Portal do Professor

? Situa??es da vida real
? Interpretar o comportamento das fun??es peri?dicas com as demais ?reas do conhecimento.
? Construir conceitos de amplitude (m?ximos e m?nimos de uma fun??o), per?odo e frequ?ncia;
? Interpretar e fazer uso de modelos para a resolu??o de problemas trigonom?tricos;
? Despertar o interesse do aluno e auxiliar na resolu??o de problemas envolvendo fun??es peri?dicas;
? Saber ler, interpretar e mostrar a constru??o de gr?ficos relacionados ao movimento peri?dico e identificar as altera??es;
? Construir conceitos de amplitude (m?ximos e m?nimos de uma fun??o), per?odo e frequ?ncia.

? Unidade de medidas de ?ngulos: Graus e Radianos (http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1477)
? Medir ?ngulos (http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=3768)
? C?rculo trigonom?trico:
     o http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1203
     o http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=770  
? Defini??o de seno, cosseno e tangente em um tri?ngulo ret?ngulo.

Primeira aula

               Ol? Professor, vamos apresentar uma forma diferente de apresentar o assunto ?Gr?fico de fun??es trigonom?tricas? aos nossos alunos. ? importante comentar aos seus alunos que muitos fen?menos f?sicos e sociais de comportamento c?clico, ou peri?dico, podem ser modelados por fun??es trigonom?tricas. Da? a enorme aplica??o desse estudo em campos variados da ci?ncia, como Ac?stica, Astronomia, Economia ou Medicina. Uma circunst?ncia exemplar ? o monitoramento da frequ?ncia card?aca, isto ?, do n?mero de batimentos card?acos em um per?odo de tempo, geralmente medido em bpm (batimentos card?acos por minutos). Apresente a eles uma situa??o para eles possam refletir sobre o assunto, como exemplo:

               No gr?fico abaixo, a varia??o da press?o sangu?nea P (em mmHg) de certo indiv?duo, em fun??o do tempo, em segundos, ? uma fun??o c?clica, sendo que cada ciclo completo (per?odo) equivale a um batimento card?aco.

               Sabe-se que o gr?fico representa a fun??o peri?dica cuja a lei de forma??o ? P(x)=100-20.cos(8?/3.x), em que o valor do argumento (8?/3.x) ? dado em radiano. (Onde ? ? a letra grega pi).

a) Aplicando essa lei, determine P quando t = 2s.
b) Aplicando essa lei, determine o menor valor de x para P=100 mmHg. Verifique a resposta no gr?fico.

               Pe?a aos seus alunos que acessem o s?tio http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/ftrigonometricas.htm  e fa?am uma leitura do texto sobre o assunto.

               Para come?ar as atividade de consolida??o do conhecimento, pe?a a eles que acessem o s?tio recursos/mec_5990/SpinningOutSineAndCosine.nbp, trata-se de uma pequena aplica??o que mostrar? a eles que uma primeira vis?o do gr?fico das fun??es trigonom?tricas.

               Professor, o aplicativo anterior nos mostra que constru?mos os gr?ficos das fun??es trigonom?tricas com o aux?lio da tabela, com valores de x da 1? volta positiva. Geralmente perdemos muito tempo calculando os valores das fun??es:

                   * Seno      ==>  http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=771  
                   * Cosseno ==>  http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=772  
                   * Tangente ==> http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=773  

e tamb?m com o aux?lio do ciclo trigonom?trico, dispon?vel em http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/activities/2007.2/funcoes-trigonometricas.html. (Veja tamb?m em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1203 e http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=770).

