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• Resolver situa??o-problema cuja modelagem envolva conhecimentos alg?bricos, conforme habilidade H21 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM;
• Utilizar conhecimentos alg?bricos/geom?tricos como recurso para a constru??o de argumenta??o, conforme habilidade H22 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM.

Duas horas-aulas de 50 minutos.

• Reconhecimento das dimens?es de figuras planas: quadrado e ret?ngulo;
• C?lculo de ?rea de figuras planas: quadrado e ret?ngulo;
• Reconhecimento de mon?mios e polin?mios;
• Opera??o com mon?mios e polin?mios;
• Desenvolvimento dos casos de produtos not?veis, tais como: quadrado da soma e da diferen?a de dois termos.
• Fatorar produtos not?veis pelo caso de fator comum em evid?ncia.

Recursos materiais

• Papel cart?o (3 cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Folha de papel A4 branca.
• Estudo dirigido elaborado previamente.
• Projetor multim?dia (data show) ou TV conectada ao computador.

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Metodologicamente, aconselha-se manter a condu??o das atividades como proposto na primeira aula desta sequ?ncia. Ou seja, inicialmente, prop?e-se que o professor divida a turma em grupos de dois a quatro componentes. Vale lembrar que a presente proposta de aula prev? tr?s atividades (de 1 a 3) a serem executadas em momentos distintos. Abordaremos nesta proposta apenas os procedimentos previstos na Atividade 2 (Atividade: Explorando o caso trin?mio quadrado perfeito). Os demais, s?o abordados nas aulas que comp?e esta sequ?ncia did?tica. Ressalta-se que as propostas possuem o mesmo t?tulo e s?o identificadas como Parte 1 (Atividade: Introdu??o ? fatora??o e explorando o caso fator comum em evid?ncia) e Parte 3 (Fatorando polin?mios a partir da utiliza??o do Tangram). 

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas nos momentos oportunos. Al?m disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multim?dia ou TV conectada ao computador. Por?m, as figuras das atividades podem ser confeccionadas anteriormente pelo docente ou pode ser solicitado que os alunos as construam.

Vale ressaltar que, caso o professor opte pela op??o de confec??o das figuras pelos discentes, torna-se importante atentar para o tempo planejado para a sua realiza??o. Al?m disso, para facilitar que os alunos expressem as dimens?es das figuras por meio de inc?gnitas, julga-se importante que os grupos troquem as figuras confeccionadas, assim, um grupo n?o saber? as medidas usadas pelo outro na sua constru??o.

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Atividade 2 ? Explorando o caso trin?mio quadrado perfeito

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A segunda atividade de investiga??o refere-se ? fatora??o por trin?mio quadrado perfeito.

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Coment?rio: Professor, sugere-se, ainda, que os questionamentos, apontados e destacados ao longo da presente proposta de aula, possam ser utilizados na constru??o pr?via de um roteiro, a ser impresso, para que os alunos acompanhem as atividades e expressem suas respostas de forma escrita. Vale ressaltar que este roteiro pode ser recolhido ao final da aula como instrumento do processo avaliativo para saber se os objetivos pretendidos foram alcan?ados.

Professor, cada grupo dever? ter um quadrado vermelho de lado x, quatro ret?ngulos laranja de dimens?es x e y, e quatro quadradinhos amarelos de lado y, todos confeccionados em papel cart?o. Como ilustrado na figura a seguir (Figura 1).

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Sugere-se o mesmo procedimento proposto para na realiza??o da Atividade 1 para o desenvolvimento da Atividade 2, se diferenciando apenas pelas respostas esperadas. Assim, em seguida, fa?a as seguintes perguntas sobre essas figuras.

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I - Observe as figuras recebidas (cores vermelha, laranja e amarela) e responda:

• Qual a ?rea da figura vermelha?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: x . x ou x?.

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• Qual a ?rea da figura laranja?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: x . y ou xy.

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• Qual a ?rea da figura amarela?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: y . y ou y?.

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• Qual a soma das ?reas de TODAS as figuras?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: x . x + 4. x . y + 4 . y . y ou x? + 4 xy + 4y?.

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Ap?s esses questionamentos, solicite que os alunos juntem as figuras de forma que se tenha um novo quadrado.

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II - Junte as figuras (vermelha, laranjas e amarelas) formando um quadrado e responda:

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Coment?rio: Espera-se que os alunos consigam compor o quadrado conforme a ilustra??o a seguir (Figura 2). Vale lembrar que outras varia??es dessa figura podem ser obtidas pelos alunos. 

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• Quais s?o as medidas dos lados do quadrado formado?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: x + 2y.

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• Como posso representar o c?lculo da ?rea do quadrado formado?

