Para desenvolver as compet?ncias da ?rea 2 da matriz do ENEM, que ? utilizar o conhecimento geom?trico para realizar a leitura e a representa??o da realidade e agir sobre ela, especificamente em em seu H7 - identificar caracter?sticas de figuras planas ou espaciais, ? esperado para essa aula os seguintes objetivos:

• Levar o aluno a descobrir a f?rmula para determinar a soma dos ?ngulos internos de um pol?gono.
• Levar o aluno a descobrir a f?rmula para determinar a soma dos ?ngulos externos de um pol?gono.
• Resolver situa??es problemas utilizando a soma dos ?ngulos internos e externos de um pol?gono.

3 horas aula (50 minutos cada)

Para o desenvolvimento da aula o aluno deve, como pr? requisito, saber

• Identificar os pol?gonos.
• Identificar os elementos de um pol?gono.
• Somar os ?ngulos internos de um tri?ngulo.
• Identificar a diagonal de um pol?gono.
• Identificar ?ngulos internos e externos de um pol?gono.

A AULA

PRIMEIRO MOMENTO

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Professor, divida a turma em duplas, e em seguida, entregue para cada aluno da dupla uma folha contendo desenhos de um tri?ngulo, um quadril?tero, um pent?gono, um hex?gono, um hept?gono, um oct?gono, um ene?gono e um dec?gono, conforme figura 1 e outra folha contendo um quadro como o mostrado na figura 2,abaixo.

Ap?s a entrega das folhas, d? a seguinte instru??o aos alunos da classe:

• Divida cada pol?gono em tri?ngulos, tra?ando diagonais, utilizando apenas um de seus v?rtices, e complete a segunda e terceira coluna da tabela.

Figura 1: Modelo da folha contendo as figuras geom?tricas.

Fonte: Arquivo do autor.

Observa??o: Professor, se poss?vel amplie as figuras melhorando a visualiza??o para os alunos.

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Figura 2: Modelo do quadro a ser utilizado na atividade

Pol?gonos	N?mero de lados	N?mero de tri?ngulos	Soma dos ?ngulos internos
Tri?ngulo	?	?	?
Quadril?tero	?	?	?
Pent?gono	?	?	?
Hex?gono	?	?	?
Hept?gono	?	?	?
Oct?gono	?	?	?
Ene?gono	?	?	?
Dec?gono	?	?	?
Pol?gono de n lados	?	?	?

Fonte: Arquivo do autor

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Professor, durante essa atividade acompanhe as duplas, argumentando e questionando-as para que os alunos possam perceber as similaridades. Posteriormente, entregue o question?rio a seguir:

          1)  Quantas diagonais podem ser tra?adas usando apenas um v?rtice de um quadril?tero? E de um pent?gono?

          2)  Analisando o item anterior, podemos afirmar que existe uma rela??o entre o n?mero de diagonais e o n?mero de lados? Se existir, qual ??

Coment?rio: Espera-se que os alunos observem que existe uma rela??o entre o n?mero de diagonais que saem de apenas um v?rtice dos pol?gonos (d)  e o seu n?mero de lados (n) e que essa rela??o ? dada pela diferen?a entre o n?mero de lados e tr?s.

Professor, representando as diagonais por ?d? e o n?mero de lados por ?n?, pe?a aos alunos que escrevam uma senten?a matem?tica que represente a rela??o encontrada.

Padr?o de resposta esperada: Espera-se que eles cheguem a equa??o: d = n ? 3. 

           3) Usando as diagonais que partem de um ?nico v?rtice, quantos tri?ngulos s?o formados em um:

                                 a) Tri?ngulo?

                                 b) Um quadril?tero?

                                 c) Um Pent?gono?

           4) Observando o item anterior (3), podemos afirmar que existe uma rela??o entre o n?mero de tri?ngulos e o n?mero de lados? Se existir, qual ??

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Coment?rio: Espera-se que os alunos observem que existe uma rela??o entre o n?mero de lados (n) e a quantidade de tri?ngulos (t) dos pol?gonos e que, essa quantidade, ? dada por t=n?2.

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Professor, representando o n?mero de tri?ngulos por ?t? e o n?mero de lados por ?n?, pe?a aos alunos que escrevam uma senten?a matem?tica que represente a rela??o encontrada.

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Padr?o de resposta esperada: Espera-se que os alunos cheguem a equa??o: t = n ? 2.

             5) Sabendo que o quadrado possui quatro ?ngulos retos, qual ? a soma dos seus ?ngulos internos?

             6) Qual ? o valor da soma dos ?ngulos internos de um tri?ngulo?

