An?lise Combinat?ria
Autor e Co-autor(es)
Marcos Paim, Ezequiel Menta
Estrutura Curricular
| Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
|---|---|---|
| Ensino M?dio | Matem?tica | An?lise de dados e probabilidade |
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
A conceituar, diferenciar e aplicar opera??es b?sicas - especialmente de Arranjo, Combina??o e Permuta??o - realizadas no ?mbito An?lise Combinat?ria.
Duração das atividades
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
Princ?pio fundamental da contagem e fatorial.
Estratégias e recursos da aula
Na apresenta??o do conte?do, ? importante esclarecer aos alunos sobre um dos principais usos da an?lise combinat?ria, a tomada de decis?es. Uma outra aplica??o da an?lise combinat?ria, presente na vida dos alunos, ? a da criptografia e a utiliza??o de senhas. Uma pergunta interessante a se fazer nesse sentido ?: O que ? uma senha forte? O que ? uma senha fraca? Espera-se que eles cheguem a conclus?o que uma senha composta de letras ? mais forte do que uma composta de n?meros.
Na an?lise combinat?ria busca-se resolver problemas sobre a possibilidade de construir arranjos de objetos para satisfazer condi??es espec?ficas.
Os tr?s tipos principais de agrupamentos s?o o arranjo, a permuta??o e a combina??o. Para esta aula, o objetivo ? trabalhar os agrupamentos em sua forma mais simples. Esses conceitos podem ser apresentados em sala de aula. Em uma segunda etapa ser? produtivo realizar atividades no laborat?rio de inform?tica. Vamos aos conceitos b?sicos de Arranjo, Combina??o e Permuta??o.
Arranjo Simples
Podemos calcular a quantidade poss?vel de agrupamentos com elementos distintos de um determinado conjunto.
Come?ando de uma forma simples. Por exemplo o conjunto A= {1,2,3}, tomados 2 a 2. Que aranjos seriam poss?veis?
(1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2).
Vamos ver como eles poderiam ser organizados graficamente, em uma ?rvore de Possibilidades:
Temos 3 x 2 = 6 arranjos. Assim de acordo com a nota??o padr?o, A 3,2 = 6 .
? poss?vel reduzir calcular rapidamente a quantidade de arranjos usando a f?rmula:
A n,p = n!
(n-p)!
Por exemplo, se tivermos um conjunto com 4 termos e quisermos formar arranjos de 3 a 3:
A 4,3 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1! = 24
(4-3)! 1!
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Combina??o Simples
Na combina??o, diferentemente do Arranjo, os agrupamentos devem ser distintos, n?o importando a ordem.
Observe, no mesmo exemplo usad o anteriormente.
A={1,2,3} forma os pares (1,2), (1,3) e (2,3).
Como voc? pode verificar, n?o houve par repetido. Basicamente ? essa a diferen?a entre Combina??o e Arranjo.
? poss?vel reduzir calcular rapidamente a quantidade de combina??es usando a f?rmula:
C n,p = n!
p!(n-p)!
Por exemplo, se tivermos um conjunto com 7 termos e quisermos formar combina??es de 3 a 3:
C 7,3 = 7! = 7 x 6 x 5 x 4! = 35
3!(7-3)! 3! 4!
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Permuta??o Simples
Uma permuta??o simples s?o agrupamentos distintos entre si pela ordem, tomando todos os elementos do conjunto.
Podemos calcular a quantidade de permuta??es usando a f?rmula:
P n = n!
Para calcular o valor de 4 permuta??es, P 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
Por exemplo, usando 4 letras diferentes para criar uma senha, ter?amos 24 permuta??es poss?veis.
Observe que ? f?cil confundir permuta??es com combina??es quando entendidas no sentido do uso cotidiano na linguagem.
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Recursos de Inform?tica
Sugerimos fortemente o uso do seguinte objeto de aprendizagem. Al?m de oferecer apoio interativo ao conte?do, apresenta aplica??es no cotidiano.
Ele ? oferecido nas vers?es Arranjo, Combina??o e Permuta??o. Pode-se orientar o uso do recurso em etapas, acompanhadas por toda a turma ou permitir que os alunos fa?am explora??es livres.
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Material referente ao conte?do de Arranjo.
Dispon?vel em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf
Outros materiais poder?o ser localizados neste endere?o http://sites.unifra.br/rived/ObjetosPedag%C3%B3gicos/Matem%C3%A1tica/tabid/428/language/pt-BR/Default.aspx
Recurso dispon?vel em:
Recursos Educacionais
| Nome | Tipo |
|---|---|
| Combinat | Software Educacional |
Recursos Complementares
O professor pode utilizar recursos como os softwares de mapas conceituais (http://pt.wikipedia.org/wiki/Mapa_conceitual) para que os alunos criem ?rvores de possibilidades, uma representa??o gr?fica que pode facilitar significativamente o entendimento dos conceitos, especialmente na etapa inicial das atividades. Uma segunda etapa desse trabalho com os mapas conceituais poderia integrar os conceitos de Arranjo, Combina??o e Permuta??o, al?m de incluir alguns exemplos de c?culo em cada mapa conceitual.