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A fim de desenvolver as compet?ncias da ?rea 5 da Matriz de Refer?ncia de Matem?tica e sua Tecnologias do ENEM, que ? Modelar e resolver problemas que envolvem vari?veis socioecon?micas ou t?cnico-cient?ficas, usando representa??es alg?bricas, bem como interpretar gr?fico cartesiano que represente rela??es entre grandezas (H19), s?o propostos para essa aula os seguintes objetivos:

- Revisar o conte?do de fun??o do 1? grau, de forma que o aluno compreenda algebricamente e geometricamente os conceitos envolvidos (fun??o crescente e decrescente, coeficiente angular e linear, fun??o afim e linear).

- Trazer alguns exemplos pr?ticos que podem ser trabalhados.

3 a 5 horas/aulas (50 minutos cada)

Conhecimentos pr?vios trabalhados pelo professor com o aluno

• Equa??es.
• ?ngulos.
• Coordenadas cartesianas.

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Conhecimentos pr?vios do professor

• No??es b?sicas da utiliza??o do software GeoGebra.

Professor, n?o ? novidade que em um mundo cada vez mais atraente fora da escola, ? necess?rio utilizar diferentes recursos no trabalho escolar, que incentivem os estudantes a se apropriarem dos significados dos conceitos cient?ficos e a buscarem estrat?gias para melhor trabalhar com os conhecimentos matem?ticos adquiridos.

Esta aula constitui-se uma atividade investigativa, composta por situa??es-problemas em que os alunos ter?o que mobilizar conhecimentos j? adquiridos e estrat?gias para conjecturar conceitos envolvendo fun??es polinomiais do 1? grau.

Sugere-se, ao final, uma proposta de roteiro para que os alunos respondam no decorrer da execu??o das atividades  propostas.

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o software GeoGebra para auxiliar a visualiza??o do plano cartesiano e compreens?o de conceitos geom?tricos. Al?m disso, deve-se dispor de um projetor multim?dia conectado ao computador  com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra ? um programa gratuito e o seu download est? dispon?vel em: <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm> (Acesso em 05 out. 2013). Tamb?m ? poss?vel utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instala??o. Para isso, acesse o link http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html (Acesso em 05 out 2013).

Coment?rio: Caso seja poss?vel, aconselha-se que a aula seja desenvolvida em um laborat?rio de inform?tica com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a intera??o e acompanhamento das atividades pelos alunos.

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O software GeoGebra - Apresenta??o

Segundo Humberto Jos? Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, ? um software gratuito de matem?tica din?mica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matem?tica nos v?rios n?veis de ensino (do b?sico ao universit?rio). O GeoGebra re?ne recursos de geometria, ?lgebra, tabelas, gr?ficos, probabilidade, estat?stica e c?lculos simb?licos em um ?nico ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem did?tica de apresentar, ao mesmo tempo, representa??es diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si. Al?m dos aspectos did?ticos, o GeoGebra ? uma excelente ferramenta para se criar ilustra??es profissionais para serem usadas em outros programas, como no Microsoft Word, no Open Office, no LaTeX, entre outros. Escrito em JAVA e dispon?vel em portugu?s, o GeoGebra ? multiplataforma e, portanto, ele pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS. (Dispon?vel no site http://www.geogebra.im-uff.mat.br/. Acesso em 08 out. 2013)

A utiliza??o de softwares de geometria din?mica pode favorecer a verifica??o de hip?teses e conjecturas levantadas pelos alunos de maneira mais din?mica, permitindo-lhes escolher seus pr?prios caminhos, interagir com outros espa?os e seguir o seu pr?prio ritmo de aprendizagem, o que nem sempre ? possibilitado na escola.