             7) Qual ? o valor total do resultado das somas dos ?ngulos internos de todos os tri?ngulos encontrados no quadrado? Qual ? a rela??o entre esse total e a soma dos ?ngulos internos do quadrado?

             8) Quantos tri?ngulos foram tra?ados no pent?gono?

             9) Qual ? o valor total do resultado das somas dos ?ngulos internos de todos os tri?ngulos encontrados no pent?gono? Qual ? a rela??o do valor encontrado com a soma dos ?ngulos internos do pent?gono?

           10) Analisando os itens 5 a 9, ? poss?vel perceber a rela??o entre o n?mero de tri?ngulos formados pelas diagonais que saem de um ?nico v?rtice e a soma dos ?ngulos internos de um pol?gono? Qual ??

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Coment?rio: Espera-se que os alunos observem que existe uma rela??o entre o n?mero de tri?ngulos (t) e o valor da soma dos ?ngulos internos de um pol?gono (S) e que, essa soma ? dada pelo produto entre a quantidade de tri?ngulos formada e o valor da soma dos ?ngulos internos de um tri?ngulo (180?).

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Observa??o: Se os alunos n?o conseguirem chegar ? essa conclus?o, use os outros pol?gonos e/ou outros exemplos.

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Professor, depois de socializar e discutir o question?rio pe?a aos alunos que escrevam a express?o que permite calcular a soma dos ?ngulos internos de um pol?gono.

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Padr?o de resposta esperada: Espera-se que os alunos cheguem ? express?o S = t ? 180?.

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Explore a express?o, solicitando aos alunos que completem o quadro indicado como figura 2, completando a terceira coluna. Para a corre??o, tenha em m?os uma tabela igual a dos alunos tra?ada em papel?o ou papel pardo e cole-a no quadro.

Em seguida, pe?a a cada dupla para que escreva nessa tabela a sua resposta e, ao final, comente e ressalte a import?ncia da f?rmula sugerindo uma situa??o problema.

Por exemplo:

?_ ? bem dif?cil construirmos um pol?gono de 30 lados para se ver quantos tri?ngulos obter?amos ao tra?armos as diagonais, ent?o como determinar a soma utilizando a f?rmula??

Ap?s conferir o quadro, junto com os alunos, pergunte-lhes se ? poss?vel encontrar o valor dessa soma (S), utilizando apenas o n?mero de lados do pol?gono.

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Coment?rio: Professor, deixe as duplas pensarem na solu??o e, caso seja necess?rio,  indique que existem duas express?es que podem ser utilizadas: t = n ? 2 e S = t ? 180?.

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Promova um espa?o para a socializa??o das solu??es e resultados. ? esperado que os alunos substituam t na equa??o para o c?lculo de S por n ? 2, isto ?, espera-se algo pr?ximo a 

                                                                

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Promova um espa?o de discuss?o e pe?a-lhes que fa?am um compilado das conclus?es a que chegaram.

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SEGUNDO MOMENTO

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Professor, para essa etapa, entregue algumas situa??es problemas e determine um tempo para que as duplas as resolvam. Posteriormente, depois do tempo determinado, entregue as respostas e pe?a-lhes que corrijam as quest?es apresentadas. Se necess?rio d? dicas para essa corre??o.

Coment?rio: Ao dar o tempo para a corre??o, verifique se cada uma das duplas fez corre??o adequada.

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Sugest?es de situa??es problemas:

            1) Quantos lados possui um pol?gono cuja soma dos ?ngulos internos ? igual a 2 340??

            2) Qual a soma dos ?ngulos internos de um icos?gono (20 lados)?

            3) Lili desenhou o pol?gono abaixo (figura 3) e n?o sabe determinar qual ? a soma dos ?ngulos Ajude-a nessa tarefa. Quanto ser? a soma?

                                Figura 3: desenho do problema 3

                                    Fonte: Arquivo do autor.

            4) Observe o pol?gono inscrito na moeda de 25 centavos (figura 4):.

Figura 4: foto de uma moeda de 25 centavos

                                    

                                      Fonte: Arquivo do autor

                 Agora responda ou resolva as quest?es a seguir:

                              a)     Qual ? o nome do pol?gono inscrito?

                              b)     Quantas diagonais saem de um ?nico v?rtice desse pol?gono? Como ? feito o c?lculo?

                              c)     Calcule quantos tri?ngulos podem ser formados com as diagonais saindo de um ?nico v?rtice.

                              d)     Calcule o valor da soma dos ?ngulos internos do pol?gono inscrito.

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Observa??o: As situa??es acima s?o exemplos que podem ser apresentadas aos alunos. O professor pode utiliz?-las, modific?-las, acrescentar mais situa??es ou elaborar outras que achar mais conveniente.

