Portal do Professor

? Calcular a ?rea superficial da esfera
? Calcular o volume da esfera
? Determinar o c?rculo m?ximo da esfera
? Criar uma sec??o plana de uma esfera
? Introdu??o ao uso do software de geometria din?mica ?Calques 3D? (livre) no processo de estudo das transforma??es geom?tricas, estimulando-se o treinamento e a familiaridade em aulas no laborat?rio inform?tica.

? No??o de ?rea e volume
? Circunfer?ncia
? Teorema de Pit?goras

Primeira aula

               Ol? Professor, vamos apresentar uma das formas para trabalhar o assunto ?Esfera? com seus alunos. Apresente a eles uma situa??o problema para estimular a curiosidade sobre o assunto, por exemplo:

?Uma melancia ? composta de 95% de ?gua. Determine o volume de ?gua que existe numa melancia esf?rica de 15 cm de raio.?

               Professor, apresente a eles o v?deo da aula 65 do Novo TeleCurso, caso n?o tenha na escola o mesmo esta dispon?vel no s?tio http://novotelecurso.blogspot.com/2009/07/piramide-cone-e-esfera.html, outro v?deo interessante esta dispon?vel em http://www.youtube.com/watch?v=OOICu7ZsGl0&feature=related (parte 1) e http://www.youtube.com/watch?v=e8CCC2nn9BQ&feature=related (parte 2). Ap?s assistirem ao v?deo, pe?a a eles que acessem o s?tio http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial23.php, que tem um aprofundamento na parte te?rica. Outros s?tios sobre o assunto esta dispon?vel em:
                    * http://www.colegioweb.com.br/matematica/esfera1  
                    * http://www.colegioweb.com.br/matematica/cunha-esferica  
                    * http://www.colegioweb.com.br/matematica/secao-da-esfera
                    * http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_15t.php  
                    * http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/esfera/esfera.htm  
                    * http://www.brasilescola.com/matematica/esfera.htm  

               Alguns alunos perguntam pelo m?todo de determina??o da f?rmula do volume da esfera, caso isto aconte?a ou voc?, Professor, achar conveniente, apresente a eles o v?deo http://www.youtube.com/watch?v=LcOZ29j6I00.

Duas aulas

               Professor, para consolidar os conhecimentos te?ricos vistos, vamos realizar uma atividade utilizando um software de geometria din?mica, http://www.geometriadinamica.com/, o Calques 3D. Trata-se de um software de geometria espacial para se utilizado em ambiente de sala de aula, que disp?e de um conjunto de comandos de cria??o de objetos e de constru??o onde ? poss?vel marcar e medir ?ngulos, recuperar o hist?rico de uma constru??o, fazer macro-constru??es etc. O Calques 3D atende a um conjunto diverso de objetivos did?ticos que contribuem para que os alunos desenvolvam seu pensamento geom?trico, com destaque para atividades relacionadas de: Planejar ? Explorar ? Modelar ? Conjecturar ? Definir ? Argumentar ? Demonstrar. Esta dispon?vel em http://www.calques3d.org/download/setup.zip.  Alguns exemplos de atividades que podem ser desenvolvidas com o aplicativo est?o dispon?veis em http://www.calques3d.org/examples.html. No caso desta atividade, tenha instalado previamente o Calques 3D em todos os computadores do laborat?rio de inform?tica. Existem alguns tutoriais, sobre o software, dispon?veis em:
? Refer?ncia nacional do Calques 3D: http://www.professores.uff.br/hjbortol/calques3d/  
? Calques 3D ? Ponto Livre (dar nome e suprimir): http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?ponto-livre-dar-nome-e-suprimir-0402356CD0913326?types=A&

? Calques 3D ? Retas e Segmentos: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?retas-e-segmentos-04023966D4913326?types=A&  
? Calques 3D ? Paralelas e Perpendiculares: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?paralelas-e-perpendiculares-0402316AD4913326?types=A&  

? Calques 3D ? Pol?gonos, Circunfer?ncias e Arcos: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?poligonos-circunferencias-e-arcos-0402306CD4913326?types=A&

? Ponto Sim?trico e Transla??o: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?ponto-simetrico-e-translacao-0402316ED4913326?types=A&  

? Planos 1: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?planos-1-04023172D4913326?types=A&  