Sobre softwares de geometria din?mica, Baldin (2003), defende que estes possuem qualidades de visualiza??o e de interatividade para explorar propriedades e podem ser utilizados para auxiliar a constru??o dos conhecimentos, assim como podem auxiliar na modelagem de problemas e nas simula??es. Esses programas permitem manipula??o f?cil e especula??o de conceitos pelo pr?prio aluno, o que aumenta seu prazer em interagir com a tecnologia para construir conhecimentos matem?ticos.

Ainda sobre esta quest?o, as orienta??es dos PCN (BRASIL, 1998), afirmam que o uso de computadores pode trazer significativas contribui??es para repensar o processo de ensino e aprendizagem de matem?tica, pois ?relativiza a import?ncia do c?lculo mec?nico e da simples manipula??o simb?lica, uma vez que por meio de instrumentos esses c?lculos podem ser realizados de modo mais r?pido e eficiente;  possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realiza??o de projetos e atividades de investiga??o e explora??o como parte fundamental de sua aprendizagem;  permite que os alunos construam uma vis?o mais completa da verdadeira natureza da atividade matem?tica e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo? (BRASIL, 1998, pp.43-4).

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PRIMEIRO MOMENTO DA AULA:

O software GeoGebra: fazendo constru??es simples

Ao instalar o GeoGebra, um atalho ser? criado na sua ?rea de trabalho. Para come?ar a utiliz?-lo, basta dar um duplo clique sobre o atalho.

Ap?s abrir o programa, permita que os alunos se familiarizem com a estrutura do software, em seguida, solicite que os alunos explorem comandos b?sicos do software, conforme as ilustra??es a seguir (Figuras 1, 2, 3, 4 e 5):

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Figura 1: Tela inicial do GeoGebra

Fonte: Dispon?vel em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 05 out 2013.

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Figura 2: ?cones da Barra de Ferramentas

Fonte: Dispon?vel em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 05 out 2013.

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Figura 3: ?cones da Barra de Ferramentas

Fonte: Dispon?vel em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 05 out 2013.

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Figura 4: ?cones da Barra de Ferramentas

Fonte: Dispon?vel em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 05 out 2013.

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Figura 5: ?cones da Barra de Ferramentas

Fonte: Dispon?vel em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 05 out 2013.

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Caso deseje explorar todos os comandos, solicite que os alunos acessem o Manual Oficial do programa da Vers?o 3.2. O manual est? dispon?vel em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 05 out 2013.

1)      Na primeira constru??o solicite a cria??o de um canal (x,y) de tal forma que o aluno compreenda a rela??o existente entre as abscissas e as coordenadas (figura 6).

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Figura 6: Constru??o das coordenadas no GeoGebra

Fonte: Arquivo do autor

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Atividades pr?ticas

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Professor explore exemplos e/ou exerc?cios que estabele?am rela??es entre duas grandezas em diferentes situa??es: idade e altura; ?rea do c?rculo e raio; tempo e dist?ncia percorrida; tempo e crescimento populacional, entre outras.

Tamb?m ? interessante provocar os alunos para que apresentem outras rela??es funcionais e que, de in?cio, esbocem qualitativamente os gr?ficos que representam essas rela??es, registrando os tipos de crescimento e decrescimento. ? conveniente solicitar aos alunos que expressem em palavras uma fun??o dada de forma alg?brica, por exemplo, f(x)=2x+7, como a fun??o que associa a um dado valor real o seu dobro, acrescido de sete unidades; isso pode facilitar a identifica??o, por parte do aluno, da ideia de fun??o em outras.

Atividade 1

Usando exemplo do cotidiano.

? Uma pessoa vai escolher um plano de sa?de entre duas op??es A e B (figura 16).

? O plano A cobra R$ 100,00 de inscri??o e R$ 50,00 por consulta num certo per?odo.

? O plano B cobra R$ 80,00 de inscri??o e R$ 55,00 por consulta num mesmo per?odo.

O gasto total de cada plano ? dado em fun??o do n?mero x de consulta, desta forma qual dos planos ? mais econ?mico?

