM3Matematica/jogo_dos_polinomios/polinomio/visualizar.html>. Acesso em 15 ago. 2013. Nesse endere?o s?o disponibilizados tr?s arquivos: Software de jogo online, guia do professor para impress?o e guia do professor para visualiza??o em tela. O jogo online tem como proposito a escrita correta da fun??o polinomial correspondente ao gr?fico apresentado na tela. O jogo possui tr?s fases, em que os n?veis de dificuldade aumentam de acordo com o grau da fun??o polinomial representada graficamente. O software permite a explora??o gr?fica da fun??o polinomial e pode, ainda, ser usado como uma avalia??o dos conhecimentos pr?vios dos alunos sobre o conte?do. As guias permite que o professor explore melhor o recurso do jogo, para isso, traz em seu conte?do aprofundamentos te?ricos e recomenda??es metodol?gicas para o uso do jogo.

O professor pode observar o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realiza??o dos processos solicitados, sua motiva??o e empenho na execu??o das atividades e no desenvolvimento de atitudes na intera??o, coopera??o e organiza??o do trabalho em grupo. Aconselha-se, inclusive, que o professor considere as hip?teses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. Sugere-se, ainda, que  professor recolha o roteiro das atividades. Por meio dele, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estrat?gias e os c?lculos efetuados pelos alunos, al?m de poss?veis erros uma poss?vel reelabora??o de estrat?gias de interven??o did?tica para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Torna-se importante, ainda, que os alunos exercitem uma reflex?o sobre o pr?prio processo de aprendizagem. Por isso, torna-se importante que o professor realize uma autoavalia??o permitindo aos alunos se expressarem sobre os pontos positivos e negativos da aula e das atividades. A autoavalia??o pode ser por escrito ou oral.