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Coment?rio: A resposta esperada ?: (x + 2y) . (x + 2y) ou (x + 2y)?.

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Ap?s esse momento, inicia-se o processo de investiga??o para que os alunos formalizem o conceito de fator comum em evid?ncia. Para isso, questione os alunos:

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• Comparando a express?o que permite calcular a ?rea da figura formada com as express?es que permitem calcular a soma das ?reas ( I ) e ( II ), pode-se estabelecer uma senten?a matem?tica que as relacionam? Como podemos escrev?-la?

• Compare a soma das ?reas do item I com a ?rea do item II. O que voc? pode afirmar sobre essa compara??o?

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Coment?rio: Espera-se, com essas duas quest?es, que os alunos expressem que as duas figuras representam uma mesma ?rea.

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e) Ent?o __________________ = ___________________.

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Coment?rio: Espera-se que os alunos expressem a igualdade das senten?as que representam a ?rea total das duas figuras.

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Como conclus?o da Atividade 1, desafie os alunos questionando-os sobre como verificar se o processo de fatora??o est? correto. A expectativa ? que os alunos expressem que seja necess?rio desenvolver o produto not?vel, aplicando-se a propriedade distributiva da multiplica??o em rela??o ? adi??o.

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Refer?ncias

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DANTE, Luiz Roberto. Tudo ? matem?tica: 7? s?rie. S?o Paulo: ?tica, 2005. 264 p.

FANTI, Erm?nia de Lourdes Campello; KODAMA, H?lia Matiko Yano; MARTINS, Ana Claudia Cossini; Cunha, Ana de F?tima C. S. Ensinando fatora??o e fun??es quadr?ticas com o apoio de material concreto e inform?tica, 2006. Dispon?vel em:  http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/fatoracao.pdf. Acesso em 23 jun. 2013.

O professor pode, ainda, complementar a presente proposta de aula usando o relato de experi?ncia: ?ENSINANDO FATORA??O E FUN??ES QUADR?TICAS COM O APOIO DE MATERIAL CONCRETO E INFORM?TICA? (FANTI; KODAMA; MARTINS; CUNHA, 2006). Nesse relato, os autores abordam conte?dos matem?ticos, em especial casos de fatora??o e fun??es quadr?ticas, que foram trabalhados com o aux?lio do material concreto, como o Algeplan, e softwares, como o Cabri, o G?om?tre II e o Winplot. Dispon?vel em: http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/fatoracao.pdf. Acesso em 23 jun. 2013.

Caso esta proposta seja aplicada para alunos do Ensino M?dio, o professor pode motivar os alunos com o uso de recursos multim?dia para o estudo de polin?mios. O conte?do de polin?mios, geralmente, ? trabalhado antes dos casos de fatora??o. Assim, recomenda-se utilizar o material dispon?vel em: <http://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/Softwares/SoftwaresM3Matematica/jogo_dos_polinomios/polinomio/visualizar.html>. Acesso em 15 ago. 2013. Nesse endere?o s?o disponibilizados tr?s arquivos: Software de jogo online, guia do professor para impress?o e guia do professor para visualiza??o em tela. O jogo online tem como proposito a escrita correta da fun??o polinomial correspondente ao gr?fico apresentado na tela. O jogo possui tr?s fases, em que os n?veis de dificuldade aumentam de acordo com o grau da fun??o polinomial representada graficamente. O software permite a explora??o gr?fica da fun??o polinomial e pode, ainda, ser usado como uma avalia??o dos conhecimentos pr?vios dos alunos sobre o conte?do. As guias permite que o professor explore melhor o recurso do jogo, para isso, traz em seu conte?do aprofundamentos te?ricos e recomenda??es metodol?gicas para o uso do jogo.

O professor pode observar o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realiza??o dos processos solicitados, sua motiva??o e empenho na execu??o das atividades e no desenvolvimento de atitudes na intera??o, coopera??o e organiza??o do trabalho em grupo. Aconselha-se, inclusive, que o professor considere as hip?teses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. Sugere-se, ainda, que a avalia??o possa se d? pelo recolhimento do pr?prio roteiro das atividades. Por meio dele, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estrat?gias e os c?lculos efetuados pelos alunos, al?m de poss?veis erros uma poss?vel reelabora??o de estrat?gias de interven??o did?tica para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Torna-se importante, ainda, que os alunos exercitem uma reflex?o sobre o pr?prio processo de aprendizagem. Por isso, ? importante que o professor realize uma autoavalia??o permitindo aos alunos se expressarem sobre os pontos positivos e negativos da aula e das atividades. A autoavalia??o pode ser por escrito ou oral.