               Quando abordamos o assunto ?Gr?fico de fun??es trigonom?tricas? temos que comentar determinados aspectos:
                    * Constru??o do gr?fico
                    * Tipos de gr?ficos: inicialmente o gr?fico f ( x ) = a * sen (b + c*x) e g ( x ) = a * cos (b + c*x) onde a, b e c s?o constantes arbitr?rias. Estes tipos podem ser subdivididos em:
                         ** y = c + senx ou y = c + cos x ou y = c + tg x
                         ** y = sen(x + b) ou y = cos(x + b) ou y = tg(x + b)
                         ** y = d . sen(x) ou y = d . cos(x) ou y = d . tg(x)
                         ** y = sen(d.x) ou y = cos(d.x) ou y = tg(d.x)
                    * Periodicidade da fun??o
                    * Sinal da fun??o
                    * Varia??o da fun??o

               Professor, pe?a aos seus alunos que acessem o s?tio http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_trigonometria/index.htm trata-se de um aplicativo que vai trabalhar com a constru??o de gr?ficos.

               Na parte de baixo da tela tem as setas de comando de mudan?a de p?gina e atividades

clique na seta da direita para c ontinuar. Ser? apresentad a a tela da fun??o seno, cosseno e tangente. Para movimentar o ponto P, basta clicar no ponto da linha verde e deslizar na horizontal. Para ter acesso as outras fun??es, basta deslocar para a parte de baixo da tela.

Segunda aula

                Professor, para que os alunos possam fazer a an?lise dos diversos tipos de fun??es trigonom?tricas, utilizaremos o GeoGebra, para consolidar os conhecimentos te?ricos vistos nos links anteriores. Vamos realizar uma atividade no laborat?rio de inform?tica utilizando um software de geometria din?mica, http://www.geometriadinamica.com/, o GeoGebra. Ele ? para se utilizar em ambiente de sala de aula. Ele re?ne GEOmetria, ?lGEBRA e c?lculo. Esta dispon?vel em http://www.geogebra.org/  em vers?o para download gratuito ou para ser executado via web (WebStart).

               No caso desta atividade, tenha instalado previamente o GeoGebra em todos os computadores do laborat?rio de inform?tica. Como documenta??o do software, temos:
                    * O manual dispon?vel em http://www.geogebra.org/h elp/docupt_BR.pdf e outro http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, este em portugu?s de Portugal, mas um pouco mais completo;
                    * Uma apostila sobre a utiliza??o esta dispon?vel em http://www.tinaeducacao.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostilageogebra_2007.pdf, nesta apostila temos v?rias atividades utilizando o software, e
                    * Um guia r?pido de comandos, dispon?vel em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.

              Professor, vamos mostrar aos alunos maneiras de proceder para constru??o de gr?ficos de fun??es. Pe?a a eles que sigam os seguintes passos.

Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecer? a seguinte tela:

               Professor, comente com seus alunos que na barra de bot?es,

temos diversas ferramentas que podem ser utilizadas. Em todos os bot?es aparece uma seta no canto inferior direito, que, ao ser clicada, permite visualizar as op??es existentes.

Passo 2: Exibir malhas. No menu ?Exibir?, selecione a op??o ?Malha?.

Passo 3: Trocar as unidades de medid as o eixo x para radianos. Na ?rea de trabalho, clique com o mouse com bot ?o da direita e ser? mostr ada o menu ?Janela de Visualiza??o? e ser? mostrada a seguinte tela de configura??o. No combo ?Unidades?, selecione a op??o ??? (letra grega pi). Em seguida, marque o chebox ?Dist?ncia? e no seu combo, selecione a op??o ??/2?, con forme tela abaixo.

               Professor, vamos iniciar o trabalho de an?lise com a fun??o seno.

Passo 4: Criar o gr?fico da fun??o. Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de f?rmulas,

Digite: f(x)=sin(x).

               Professor, observe que no lado esquerdo da tela aparece uma lista de objetos dependentes. Neste caso temos um objeto livre. Podemos alterar este objeto, basta dar dois cliques com o mouse em cima do objeto e alter?-lo, ou, dar um clique com o bot?o da direita do mouse e ser? mostrado o menu ?Fun??o f? e selecione a op??o propriedades. Ser? mostrada a seguinte tela de configura??o onde se pode alterar a defini??o da fun??o, bem com outras caracter?sticas, como cor, espessura e estilo da linha do gr?fico, dentre outras.