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Padr?o de respostas esperadas para as situa??es problemas:

1. 15 lados (pentadec?gono).
2. 3240?.
3. 3060?.
4. a) Hept?gono; b) 4 diagonais; c) 5 tri?ngulos; d) 900?.

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TERCEIRO MOMENTO

 Entregue a cada dupla dois pol?gonos diferentes como na figura 5.

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Figura 5: Exemplo de pol?gonos

Fonte: Arquivo do autor

Observa??o: Os pol?gonos devem ser feitos em cartolina ou em outro papel mais firme.

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Professor, entregue a cada dupla, desenhados em uma folha de papel, dois pol?gonos diferentes. E, em seguida, solicite que:

1)     Recortem os ?ngulos externos.

2)     Colem no caderno os ?ngulos recortados juntando-os.

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Questione-os:

?_ O que voc? observaram? Que ?ngulo foi formado e qual a sua medida?

Padr?o de resposta esperada: Espera-se que os alunos colem os ?ngulos recortados e que encontrem semelhantes ao mostrado na figura 6. Espera-se tamb?m, que eles percebam que a figura formada ? um ?ngulo de uma volta, cuja medida ? 360?.

      Figura 6: Montagem de um ?ngulo, usando os ?ngulos externos.

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                          Fonte: Arquivo do autor                     

Observa??o: Se necess?rio, pegue uma figura em tamanho maior e diferente dos que foram entregues e indique como fazer, recortando, por exemplo, um dos ?ngulos.

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Solicite aos alunos que registrem a conclus?o no caderno. Em seguida, entregue algumas situa??es problemas para serem resolvidas pela dupla.

Novamente, entregue as respostas das situa??es problemas e pe?a-lhes para corrigirem as que erraram. Se necess?rio d? dicas para essa corre??o.

Coment?rio: Ao dar o tempo para a corre??o, verifique se cada uma das duplas fez corre??o adequada.

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Sugest?es de situa??es problemas.

                   1) Qual ? o pol?gono em que a soma das medidas dos ?ngulos internos ? o qu?druplo da soma das medidas dos ?ngulos externos?

                   2) A soma das medidas dos ?ngulos internos de um pol?gono ? 720?. Descubra quanto mede cada um dos seus ?ngulos internos.

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Padr?o de respostas esperadas para as situa??es problemas:

                    1) Dec?gono.                                                             2)  260?

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QUARTO MOMENTO

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Entregue uma cartolina para dupla e pe?a para os alunos constru?rem e recortarem um pol?gono de 11 lados e de 12 lados. A seguir, solicite que calculem o n?mero de tri?ngulos e a soma dos ?ngulos internos e externos de cada um deles e que verifiquem o resultado no desenho.

O professor pode utilizar como recurso os livros:  ?Brincando com Origami?,  de Ant?nio Carlos Genova?, e ?Os poliedros de Plat?o e os Dedos da M?o?, de Nilson Jos? Machado, que fornecem textos interessantes sobre pol?gonos e atividades estimuladoras que podem, inclusive, ser inseridas em aula.

Para trabalhar com o livro ?Os poliedros de Plat?o e os Dedos da M?o?, o professor pode ainda utilizar a sequ?ncia did?tica, fornecida pelo recurso dispon?vel em  <http://sites.aticascipione.com.br/ap/paradidaticos/vivendo_matematica/poliedros/poliedros.htm>, acesso em 15 de out. 2013. Nesse recurso, o aluno pode clicar, no ?ndice, sobre os cap?tulos do livro. Com essa a??o ele ? redirecionado e poder? ler sobre o tema, responder quest?es e resolver problemas. Esse recurso tamb?m aborda outros assuntos que poder?o ser explorados pelo professor.

A avalia??o dever? ser feita de modo cont?nuo, cumulativa e sistem?tica em todo o processo. Deve-se observar a participa??o efetiva do aluno em dupla e individualmente em todas as atividades propostas.

O professor poder? tamb?m, adotar como crit?rio para avalia??o:

• O desempenho do aluno nas atividades em dupla.
• A motiva??o em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a corre??o dos exerc?cios.
• A criatividade na constru??o dos pol?gonos de 11 lados e de 12 lados.

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Bibliografia

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MACHADO, N.J.Os poliedros de Plat?o e os dedos da m?o. S?o Paulo: Editora Scipione, 1996.(Cole??o Vivendo a Matem?tica).

GENOVA, A. C. Brincando com Origami - Aprendendo com Dobraduras.  7. ed.  S?o Paulo: Editora Global,  2002.