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• Construir significados para os n?meros naturais, inteiros, racionais e reais, conforme compet?ncia de ?rea 1 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM;
• Avaliar a razoabilidade de um resultado num?rico na constru??o de argumentos sobre afirma??es quantitativas, conforme habilidade H4 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM.

Duas a tr?s horas-aulas de 50 minutos.

• No??es de multiplica??o e do seu algoritmo usual.

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Recursos materiais

• Folha de papel A4 branca.

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PRIMEIRO MOMENTO

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Conforme apontam os Par?metros Curriculares Nacionais (PCN): ?Na aprendizagem escolar o erro ? inevit?vel e, muitas vezes, pode ser interpretado como um caminho para buscar o acerto. Quando o aluno ainda n?o sabe como acertar, faz tentativas, ? sua maneira, construindo uma l?gica pr?pria para encontrar a solu??o? (BRASIL, 1997, p.37).

? com essa premissa que se faz a presente proposta de aula, como sugest?o de atividade inicial e ap?s a abordagem usual do conte?do.

Recomenda-se que as atividades previstas neste primeiro momento devam ser realizadas antes da abordagem do conte?do. Por isso, inicialmente, solicite que os alunos efetuem algumas multiplica??es por meio do algoritmo usual. Acredita-se que essa atividade ? um importante instrumento de sondagem dos conhecimentos pr?vios dos alunos sobre o uso do algoritmo da multiplica??o para a realiza??o dos c?lculos.

Professor, solicite aos alunos a realiza??o da seguinte atividade em uma folha de papel A4.

Coment?rio: Os casos a seguir s?o apenas sugest?es. Dessa forma, outras op??es podem ser solicitas e alguns itens podem ser suprimidos de acordo com os objetivos pretendidos pelo professor. Essa atividade trata-se de um diagn?stico pr?vio dos conhecimentos dos alunos acerca da multiplica??o.

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ATIVIDADE? Arme e efetue as opera??es a seguir, usando o algoritmo da multiplica??o.

a) 8 x 7 =

b) 35 x 8 =

c) 18 x 32 =

d) 58 x 13 =

e) 96 x 72 =

f) 194 x 7 =

g) 652 x 35 =

h) 407 x 48 =

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Coment?rio: Acredita-se que seja importante alertar, que neste momento, a interfer?ncia do professor junto aos alunos em caso de d?vidas deve ser a m?nima poss?vel. Essa atitude pode gerar uma ansiedade por parte do aluno. Assim, torna-se importante que o professor tranquilize a turma sobre os poss?veis erros que podem ser cometidos. Professor, deixe claro que o erro faz parte da aprendizagem, que cada um aprende em um tempo diferente e que deve-se respeitar o limite do colega.

Professor, ap?s a realiza??o da atividade, recolha as folhas com os c?lculos realizados pelos alunos e se achar pertinente, fa?a a abordagem do conte?do. Para isso, pode ser usado o pr?prio livro did?tico adotado ou qualquer outro recurso metodol?gico que tenha preparado.

Contudo, ressalta-se que a an?lise dos erros cometidos pelos alunos, quando da realiza??o dessa atividade, pode orientar o trabalho docente, pois conforme apontam os PCN, ?quando o professor consegue identificar a causa do erro, ele planeja a interven??o adequada para auxiliar o aluno a avaliar o caminho percorrido? (BRASIL, 1997, p. 41). Como defendem Santos; Passos e Mendes (2011) ?descartar o erro sem apreciar quais fatores induziram o aluno a ele, ? desconsiderar uma multiplicidade de situa??es que possibilitam ao educador confrontar-se com conhecimentos pr?vios do aluno, trabalhar com a revis?o de conceitos e o exerc?cio de argumenta??o?. Desse modo, abordando o conte?do, ap?s a an?lise dos c?lculos, o recurso a ser utilizado pode ser escolhido de forma a auxiliar os alunos com os erros que eles apresentaram, diminuindo assim sua dificuldade.

Segue alguns erros que podem aparecer (figura 1) e cuja an?lise pode auxiliar o professor a perceber qual ? a principal dificuldade apresentada pelos alunos.

