Portal do Professor

Atrav?s da an?lise gr?fica de fun??es seno e cosseno, o aluno poder?:

• compreender comportamentos peri?dicos;
• identificar dom?nios e imagens;
• verificar os efeitos da varia??o dos par?metros das express?es alg?bricas destas fun??es;
• reconhecer a rela??o existente entre as fun??es seno e cosseno.

Os alunos j? devem ter estudado a teoria a respeito de fun??es e de trigonometria. Seria interessante, ainda, que houvesse uma aula introdut?ria a respeito do comportamento das fun??es seno e cosseno na sua forma mais simples, ou seja, f(x) = sen(x) e f(x) = cos(x). Desta forma, a sen?ide e a cossen?ide n?o seriam apresentadas para os alunos isentas de significado. Os conceitos de fun??o par e de fun??o ?mpar tamb?m ser?o necess?rios.

O objetivo central desta aula ? analisar graficamente o efeito dos par?metros envolvidos nas fun??es seno e cosseno, isto ?, os efeitos de a, b, c e d na express?o f(x) = a.sen(bx + c) + d ou na express?o f(x) = a.cos(bx + c) + d.

Esta atividade ? baseada em um estudo-dirigido, que pode ser desenvolvido em um laborat?rio de inform?tica com a participa??o direta dos alunos ou em sala de aula, tendo como mediador o professor da turma, projetando as telas necess?rias e incitando a participa??o indireta dos alunos. Caso os exerc?cios sejam realizados em laborat?rio, o ideal ? que os alunos os desenvolvam em duplas, pois o debate entre eles ? uma das principais estrat?gias pedag?gicas utilizadas. O estudo-dirigido est? dispon?vel para download no link:

www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/trigo.pdf

Caso as fun??es seno e cosseno n?o tenham sido estudadas previamente, ser? necess?rio defini-las. A seguir t?m-se sugest?es de defini??es.

As fun??es sen de R em R e cos de R em R s?o chamadas seno e cosseno e definidas, respectivamente, a partir da abscissa (x) e da ordenada (y) de um ponto da circunfer?ncia unit?ria. Se percorrermos sobre a circunfer?ncia unit?ria um dado comprimento t real, no sentido positivo (anti-hor?rio) se t > 0 e no sentido negativo (hor?rio) se t < 0, E(t) ser? o ponto atingido da circunfer?ncia unit?ria cujas coordenadas s?o x e y. Desta forma, tem-se x = cos(t) e y = sen(t).

Al?m da defini??o, tamb?m ? importante destacar que as fun??es seno e cosseno, s?o peri?dicas, isto ?, s?o fun??es para as quais existe um n?mero T ? 0, tal que f(t+kT) = f(t) para todo t ? R e todo k ? Z. O menor n?mero T positivo tal que isto aconte?a, ? chamado de per?odo da fun??o. No caso das fun??es seno e cosseno, o per?odo ? 2?.

Sinalizamos a import?ncia da an?lise gr?fica para as fun??es seno e cosseno, uma vez que o gr?fico proporciona a visualiza??o da periodicidade das fun??es, dos efeitos dos par?metros envolvidos nas express?es alg?bricas e da rela??o entre o seno e o cosseno.

A atividade 1, descrita abaixo, trata inicialmente da fun??o seno.

O gr?fico trabalhado nesta atividade se encontra na tela trigo_1, dispon?vel para download no link:

www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/trigo.rar

O s?mbolo ? aparece na frente da vari?vel x e das constantes a, b, c e d, pois o software o coloca automaticamente na frente dos identificadores.

Solicita-se que os alunos definam fun??o par e fun??o ?mpar. Sugerem-se as seguintes defini??es.

Uma fun??o ? denominada par quando f(x) = f(-x) e ?mpar quando f(x) = - f(x).

A atividade 2, segue o mesmo racioc?nio da atividade 1, por?m analisando a fun??o cosseno. Observe a seguir.

O gr?fico trabalhado nesta atividade se encontra na tela trigo_2, dispon?vel para download no link:

http://ww w.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/trigo.rar

Em ambas as atividades, a partir do que foi proposto, os alunos poder?o avaliar as implica?? es da varia??o dos quatro par?metros analisados, sejam elas relacionadas diretamente ?s altera??es no tra?ado do gr?fico, sejam relacionadas ?s caracter?sticas da fun??o (imagem e per?odo). ? interessante solicitar aos alunos que escrevam com suas pr?prias palavras estas implica??es. Em seguida, caso necess?rio, deve-se induzi-los aos seguintes resultados:

• Par?metro a: Varia??o da amplitude. Altera a imagem da fun??o.
• Par?metro b: Varia??o da frequ?ncia. Altera o per?odo da fun??o.
• Par?metro c: Transla??o horizontal. N?o altera nem imagem, nem per?odo.
• Par?metro d: Transla??o vertical. Altera a imagem da fun??o.

Para o funcionamento das telas, ser? necess?rio o software Tabulae, dispon?vel em vers?o gratuita para download no link http://www.cap.ufrj.br/matematica/Material/tabulae.html, e as telas apresentadas anteriormente. Cabe destacar que n?o ? necess?rio estar conectado ? Internet para a realiza??o das atividades.

O material completo est? dispon?vel para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/trigo.rar

Veja tamb?m as seguintes aulas que complementam este assunto:

? Estudo de Fun??es no CAp UFRJ: Introdu??o
? Estudo de Fun??es no CAp UFRJ: Fun??es Polinomiais do 1? Grau
? Estudo de Fun??es no CAp UFRJ: Fun??es Modulares
? Estudo de Fun??es no CAp UFRJ: Fun??es Exponenciais e Logar?tmicas
? Estudo de Fun??es no CAp UFRJ: Fun??es Inversas

Para iniciar o processo de avalia??o, deve-se observar o trabalho dos alunos durante todo o processo. ? importante que os alunos debatam os resultados com todo o grupo, critiquem e tirem suas pr?prias conclus?es. Desta maneira, tamb?m estar? sendo trabalhada a capacidade de comunica??o matem?tica e a argumenta??o dos alunos.

Al?m disto, para uma avalia??o mais completa, o professor pode abordar o comportamento gr?fico e os efeitos dos par?metros da fun??o tangente, podendo estender ainda para as outras fun??es trigonom?tricas (secante, cossecante e cotangente). Desta forma, os alunos podem exercitar e aplicar o que foi trabalhado nas atividades.