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• Avaliar a razoabilidade de um resultado num?rico na constru??o de argumentos sobre afirma??es quantitativas, conforme habilidade H4 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM;
• Avaliar propostas de interven??o na realidade utilizando conhecimentos num?ricos, conforme habilidade H5 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM;
• Calcular medidas de tend?ncia central ou de dispers?o de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequ?ncias de dados agrupados (n?o em classes) ou em gr?ficos, conforme habilidade H27 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM;
• Utilizar conhecimentos de estat?stica e probabilidade como recurso para a constru??o de argumenta??o, conforme habilidade H29 da matriz de refer?ncia de Matem?tica e suas Tecnologias do ENEM.

2 a 3 horas/aulas (50 minutos)

• Organiza??o de dados em tabela de frequ?ncias;
• Estabelecimento de uma raz?o;
• Realiza??o de c?lculos de porcentagem.

Recursos materiais

• Folha de papel A4.

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A presente proposta de atividade constitui-se um complemento da aula ?O impacto da escolaridade na renda do trabalhador brasileiro: uma reflex?o por meio do conhecimento matem?tico?. Assim, ap?s a aplica??o da referida aula, sugira aos alunos a realiza??o de uma pesquisa de campo sobre o assunto. Para motivar os alunos a realizarem a atividade, suscite o seguinte questionamento:

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- Pelos textos estudados anteriormente, qual ser? a hip?tese da nossa pesquisa?

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Coment?rio: Espera-se que os alunos respondam que, assim como nos textos anteriores, a pesquisa de campo poder? comprovar o impacto da escolaridade na renda das pessoas que participarem da pesquisa.

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Para a realiza??o da atividade, divida a turma em duplas, cada integrante ficar? respons?vel por entrevistar os sujeitos da pesquisa para que consolidem os dados nos estudos em sala de aula. A proposta ? para uma aula expositiva dialogada com os dados levantados na pesquisa.

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Coment?rio: Julga-se importante que os alunos sejam alertados para a import?ncia de se planejar as etapas e os aspectos gerais da atividade de pesquisa, tais como: n?o identifica??o, quantos e quem ser?o os sujeitos da pesquisa, quais perguntas ser?o relevantes e quais dados ser?o pesquisados.

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Espera-se que os alunos considerem importantes quest?es que considerem aspectos abordados na aula anterior, tais como: a renda mensal, o n?vel de escolaridade, idade, g?nero, grau de satisfa??o com o sal?rio e com a profiss?o.

Pondera-se que o n?mero de entrevistados n?o seja muito grande, recomenda-se no m?ximo 20 sujeitos. Assim, cada integrante ficar? respons?vel pelo levantamento de informa??es com, no m?ximo, 10 pessoas que podem ser do seu ciclo de amizade e/ou familiar.

Coment?rio: Se achar conveniente, o professor pode falar sobre os diferentes tipos de pesquisas: quanto ? abordagem (qualitativa, quantitativa), quanto aos objetivos (explorat?ria, descritiva, explicativa), quanto ao objeto (bibliogr?fica, laborat?rio, campo), entre outros tipos.

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Ap?s o levantamento de dados, proponha que os alunos organizem os dados considerando o grau de escolaridade dos sujeitos pesquisados em quadros ou tabelas.

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Coment?rio: A atividade est? exemplificada no quadro a seguir (quadro 1). Os dados usados s?o fict?cios e servem apenas para ilustrar as respostas e procedimentos esperados pelos alunos no desenvolvimento desta aula. Vale lembrar que: Ensino Fundamental I corresponde aos anos iniciais deste n?vel de ensino, at? o 5? ano; Ensino Fundamental II, aos anos finais, do 6? at? o 9? ano e a P?s-Gradua??o, ao mestrado e/ou doutorado.

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Quadro 1: Estudo do impacto da escolaridade na renda do trabalhador.

Sujeitos	Sexo	Idade	Escolaridade	Renda
A	M	23	Ensino M?dio	830
B	M	19	Ensino M?dio	1100
C	F	20	Ensino M?dio	1200
D	F	34	Ensino Fundamental II	750
E	M	45	Ensino M?dio	800
F	F	43	Ensino Fundamental II	690
G	F	37	P?s-Gradua??o	2400
H	M	58	Ensino Fundamental I	690
I	M	36	Ensino Superior	1000
J	M	28	Ensino Superior	1650

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Coment?rio: Considera-se que a oportunidade de organiza??o dos dados constitui-se um momento importante para o professor abordar conceitos estat?sticos, tais como: vari?vel qualitativa e vari?vel quantitativa.

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Para introduzir a defini??o desses conceitos, questione os alunos se todos os dados levantados s?o expressos por valores num?ricos. Caso necess?rio, chame a aten??o dos alunos para os dados sobre sexo e n?vel de escolaridade.