? Planos (2) e Esfera: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?planos-2-e-esfera-0402356AD8913326?types=A&  

? Calques 3D ? Medidas, Hist?rico e Volume: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?medidas-historico-e-volume-04023466DC913326?types=A&  

? C?lculo do Volume do Tetraedro: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?construcao-do-triangulo-equilatero-04023762DC913326?types=A&  

? Constru??o do Tri?ngulo Is?sce les: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?construcao-do-triangulo-isosceles-0402326EE0913326?types=A&   

? Losango,Tri?ngulo e Trap?zio Is?sceles na mesma Constru??o: http://www.youtube.com/watch?v=coRixnKaua8  

? Constru??o do Tri?ngulo Equil?tero: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?construcao-do-triangulo-equilatero-04023762DC913326?types=A&  

? Atributos e Centro de Circunfer?ncia: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d?atributos-e-centro-de-circunferencia-04023472E0913326?types=A&  

? Trap?zio is?sceles: http://www.youtube.com/watch?v=JHWlAf3wvLI&feature=related  

               Professor, vamos fazer alguns estudos da esfera utilizando o Calques 3D, siga os seguintes passos:

Passo 1: Inicie o aplicativo. A janela com a ?rea de trabalho ? chamada de Universo.

Passo 2: Retirar as paredes da ?rea de trabalho. Clique com o mouse no ?cone

na segunda barra de ?cones e selecione a op??o ?Nenhum?.

Passo 3: Acrescentado pontos no plano.

     ? No menu ?Objeto?, selecione a op??o ?Ponto? ou clique com o mouse no ?cone

na segunda barra de ?cones, abaixo do menu principal. Note que apareceram as paredes para fixa??o dos pontos, mas logo ap?s a fixa??o dos pontos, elas desaparecer?o novamente. O primeiro clique a ser dado ? para selecionar em qual plano ser? criado o ponto, clique com o mouse no plano horizontal e em seguido um segundo para fixar o ponto.

     ? Clique com o mouse no ?cone

na segunda barra de ?cones, abaixo do menu principal ou pressione a tecla ?Esc? (Tarefa padr?o) e, em seguida, clique no ponto criado. Observe que no lado direito da tela, uma janela de ?Atributos?. Clique no atributo ?Nome? e altere no nome para C, ou seja, criamos um ponto que se chama C. Nesta janela tamb?m podemos mudar atributos como cor, visibilidade e forma do objeto.

     ? Para exibir o nome do ponto, no menu ?Explora??o? selecione a op??o ?R?tulo? e em seguida clique no ponto C.

     ? Pe?a aos alunos que criem um segundo ponto, P.

Passo 4: Criar uma esfera de centro C e uma das extremidades P. No menu ?Objeto?, selecione a op??o ?Volume? e em seguida a op??o ?Esfera? ou clique com o mouse no ?cone

na segunda barra de ?cones. Clique no primeiro no ponto C, o centro da esfera, e em seguida no ponto P.

               Professor, comente com seus alunos que:
                     ? A esfera criada pode ser movimentada. Clique com o mouse no ?cone

na segunda barra de ?cones, em seguida clique e segure em no ponto P e movimente-o. Professor, pe?a aos seus alunos que fa?am a movimenta??o com o segundo ponto criado.

                    ? Abaixo da segunda barra de ?cones, temos um controle deslizante

este controle tem a fun??o de movimentar o objeto criado na horizontal, pode-se tamb?m utilizar um atalho pressi onando as setas para direita ou para esquerda. E no lado esquerdo, outro um controle deslizante na vertical (atalho pressionando as setas para cima ou para baixo). Pe?a aos alunos que movimentem o objeto criado, com o intuito de ambientarem com o software.

                    ? Pe?a aos alunos para observarem o ponto P quando esta na parte de tr?s da esfera, a linha do equador ficar? pontilhada.

               Professor, podemos configurar a precis?o da quantidade de casas decimais nas opera??es matem?tica. No menu ?Arquivo?, selecione a op??o ?Op??es? e ser? mostrada a janela ?Prefer?ncias?. No lado esquerdo da janela, no item ?Views? selecione a op??o ?MathPad? e altere a op??o ?Valor Real? para 4 casas decimais; em ?Unidades?, ?Angular? para Graus e ?Linear? para cm. Em seguida clique com o mouse em ?Close?.