Percebe-se, ao verificar os c?lculos acima, que os erros cometidos se concentram na falta de dom?nio do algoritmo e n?o na multiplica??o ou na reserva, por exemplo. Assim, o processo de interven??o deve ser focado no algoritmo. Logo, o professor pode escolher um recurso que ajude nessa dificuldade.

Neste caso, como possibilidade metodol?gica para o ensino do algoritmo da multiplica??o, sugere-se a aula ?O material dourado e a constru??o de significados para o algoritmo da multiplica??o de n?meros naturais?. Dispon?vel em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=50470>. Acesso em: 02 ago. 2013. Al?m disso, conforme orientam os PCN, ?ao procurar identificar, mediante a observa??o e o di?logo, como o aluno est? pensando, o professor obt?m as pistas do que ele n?o est? compreendendo e pode interferir para auxili?-lo? (BRASIL, 1997, p.41). Por isso, ao longo da abordagem do conte?do, o professor pode utilizar a analise de erro para questionar os alunos sobre os erros cometidos. Por?m, alerta-se para o cuidado na observa??o para a n?o identifica??o dos alunos e os erros observados. 

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SEGUNDO MOMENTO

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Outro apontamento trazido pelos PCN ? o tratamento dado ao erro no processo de ensino e aprendizagem, orientando que, se os erros forem tratados da mesma maneira, apenas assinalando-os e explicando a maneira correta, poder? at? ser ?til para alguns discentes, caso a explica??o seja suficiente para esclarecer casos particulares, mas provavelmente, outros tantos alunos continuar?o sem compreender e sem condi??es de reverterem a situa??o que os levaram ao equ?voco (BRASIL, 1997).

Seguindo as orienta??es dos PCN, prop?e-se que o professor organize os erros cometidos pelos alunos quando da realiza??o da atividade do momento anterior e reapresente os erros mais comuns para que os alunos apontem o que est? errado e a maneira correta de realiza??o dos c?lculos. Contudo, ressalta-se que ao se trabalhar com o erro em sala de aula, ? fundamental que eles adquiram uma postura diante de sua produ??o que os leve a justificar e validar suas respostas e observem que situa??es de erro s?o comuns, e a partir delas tamb?m se pode aprender. Nesse contexto, ? que o interesse, a coopera??o e o respeito para com os colegas come?a a se constituir (BRASIL, 1997, p. 49-50).

Caso o professor n?o queira usar a metodologia apresentada anteriormente, sugere-se ele mesmo simular erros comuns e poss?veis de ocorrerem para a realiza??o desta proposta ou considerando os erros observados no primeiro momento, ou usando outros valores, ou ainda, usando os exemplos sugeridos a seguir (Figura 1).

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Coment?rio: Vale lembrar que os exemplos acima s?o apenas sugest?es, cabe ao professor selecionar os erros a serem destacados para cada turma. Defende-se, pois, que a riqueza da presente proposta est? no aspecto de se considerar as particularidades de cada turma.

Voltando-se aos exemplos, espera-se que os alunos consigam fazer as seguintes observa??es em cada item:

No item (a), o erro consiste na desconsidera??o da reserva (?vai um?) ao multiplicar as ordens das unidades.

J? no item (b), o erro consiste na falta de compreens?o do Sistema de Numera??o Decimal (SND), em que o aluno desconsidera as ordens num?ricas e apenas, organiza os produtos da multiplica??o de forma justaposta.

O algoritmo correto, nesses dois casos, seria:

No item (c), o erro consiste na multiplica??o das ordens correspondentes como no algoritmo da adi??o. Assim, efetua unidade com unidade e dezena com dezena, al?m disso, apresenta como resultado, os produtos dessas multiplica??es de forma justaposta.

Em (d), o erro consiste na multiplica??o das ordens de forma inversa ? do item anterior, efetuando dezena com unidade e unidade com dezena, respectivamente, considerando a reserva, ou seja, o ?transporte? (?vai um?) ? ordem imediatamente superior no resultado. Al?m disso, apresenta o resultado com os produtos dessas multiplica??es de forma justaposta.