Segundo defini??o que consta no livro did?tico Projeto Ararib? (2006):

• Vari?vel quantitativa ? ? aquela expressa por n?meros, ou seja, s?o as vari?veis expressas por valores num?ricos.
• Vari?vel qualitativa ? ? aquela que n?o pode ser expressa por n?meros, ou seja, s?o as vari?veis que n?o s?o expressas por valores num?ricos.

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Professor, em seguida, solicite que os alunos agrupem os dados considerando o n?vel de escolaridade. Proponha a organiza??o em um quadro, conforme ilustrado a seguir (quadro 2):

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Quadro 2: Estudo do impacto da escolaridade na renda do trabalhador.

Escolaridade	Frequ?ncia	Frequ?ncia relativa	Taxa percentual
Ensino fundamental I	1	0,1	10%
Ensino fundamental II	2	0,2	20%
Ensino M?dio	4	0,4	40%
Ensino Superior	2	0,2	20%
P?s-Gradua??o	1	0,1	10%
Total	10	1	100%

Fonte: arquivo do autor

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Coment?rio: Considera-se que a organiza??o desses dados constitui-se um momento importante para o professor abordar outros conceitos estat?sticos, tais como: popula??o, amostra, frequ?ncia absoluta, frequ?ncia relativa.

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Segundo defini??o que consta no livro did?tico Projeto Ararib? (2006):

• Popula??o ? conjunto de todos os sujeitos em estudo.
• Amostra ? subconjunto da popula??o dos sujeitos participantes da pesquisa com o objetivo de inferir sobre a popula??o em estudo.
• Frequ?ncia absoluta ? ? o n?mero de sujeitos que correspondem a uma determinada classe.
• Frequ?ncia relativa ? ? a raz?o entre o n?mero de sujeitos de uma determinada classe e o total de sujeitos da pesquisa.

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Observa??o: Professor, explique aos alunos que para obter a taxa percentual de pessoas, segundo os n?veis de ensino, basta multiplicar a frequ?ncia relativa por cem (100).

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Depois da abordagem desses conceitos, sugira que os alunos incluam a coluna identificada como a ?Sal?rio?, conforme ilustrado a seguir (quadro3).

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Quadro 3: Exemplo de quadro para organiza??o dos dados.

Escolaridade	Frequ?ncia	Frequ?ncia relativa	Taxa percentual	Sal?rio
Ensino fundamental I	1	0,1	10%	690
Ensino fundamental II	2	0,2	20%	690; 750
Ensino M?dio	4	0,4	40%	800; 830; 1100; 1200
Ensino Superior	2	0,2	20%	1000; 1650
P?s-Gradua??o	1	0,1	10%	2400

Fonte: arquivo do autor

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Professor, com o preenchimento da coluna identificada como sendo a do ?Sal?rio?, chame a aten??o dos alunos para opinarem sobre qual procedimento pode melhorar a an?lise desses dados.

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Coment?rio: Torna-se importante que se permita que os alunos expressem suas considera??es, mas espera-se que os alunos apontem para a necessidade de se calcular a m?dia salarial de cada classe, considerando o n?vel de escolaridade.

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Ap?s esse momento, solicite aos alunos que incluam outra coluna, desta vez, identificada como ?M?dia salarial?, conforme ilustrado a seguir (quadro 4).

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Quadro 4: Exemplo de quadro para organiza??o dos dados.

Escolaridade	Frequ?ncia	Frequ?ncia relativa	Taxa percentual	Sal?rio	M?dia salarial
Ensino fundamental I	1	0,1	10%	690	?
Ensino fundamental II	2	0,2	20%	690; 750	?
Ensino M?dio	4	0,4	40%	800; 830; 1100; 1200	?
Ensino Superior	2	0,2	20%	1000; 1650	?
P?s-Gradua??o	1	0,1	10%	2400	?

Fonte: arquivo do autor

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Coment?rio: Considera-se, a inser??o destas novas colunas, uma oportunidade para que o professor aborde mais alguns conceitos estat?sticos, tais como: m?dia, mediana e moda salarial.

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Inicialmente, o professor pode solicitar que os alunos busquem a defini??o desses conceitos usando um dicion?rio ou usando a Internet. As defini??es podem ser formalizadas pelo professor, usando-se, inclusive, os significados a seguir (PROJETO ARARIB?, 2006).

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• M?dia - ? o valor central correspondente ao resultado da divis?o do somat?rio de todos os valores considerados pelo quantitativo de valores somados.
• Moda ? ? o valor de tend?ncia central correspondente ao valor verificado com maior frequ?ncia em um determinado conjunto de valores.
• Mediana ? ? o valor que quando os dados s?o organizados em ordem crescente ou decrescente, indica exatamente o valor central do conjunto de valores considerados, no caso de uma amostra com um n?mero ?mpar de dados. Caso o n?mero de dados seja par, para determinar a mediana, torna-se necess?rio, o c?lculo da m?dia dos termos centrais da rela??o dos dados considerados. 

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Ap?s a defini??o dos conceitos, solicite que os alunos usem os valores coletados e calculem a m?dia salarial correspondente a cada n?vel de escolaridade para preenchimento do quadro (Quadro 5).