Passo 5: Medir o raio da esfera. No menu ?Explora??o? selecione a op??o ?Medida?. Na ?rea de trabalho, clique no bot?o direito do mouse e ser? apresentado o menu suspenso com as op??es ??ngulo?, ?Dist?ncia?, ?Comprimento?, ??rea? e ?Volume?, selecione a op??o ?Dist?ncia? e em clique no ponto C e em seguida no ponto P. Ser? mostrada uma janela com o t?tulo ?MathPad?, que funciona como uma folha de c?lculo. Note que apareceu a express?o, no nosso exemplo, d(C,P) = 2.7745 cm. Professor, oriente seus alunos para clicar e arrastar a express?o para uma posi??o mais abaixo na janela porque a pr?xima express?o a ser inclu?da, ser? no mesmo local. Mostre que ao clicar na express?o criada, aparece um segmento de reta ligando o ponto C ao ponto P.

               Pe?a a eles que cliquem com o bot?o direito do mouse na express?o criada. Se r? mostrada uma janela e nela, selecion e a op??o ?Propriedades?. Ser? mostrada a janela ?Propriedades do Objeto?. Em ?Vari?veis?, digite ?Raio? e clique em ?Ok?. A respeito do nome das vari?veis criadas, o Calques 3D faz diferen?a com nome utilizando letras mai?sculas e min?sculas, portanto tenha cuidado na defini??o das vari?veis.

               Professor, pe?a aos alunos que cliquem na janela ?Universo?, movimentem os pontos C e P (ver detalhe no Passo 4); observem o que acontece a medida do raio.

Passo 6: Inserindo um coment?rio na janela ?MathPad?. 
     ? Clicando com o bot?o direito do mouse em um local livre na janela ?MathPad? aparecer? a janela com as op??es ?Inserir um coment?rio? e ?Inserir express?o?.

     ? Selecione ?Inserir coment?rio?, aparecer? um r?tulo com a mensagem ?novo coment?rio...?,
     ? D? um duplo clique e altere o texto, por exemplo: ?Estudo da esfera?.
     ? D? um clique e arraste para o local desejado.

Passo 7: Criar um ponto sobre a esfera. No menu ?Constru??o?, coloque o mouse sobre a op??o ?Point on? e selecione a op??o ?Esfera?. Nomeie o ponto como A e mostre o seu r?tulo, veja passo 3.

Passo 8: Criar um plano. No menu ?Objeto?, selecione a op??o ?Plano? ou clique com o mouse no ?cone

na segunda barra de ?cones. Clique no ponto C, depois no ponto P e em seguida no ponto A.

Passo 9: Determinar o c?rculo m?ximo da esfera. Sabemos que o plano que intercepta a esfera cont?m seu centro, ent?o a sec??o obtida ? chamada c?rculo m?ximo. No menu ?Constru??o?, coloque o mouse sobre a op??o ?Interse??o? e selecione a op??o ?Plano-Esfera?. Clique no plano criado e em seguida na esfera. Nomeie o c?rculo m?ximo para CM.

