Produtos Notáveis no CAp UFRJ: Explorando figuras para calcular o quadrado da diferença de dois term
Autor e Co-autor(es)
Fernando Celso Villar Marinho, Lilian Káram Parente Cury Spiller
Estrutura Curricular
| Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
|---|---|---|
| Ensino Fundamental Final | Matemática | Álgebra |
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
Relacionar a área de um todo com a composição da soma e/ou diferença das áreas das partes do todo.
Concluir que (a – b)² = a² – 2ab + b².
Desenvolver, algebricamente, o quadrado da diferença de dois termos e transformar um trinômio quadrado perfeito no quadrado da diferença de dois termos.
Duração das atividades
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
Áreas de quadriláteros: quadrado e retângulo
Operações com números racionais
Operações com polinômios
Estratégias e recursos da aula
Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência e que têm regras definidas que facilitam sua determinação.
Inicie a aula propondo o cálculo da área destinada à foto de um porta-retrato. O porta-retrato é formado por um quadrado amarelo e dois retângulos — componentes da moldura — e o quadrado azul — área destinada para colocação da foto.
Nota: Caso os alunos não se recordem do cálculo das áreas dos quadriláteros em questão, faça uma breve revisão sobre o assunto.
Atribua valores para as medidas dos lados dos quadrados. Por exemplo, 4 unidades para o lado do porta-retrato e 1 unidade para o quadrado amarelo.
Indique esses valores na figura e, com a participação dos alunos, indique também as outras medidas, conforme a figura abaixo.
Mostre que a área do quadrado azul pode ser encontrada da seguinte forma:
Perceber que a área do quadrado azul é igual à área do porta-retrato, quadrado maior, menos a área das partes que formam a moldura (quadrado amarelo e os dois retângulos):
Assim temos:
Área = 42 – [12 + 3.1 + 3.1) = 42 – (12 + 2.3.1) =
42 – [12 + 3.1 + 3.1) = 16 – (1 + 3 + 3) = 16 – 7 = 9
Nota: Caso os alunos não percebam, mostre que a área azul, nessa situação, poderia ter sido calculada simplesmente fazendo: (4 – 1)2 = 32 = 9
Esse exemplo é feito somente para percepção da montagem da área a ser determinada.
Proponha agora a situação em que não se conhece a medida do lado do quadrado amarelo e que, portanto, será indicada pela variável a.
Altere as medidas indicadas na figura anterior:
Com a participação dos alunos, monte a igualdade:
(4 – a)2 = 42 – (a2 + [a(4 – a) + a(4 – a)]) = 42 – (a2 + 4.a – a2 + 4.a – a2) = 42 – (– a2 + 2.4.a) =
= 42 + a2 – 2.4.a = 42 – 2.4.a + a2
Concluindo que: (4 – a)2 = 42 – 2.4.a + a2
Por ser um procedimento longo e que requer atenção, faça outra construção, considerando a medida b para o lado do porta-retrato e a medida 2 para o quadrado amarelo.
Refaça o desenvolvimento e conclua que:
(2 – b)2 = 22 – 2.2.b + b2
Finalmente, atribua as variáveis a e b, para as medidas dos lados do porta-retrato e do quadrado amarelo e, sempre com a participação dos alunos, faça o desenvolvimento da composição das áreas e conclua:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Nomeie os dois termos da igualdade:
(a – b)2, lê-se: quadrado da diferença de dois termos
a2 – 2ab + b2, lê-se: trinômio quadrado perfeito
Nota: Registre e enfatize a desigualdade:
Para obter uma lista de exercícios propostos, clique aqui.
Avaliação
A avaliação do aluno pode ser feita levando em consideração:
– participação em aula
– resolução de listas de exercícios
– trabalhos em grupo ou individuais, tais como:
• desenhar, numa folha de papel quadriculado, o quadrado formado por (a – b)², com valores de a e b propostos pelo professor
• resolver questões desafio em aula.