                Alterando para f(x)=sin(x) + 2, teremos o gr?fico na tela mostrado na tela abaixo. Depois de mostra aos alunos esta possibilidade, comente com os alunos que podemos montar qualquer tipo de gr?fico, bem com das outras fun??es trigonom?tricas, com secante, cossecante e cotangente.

               * Tipos de gr?ficos: inicialmente o gr?fico f ( x ) = a * sen (b + c*x) e g ( x ) = a * cos (b + c*x) onde a, b e c s?o constantes arbitr?rias. Estes tipos podem ser subdivididos em:
                    ** y = c + senx ou y = c + cos x ou y = c + tg x
                    ** y = sen(x + b) ou y = cos(x + b) ou y = tg(x + b)
                    ** y = d . sen(x) ou y = d . cos(x) ou y = d . tg(x)
                    ** y = sen(d.x) ou y = cos(d.x) ou y = tg(d.x)

               Pe?a a eles que crie um novo gr?fico, como exemplo, g(x) = cos(x). Altera as propriedades de cor para uma melhor visualiza??o. Experimente criar uma fun??o h(x)=tan(x) e uma i(x)=sin(x)/cos(x) e pergunte a eles o que aconteceu. Por qu?? Para apagar o gr?fico das fun??es criadas, basta clicar com o mouse no objeto e em seguida pressione a tecla ?Delete?.

               Professor, aproveite este momento para dar um tempo aos alunos para que e les exp erimentem a cria??o dos diversos tipos de gr?ficos f ( x ) = a * sen (b + c*x) e g ( x ) = a * cos (b + c*x) onde a, b e c s?o constantes arbitr?rias . Ap?s o tempo, fa?a o s seguintes questionamentos:
                    * O que acontece quando aumentamo s os valores de ?c?? E quando diminu?mos?
                    * E com os valores de ?c??
                    * E com os valores de ?a??
                    * Dentro de qual intervalo os valores de f(x) come?a a se repetir? Qual ? o nome dado a este intervalo.
                    * O intervalo do maior e o menor valor que f(x) pode assumir ? chamado de amplitude da fun??o. Qual ? o conjunto relacionado ? amplitude?
                    * Quais s?o os intervalos de x em que os valores de f(x) s?o positivos? E negativos? E iguais a zero?

               Eles devem observar que:
                    * Quando alteramos o valor de ?a?, com rela??o ? opera??o de soma, o gr?fico sofre uma transla??o de |a| unidades, no eixo y, em rela??o ao gr?fico original, da seguinte forma:
                          ** Se a>0, a transla??o ? para cima;
                         ** Se a<0, a transla??o ? para baixo.
                    * Quando alteramos o valor de ?a?, com rela??o ? opera??o de multiplica??o, o gr?fico sofre uma altera??o na sua amplitude.
                    * Quando alteramos o valor de ?b? o gr?fico sofre uma transla??o de |b| unidades, no eixo x, em rela??o ao gr?fico original, da seguinte forma:
                         ** Se b>0, a transla??o ? para a esquerda;
                         ** Se b<0, a transla??o ? para a direita.
                    * Quando alteramos o valor de ?c? o gr?fico sofre uma altera??o no per?odo em rela??o ao gr?fico original, da seguinte forma:
                         ** Se c>0, o per?odo diminui;
                         ** Se c<0, o per?odo aumenta.
                    * O intervalo em que os intervalos se repetem chama-se per?odo.
                    * O conjunto relacionado ? amplitude ? o conjunto imagem da fun??o.