               Professor, na janela ?MathPad? podemos utilizar constantes, operadores e fun??es, conforme abaixo:
     ? Constantes matem?ticas: E e Pi
     ? Operadores aritm?ticos: +, -, *,/
     ? Resto de divis?o: %
     ? Potencia??o: **
     ? Opera??es l?gicas e rela??es: <, >, =, >, <
     ? Fun??es:
          * cos (x) ? retorna o valor do cosseno de x.
          * sin (x) ? retorna o valor do seno de x.
          * tan (x) ? retorna o valor da tangente de x.
          * atan (x) ? retorna o valor do arco tangente de x.
          * asin (x) ? retorna o valor do arco seno de x.
          * acos (x) ? retorna o valor do arco cosseno de x.
          * exp (x) ? retorna o valor ?
          * ln (x) ? retorna o valor do logaritmo neperiano de x.
          * lg (x) ? retorna o valor do loga ritmo decimal de x.
          * sqrt (x) ? retorna o valor da raiz quadrada de x.
          * abs (x) ? retorna o valor absoluto de x.
          * frac (x) ? retorna a parte decimal de x
          * trunc (x) ? retorna a parte de inteira de x
          * floor(x) ? retorna o inteiro o maior que ? menor do que ou igual a X
          * ceil (x) ? retorna o inteiro o menor que ? mais grande do que ou igual a X
          * round (x, precis?o) ? retornos um n?mero arredondado a um n?mero especificado de lugares decimais
          * sgn (x) ? retorna 1 se x > 0, -1 se x < 0 e 0 se x=0.
          * neg (x) ? mude o sinal de x
     ? Vari?veis: antes de usar uma vari?vel em uma express?o, voc? tem que defini-la atribuindo um nome vari?vel a todos os valores (isto ?. Dist?ncia, volume, uma outra express?o, etc.) dispon?veis na vista de ?MathPad?. Voc? pode fazer um clique duplo em um valor e ajustar o nome na caixa de di?logo. Uma vez que feita, essa vari?vel est? dispon?vel para o uso em uma express?o. Voc? pode selecion?-lo pelo menu situado abaixo do campo da edi??o na caixa de di?logo ou apenas datilografando a. N?o h? nenhuma verifica??o autom?tica de nomes vari?veis duplicados, assim que voc? ter? que faz?-la voc? mesmo.
     ? Observa??o: Extrair valores de uma equa??o, por exemplo: o valor da abscissa ou ordenada de um ponto da equa??o de uma esfera n?o ? (ainda) poss?vel.

Passo 10: Determinar o comprimento do c?rculo m?ximo da esfera. Podemos fazer isto de duas formas:

1? forma: Vamos utilizar a f?rmula para determinar o comprimento de uma circunfer?ncia.
     ?  Clicando com o bot?o direito do mouse em um local livre na janela ?MathPad? aparecer? a janela com as op??es ?Inserir um coment?rio? e ?Inserir express?o?.
     ? Selecione ?Inserir express?o?, ser? acrescentada na janela uma express?o ?1+1=2.0000?.
     ? Clique na express?o criada e em seguida, clique com o bot?o direito do mouse. Ser? mostrada uma janela e nela, selecione a op??o ?Propriedades?. Ser?    mostrada a janela ?Propriedades do Objeto?.

     ? Como vamos calcular o comprimento da circunfer?ncia, em ?Vari?veis?, digite ?cCM1?, em ?Defini??o? digite 2*Pi*Raio, que equivale ? C = 2?r, em seguida, clique em ?Ok?.

2? forma: Determinar o comprimento do c?rculo m?ximo.      ? Clique na janela ?Universo?.

     ? No menu ?Explora??o? selecione a op??o ?Medida?.
     ? Na ?rea de trabalho, clique no bot?o direito do mouse e ser? apresentado o menu suspenso, selecione a op??o ?Comprimento? e em seguida clique no c?rculo m?ximo.

     ? Na express?o criada, altere o nome da vari?vel para ?cCM2?.

               Professor, pe?a aos seus alunos que clique na express?o criada e observem o c?rculo determinado no plano. Observem t amb?m os resultados na janela ?MathPad?. Pe?a a eles qu e cliquem na janela ?Universo? e movam o pontos e observem o s valores na janela ?MathPad?.

Passo 11: Calcular a ?rea da esfera. Podemos fazer isto de duas formas:

1? forma: Vamos utilizar a f?rmula para determinar a ?rea da superf?cie de uma esfera. Inserir uma express?o com a f?rmula da ?rea da superf?cie de uma esfera, ou seja, A=4?r2, para isto, informe ?Area1Esf? em ?Vari?vel? e em ?Defini??o? informe 4*Pi*Raio**2.

2? forma: Determinar a ?rea da superf?cie de uma esfera.
     ? Clique na janela ?Universo?.
     ? No menu ?Explora??o? selecione a op??o ?Medida?.

     ? Na ?rea de trabalho, clique no bot?o direito do mouse e ser? apresentado o menu suspenso, selecione a op??o ??rea? e em seguida clique na esfera.

     ? Na express?o criada, altere o nome da vari?vel para ?Area2Esf?.

               Professor, pe?a aos seus alunos que clique na express?o criada e observem a esfera. Observem tamb?m os resultados na janela ?MathPad?. Pe?a a eles que cliquem na janela ?Universo? e movam o pontos e observem os valores na janela ?MathPad?.