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Quadro 5: Exemplo de quadro para organiza??o dos dados.

Escolaridade	Frequ?ncia	Frequ?ncia relativa	Taxa percentual	Sal?rio	M?dia salarial
Ensino fundamental I	1	0,1	10%	690	690
Ensino fundamental II	2	0,2	20%	690; 750	720
Ensino M?dio	4	0,4	40%	800; 830; 1100; 1200	982,5
Ensino Superior	2	0,2	20%	1000; 1650	1325
P?s-Gradua??o	1	0,1	10%	2400	2400

Fonte: arquivo do autor

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Sugere-se ainda, que o professor solicite aos alunos o c?lculo da m?dia aritm?tica, da moda e da mediana considerando os dados salariais dos sujeitos pesquisados. Assim, os alunos devem efetuar:

• M?dia:

                                           

• Moda: 690, por ser o valor que mais se repete.

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• Mediana ? para a sua determina??o, torna-se necess?rio a organiza??o dos dados em ordem crescente ou decrescente ? assim: 690; 690; 750; 800; 830; 1000; 1100; 1200; 1650; 2400. Como se tem um n?mero par de dados, deve-se calcular a m?dia dos termos centrais, isto ?:

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Ap?s a determina??o dessas medidas de tend?ncia central, suscite o questionamento:

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Qual dos valores melhor indica o valor m?dio da renda dos sujeitos da pesquisa?

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Coment?rio: A expectativa ? que os alunos percebam que a resposta para esta pergunta depende muito da s?rie de dados, na situa??o apresentada anteriormente, por exemplo, a m?dia e a mediana s?o valores que melhor representam o valor ?m?dio? dos sal?rios apresentados. Inclusive, se considerarmos a discrep?ncia dos dados, o valor mais pr?ximo ? representado pela mediana.

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Ap?s a realiza??o dessas atividades, retome o questionamento inicial sobre a hip?tese levantada:

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 ?O n?vel de escolaridade impacta na renda das pessoas?.

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Em seguida, questione os alunos se, pela pesquisa realizada, essa hip?tese foi confirmada ou n?o. E por que se pode confirmar ou n?o a hip?tese levantada.

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Coment?rio: A resposta depende dos dados levantados. Em nosso exemplo, fica claro esse impacto, uma vez que a m?dia salarial aumenta ? medida que o n?vel de escolaridade tamb?m aumenta.

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Os demais dados coletados, como sexo e idade, poder?o ser usados para outras an?lises e considera??es, tais como: o c?lculo da m?dia salarial segundo o g?nero, a m?dia de idade; entre outras.

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ENRIQUE?A SUA AULA

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Como recurso enriquecedor da presente proposta de aula, o professor pode propor, como atividade de consolida??o dos assuntos abordados, o jogo 3Ms descrito no artigo ?O estudo da m?dia, mediana e da moda atrav?s de um jogo e da resolu??o de problemas. (LOPES; CORRAL; RESENDE, 2012).

A proposta pode ser enriquecida tamb?m, se for solicitado aos alunos que construam e preencham o quadro sugerido utilizando programas de planilha eletr?nica, como o Excel da Microsoft, e que criem f?rmulas de c?lculo e apresenta??o gr?fica dos dados.

O professor pode ainda, exibir e explorar as situa??es e c?lculos exibidos no v?deo dispon?vel em: <http://www.youtube.com/watch?v=-fEAMP8YC1I>. Acesso em 25 jul. 2013. Nesse v?deo, s?o abordados os conceitos de m?dia aritm?tica simples, m?dia aritm?tica ponderada, moda e mediana em uma situa??o cotidiana.

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Recomenta-se, como leituras complementares aos professores, os seguintes textos:

CUNHA, Lu?s Miguel. Estat?stica com Excel: uma aplica??o das no??es. Dispon?vel em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000012208.pdf> Acesso em 25 jul. 2013.

Salla, Fernanda. Moda, m?dia e mediana. Quando usar e como interpretar os resultados? Dispon?vel em <http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-2/moda-media-mediana-quando-usar-como-interpretar-resultados-732318.shtml?page=0#ad-image-0>. Acesso em 25 jul. 2013.

Recomenda-se no processo de avalia??o que o professor observe o interesse, a motiva??o e o envolvimento dos alunos na realiza??o das atividades, na discuss?o e emiss?o de opini?o durante o debate proposto. O professor pode, ainda, adotar como crit?rio avaliativo formal a constru??o do quadro ou tabela proposta que pode ser solicitado aos alunos pelo docente.

Aconselha-se que o professor utilize uma autoavalia??o tamb?m, pois ela permite aos alunos relatarem as facilidades e as dificuldades encontradas na realiza??o das atividades propostas. ? importante que todo o processo avaliativo possibilite ao professor perceber se os objetivos pretendidos inicialmente foram alcan?ados e quais as mudan?as necess?rias a serem adotadas em situa??es semelhantes posteriores para que os objetivos sejam conseguidos.