              Pe?a aos alunos que retornem a fun??o f(x)=sin(x). Vamos mo strar de uma maneira mais concreta os pontos:
                    * Sinal da fun??o
                    * Varia??o da fun??o
                    * Conjunto imagem

Passo 5: Criar um seletor. No d?cimo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Seletor? e clique em um local na ?rea de trabalho. Ser? mostrada a janela de propriedades do seletor. Selecione a op??o ??ngulos? e em seguida clique em ?Aplicar?. Note que para o seletor foi definida a letra grega ??? (alfa).

Passo 6: Criar um ponto dependente. No segundo bot?o da barra de bot?es, selecione a ferramenta ?Novo ponto? e clique na intersec??o dos eixos x e y. Existe outra forma de criar o ponto A. Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de f?rmulas, "Passo 4". Bastaria digitar: A =(0,0). Mas o ponto que iremos criar ser? dependente do ?ngulo definido no seletor. Digite: A=(?,f(?)). Para digitar o s?mbolo ???, recorra ao segundo combo na linha de entrada de dados. Para alterar o valor de ???, clique e segure o mouse no ponto indicado no seletor e o movimente na horizontal.

               Pe?a aos alunos que observem os valores da abscissa e da ordenada do ponto A localizado na tela de objetos dependentes.
               Professor, questione:
                    * Qual ? o intervalo em que a fun??o apresenta valores de f(x) crescentes? E decrescentes? A quais quadrantes estes intervalos correspondem?
                    * Qual ? o intervalo que representa o per?odo da fun??o? Ou quando os valores de f(x) come?am a repetir?

               Vamos analisar a amplitude da fun??o, ou seja, o conjunto imagem da fun??o.

Passo 7: Criar um ponto dependente. Digite: B=(0,f(?)). Lembre-se que o conjunto imagem ? aferido o eixo y, onde o valor da abscissa ? zero. Clique e segure o mouse no ponto indicado no seletor e o movimente na horizontal. Professor, caso queira destacar bem o intervalo da imagem, selecione o ponto B o bot?o direito do mouse e marque a op??o ?Habilitar Rastro?, clique e segure o mouse no ponto indicado no seletor e o movimente na horizontal.

               Professor, pe?a aos alunos para identificar o intervalo correspondente ao conjunto imagem. Em seguida, altere o valor da fun??o f(x) e analise os aspectos comentados na aula.
               Professor elabore uma lis ta de exerc?cios para que seu s alunos possam trabalhar e consolidar os conhecimen tos adquiridos . Utilize o livro did?tico e caso se j? necess?rio elabore uma lista de exerc?cios complementares , um exemplo esta dispo n?vel em http://www.ccmn.ufrj.br/curso/trabalhos/PDF/matematica-trabalhos/conceitos_tecnologias_funcoes/FJL.pdf , na p?gina 4 e 5.

Aulas do portal sobre o assunto
     ? http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1621  

Blogs e sites sobre o assunto
     ? http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u45.jhtm  
     ? http://trigono.vilabol.uol.com.br/conteudo.htm#%C3%82ngulos%20e%20Arcos%20Trigonom%C3%A9tricos  
     ? http://liegednamanda.blogspot.com/2009/06/historia-da-trigonometria.html  

Outros objetos de aprendizagem
     ? http://www.cienciamao.if.usp.br/dados/tex/_funcaotrigonometricasgraficosii.flash.swf  

A avalia??o, 1 aula, poder? ser da seguinte forma:
          ? Atividades em sala.
          ? Listas de exerc?cios envolvendo aplica??es do assunto no cotidiano.
          ? Durante as aulas observando o interesse e a participa??o do aluno. 
          ? Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog j? existente, sugerimos os seguintes:
                   o  http://liegednamanda.blogspot.com/2009/06/graficos-das-funcoes-trigonometricas-e.html
          ? Competi??o entre grupos, de no m?ximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo caso consiga resolv?-lo, continua na competi??o, caso erre, ser? eliminado.

          ? Professor experimente criar um ambiente virtual onde voc? e os professores poder?o criar blogs, webquest, f?runs, exerc?cios virtuais. Acesse http://www4.escola24h.com.br/.