J? em (e), o erro consiste na multiplica??o das ordens correspondentes como no algoritmo da adi??o, considerando, inclusive, a reserva, ou seja, o ?transporte? ao produto da ordem imediatamente superior para compor o resultado.

No item (f), o erro consiste na multiplica??o da ordem das unidades, por?m, considera a multiplica??o da dezena do segundo fator, tanto pela unidade quanto pela dezena, do primeiro considerando inclusive a reserva (?vai um?) na apresenta??o do seu produto. Al?m disso, equivoca-se no procedimento do algoritmo da multiplica??o, n?o observando a impossibilidade do resultado da multiplica??o de dezena por unidade ter como produto uma unidade, assim, alinha equivocadamente, no algoritmo, as ordens de grandeza desses produtos.

Em (g), o erro consiste no equ?voco do procedimento do algoritmo da multiplica??o. Assim, n?o observa a impossibilidade do resultado da multiplica??o de dezena por unidade ter como produto uma unidade, assim, alinha equivocadamente, no algoritmo, as ordens de grandeza desses produtos.

O algoritmo correto, nos casos dos itens de c ? g, seria:

Coment?rio: Vale ressaltar que os alunos podem apresentar dificuldades ao expressarem suas justificativas, n?o apresentando explica??es t?o ?elaboradas? quanto ?s apresentadas anteriormente. Mesmo assim os PCN defendem que: ?Falar sobre Matem?tica, escrever textos sobre conclus?es, comunicar resultados, usando ao mesmo tempo elementos da l?ngua materna e alguns s?mbolos matem?ticos, s?o atividades importantes para que a linguagem matem?tica n?o funcione como um c?digo indecifr?vel para os alunos? (BRASIL, 1997, p. 46).

Na pr?tica em sala de aula, o erro contribui para que os alunos desenvolvam uma atitude de respeito com o seu pr?prio racioc?nio e o seu percurso em busca de uma aprendizagem mais significativa. Como apontam Santos; Passos; Mendes (2011), ao se trabalhar com o erro, ?o aluno passa a refletir sobre suas a??es, sobre os seus erros, sem sentir medo ou culpa e como resultado passa a participar de modo efetivo na constru??o do seu pr?prio conhecimento?. Dessa forma, pretende-se com atividades como esta, a promo??o de interc?mbio de ideias e o desenvolvimento de um ambiente mais saud?vel, de respeito m?tuo e de coopera??o com as dificuldades apresentadas pelos seus semelhantes.

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Refer?ncias

Como recurso complementar para a presente proposta de aula sugere-se o acesso ao endere?o: <http://escolovar.org/mat_multiplicacao_missingdigits.swf>. Acesso em 02 ago. 2013. Esse site apresenta o algoritmo da multiplica??o com alguns n?meros identificados com o sinal de interroga??o e pelos resultados dos produtos apresentados deve-se escolher o algarismo correspondente. Antes, por?m, o site permite escolher se a multiplica??o a ser realizada, ser? por unidade, dezena ou centena.

O professor pode observar o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realiza??o dos processos solicitados, sua motiva??o e empenho na execu??o das atividades e no desenvolvimento de atitudes na intera??o, coopera??o e organiza??o do trabalho em grupo. Vale ressaltar que no trabalho com o erro ? comum a cr?tica de forma negativa ao aluno que erra chegando ao ponto de intimidar esses alunos na exposi??o das suas respostas, por isso, o professor deve estar atento garantindo que situa??es como estas n?o venham a ocorrer.

Aconselha-se, inclusive, que o professor considere as hip?teses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. Sugere-se, ainda, que a avalia??o possa se d? pelo recolhimento do pr?prio roteiro das atividades. Por meio dele, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estrat?gias e os c?lculos efetuados pelos alunos, al?m de poss?veis erros uma poss?vel reelabora??o de estrat?gias de interven??o did?tica para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Torna-se importante, ainda, que os alunos exercitem uma reflex?o sobre o pr?prio processo de aprendizagem. Por isso, aconselha-se a realiza??o de uma autoavalia??o de forma a permitir que os alunos se expressem sobre os pontos positivos e negativos da aula e das atividades. A autoavalia??o pode ser por escrito ou oral.