Passo 12: Calcular o volume da esfera. Podemos fazer isto de duas formas:

1? forma: Vamos utilizar a f?rmula para determinar o volume de uma esfera. < br />Inserir uma express?o com a f?rmula do volume de uma esfera, ou seja, V = 4/3?r3, para isto, informe ?Volume1Esf? em ?Vari?vel? e em ?Defini??o? informe 4/3*Pi*Raio**3.

2? forma: Determinar o volume da esfera.
     ?Clique na janela ?Universo?.

     ?No menu ?Explora??o? selecione a op??o ?Medida?.

     ?Na ?rea de trabalho, clique no bot?o direito do mouse e ser? apresentado o menu suspenso, selecione a op??o ?Volume? e em seguida clique na esfera.

     ?Na express?o criada, altere o nome da vari?vel para ?Volume2Esf?.

Passo 13: Criar uma reta que passa pelos pontos C e P. No menu ?Objeto? selecione a op??o reta ou clique no ?cone , em seguida, clique no ponto C e depois no ponto P. Altere no nome da reta para ?a?.

Passo 14: Criar um ponto sobre a reta a.      ? No menu ?Constru??o?, coloque o mouse sobre a op??o ?Point on? e selecione a op??o ?Reta?;
     ? Clique sobre a reta ?a?, em seguida clique mais uma vez para fixa o ponto;

     ?Altere o nome do ponto para ?Mova-me?, a ?Cor? para uma cor clara.

     ?Para exibir o nome do ponto, no menu ?Explora??o?, selecione a op??o ?R?tulo? e em seguida clique no ponto criado.

Passo 15: Criar um plano perpendicular ? reta a que passa pelo ponto ?Mova-me?. No menu ?Constru??o? selecione a op??o ?Plano perpendicular? ou clique no ?cone

clique na reta ?a? e em seguida no ponto ?Mova-me?. Professor, pe?a aos seus alunos que movimentem o ponto ?Mova-me? e colocando-o em qualquer posi??o no interior da esfera. Altere o nome do plano para ?Fatia?.

Passo 16: Criar uma sec??o plana de uma esfera, ou seja, criar as intersec??es do plano com a esfera. No menu ?Co nstru??o?, coloque o mouse sobre a op??o ?Interse??o? e selecione a op??o ?Plano-Esfera?. Clique na esfera e em seguida no plano ?Fatia?. Na janela atributo, altere o nome da circunfer?ncia para ?Seccao?, a ?Forma? por uma de espessura mais grossa e a cor.

               Professor, com as id?ias explanadas aqui, voc? poder? pedir aos seus alunos par a calcular:
                     * O raio da sec??o plana, o comprimento da circunfer?ncia e a ?rea;
                    * A ?rea da zona esf?rica;
                    * A ?rea da calota esf?rica;
                    * O volume da cunha esf?rica.

               Elabore uma lista de exerc?cio para que eles possam praticar um pouco. Retome tamb?m o problema colocado no in?cio da aula para que eles possam resolv?-lo.

? Bibliografia
1) Matem?tica, volume ?nico: constru??o e significado. Coordena??o t?cnica Jos? Luiz Pastore Mello. Editora Moderna, S?o Paulo.

? S?tios recomendados
1) http://www.mathema.com.br/default.asp?url=http://www.mathema.com.br/mathema/home/livros.html  

2) Col?gio Web, http://www.colegioweb.com.br/ - O Col?gio Web ? mais um projeto do Grupo iPED voltado a disseminar a educa??o em nosso pa?s. O acesso a seus mais de 1000 t?tulos possui car?ter gratuito e est? dispon?vel a alunos e educadores de toda rede de ensino, http://www.colegioweb.com.br/cadastro.

A avalia??o poder? ser da seguinte forma:
? Atividades em sala.
? Listas de exerc?cios envolvendo aplica??es do assunto no cotidiano.
? Durante as aulas observando o interesse e a participa??o do aluno.
? Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog j? existente, sugerimos http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080930152702AAlzrpF.
? Participa??o em f?runs: http://www.ajudamatematica.com/search.php?keywords=volume+volumes&terms=any#start_here
? Competi??o entre grupos, de no m?ximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo caso consiga resolv?-lo, continua na competi??o, caso erre, ser? eliminado.