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Figura 16: Constru??o dos gr?ficos dos planos A e B

Fonte: Arquivo do autor

Padr?o de resposta esperado: Pelo gr?fico podemos visualizar que com quatro consultas os planos A e B tem pre?os iguais, a partir de cinco consultas o plano A passa a ser mais econ?mico que B.

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Atividade 2

Na produ??o de pe?as, uma f?brica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo vari?vel de R$ 1,50 por unidade produzida (figura 17). Sendo x o n?mero de pe?as unit?rias produzidas, determine: 

a)      A lei da fun??o que fornece o custo da produ??o de x pe?as;

b)      Calcule o custo de produ??o de 400 pe?as. 

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Figura 17: Fun??o que fornece o custo da produ??o de x pe?as.

Fonte: Arquivo do autor

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Padr?o de respostas esperadas:

a)    f(x) = 1,5x + 16

b)   f(x) = 1,5x + 16 

f(400) = 1,5*400 + 16 

f(400) = 600 + 16 

f(400) = 616            

Coment?rio: O custo para produzir 400 pe?as ser? de R$ 616,00.

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utiliza??es diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matem?tica (CAS, DGS e Calculadoras Gr?ficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMAR?ES, Luiz C. (Org.). Hist?ria e tecnologia no ensino de Matem?tica. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

BRASIL. Minist?rio da Educa??o. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a forma??o de professores. Bras?lia: MEC/SEF, Bras?lia, 1997.

______. Secretaria de Educa??o Fundamental. Par?metros curriculares nacionais: Matem?tica. Bras?lia: MEC/SEF, Bras?lia, 1998.

ORIENTA??ES CURRICULARES PARA O ENSINO M?DIO. Ci?ncias da Natureza Matem?tica e suas Tecnologias. Dispon?vel em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf>. Acesso em 12 ago 2013.

ROTEIRO DE ATIVIDADES

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?      O que acontece com a reta quando a est? entre 0 e 5? E o ?ngulo formado entre o eixo X e a reta? A reta ? crescente ou decrescente?

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?      O que acontece com a reta quando  a  est? entre -5 e 0? E o ?ngulo formado entre o eixo X e a reta? A reta ? crescente ou decrescente?

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?      O que acontece com a reta quando a=0? Classifique a fun??o.

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?      O que acontece com as retas quando a se movimenta e b n?o?

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?      O que acontece com as retas quando b se movimenta e a n?o?

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Como recurso complementar o professor pode consultar:

1.    SOARES, L.H.; Contribui??es do uso do GeoGebra no estudo de fun??es. Apresenta??o dispon?vel em: <http://www4.pucsp.br/geogebrala/submissao/pdfs/20LUISHAVELANGE_APRES.pdf> Acesso em 12 ago 2013.

2.    FARIAS, C. B. L; ALVES, E. L.. O ensino da fun??o afim com o aux?lio do software geogebra. XI Encontro Nacional de Educa??o Matem?tica. Dispon?vel em: < http://sbem.bruc.com.br/XIENEM/pdf/1905_1672_ID.pdf> Acesso em 12 ago 2013.

3.    O Site ?Dia a dia educa??o? abordando exemplos pr?ticos. Dispon?vel em:< http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=130> Acesso em 12 ago 2013.

4.    Um v?deo (Fun??o a fim no GeoGebra) dispon?vel em: <http://www.youtube.com/watch?v=NEc1_nEQKDM>.  Acesso em 12 ago 2013.

5.    ORIENTA??ES CURRICULARES PARA O ENSINO M?DIO. Ci?ncias da Natureza, Matem?tica e suas Tecnologias. Dispon?vel em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf>. Acesso em 12 ago 2013.

Avalie o aluno durante a aula investigativa e atrav?s do roteiro de atividade (Anexo). A avalia??o tamb?m poder? ser feita a partir de uma lista de exerc?cios pr?ticos propostos no decorrer da aula. Al?m disso, as constru??es dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente.