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? Abordagem Hist?rica;
? Conceitos;
? Juros Simples;
? Juros Compostos.

? Porcentagem;
? Fun??o Afim;
? Fun??o Exponencial;
? Progress?o Aritm?tica;
? Progress?o Geom?trica;

? Leitura e Constru??o de Gr?ficos.

O objetivo desta aula ? fazer uma abordagem hist?rica sobre a Matem?tica Financeira, apresentar os conceitos envolvidos e diferenciar juros simples de juros compostos.

Inicialmente, sugere-se que seja apresentado o texto explicativo abaixo que trata da origem das finan?as e do porqu? da necessidade de juros nas cobran?as realizadas.

O desenvolvimento da Matem?tica Comercial e Financeira deve-se ao aprimoramento de conceitos como juros, porcentagem, imposto, valor, moeda, banco etc. As no??es de porcentagem e de juros v?m sendo empregadas ao longo da hist?ria desde pelo menos 2000 a.C., quando se tem registro de sua utiliza??o pelos babil?nios. Tais no??es surgiram provavelmente quando se percebeu a exist?ncia de uma rela??o entre tempo e dinheiro. Na Babil?nia, por exemplo, quando algu?m emprestava sementes para o plantio, esperava seu pagamento na pr?xima colheita. Isso fazia com que o c?lculo de juros ocorresse em uma base anual. Com o passar do tempo, criaram-se novas maneiras de se trabalhar com a rela??o tempo-juros, por meio de juros semestrais, bimestrais, mensais, di?rios etc. Essa rela??o foi vinculando-se cada vez mais ? institui??o banc?ria, criada pela primeira vez em Veneza no s?culo XII. O ac?mulo de capital e a desvaloriza??o da moeda ao longo do tempo estimularam o aprimoramento do conceito de juros e fizeram surgir as institui??es banc?rias. Hoje, podemos constatar, em jornais e revistas, o uso dos conceitos de Matem?tica Financeira para projetar diferentes situa??es econ?micas. (adaptado de Bianchini & Paccola, Matem?tica, Ed. Moderna)

Em seguida, deve-se introduzir as vari?veis presentes em um problema de Matem?tica Financeira, assim como seus respectivos significados:

C - principal ou capital inicial, quantia empregada na transa??o;
i - taxa de juros, taxa porcentual que incide sobre o capital inicial ou sobre o saldo anterior;
t - tempo de dura??o da opera??o financeira, prazo;
J - juros, quantia devida pelo empr?stimo ou pela aplica??o do capital inicial durante o prazo estabelecido;
M - montante, valor acumulado no final da transa??o (capital inicial + juros).

ATEN??O!

Especial aten??o deve ser dada ao seguinte aspecto:

Taxa de juros (i) e prazo (t) devem estar sempre na mesma unidade de tempo.

Na sequ?ncia, para falar sobre juros simples e juros compostos, ? importante que se apresentem duas ou mais situa??es-problema, pedindo ajuda dos alunos para resolv?-las. Os problemas podem ser pr?ximos ? realidade dos alunos, por?m um deve ser com juros simples e outro com juros compostos.

Deve-se ressaltar que um problema de juros simples pode ser modelado por uma fun??o afim e um problema de juros compostos, por uma fun??o exponencial. Al?m disto, considerando um dom?nio discreto (dom?nio = conjunto dos naturais), deve-se observar as semelhan?as com uma progress?o aritm?tica e com uma progress?o geom?trica, respectivamente.

Uma vez trabalhado todos estes t?picos, ? importante registr?-los como, por exemplo.

1) Juros Simples: a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. O crescimento ? linear, um exemplo t?pico de Progress?o Aritm?tica.

2) Juros Compostos: a taxa de juros incide sobre o saldo anterior. O crescimen to ? exponencial, um e xemplo t?pico de Pro gress?o Geom?trica.

Observe que em m omento algum se fala sobre as con hecidas f?rmulas de ju ros simples e juros compostos. A inten?? o n?o ? valorizar f? rmulas prontas, mas si m o racioc?nio do al uno em cada situa??o diferente. Desta fo rma, o conhecimento se r?, de fato, assimil ado e n?o apenas dec orado.

Na pr?tica, os juros compostos s?o mais utilizados do que os juros simples. Por este motivo, para que os alunos entendam onde os juros simples aparecem, a seguir s?o sugeridas duas situa??es diferentes para se trabalhar em sala.

A primeira situa??o est? representada pelo gr?fico adiante que compara o montante obtido na aplica??o de um capital de R$ 100,00, a taxa de juros de 1% ao m?s, com juros simples e com juros compostos. Uma modelagem ? feita atrav?s de uma Fun??o Afim (juros simples) e a outra atrav?s de uma Fun??o Exponencial (juros compostos).

Observe que a aplica??o a juros compostos ? mais vantajosa do que a juros simples para quem aplica, ou seja, para quem recebe, pois o montante aumenta exponencialmente e n?o linearmente.

Em institui??es financeiras, s? se utiliza juros compostos, ou seja, juros sobre juros, seja em aplica??es, seja em empr?stimos.

J? a segunda situa??o est? representada por este outro gr?fico que tamb?m compara a evolu??o de um mesmo capital inicial, atrav?s de juros simples e de juros compostos, considerando a mesma taxa de juros em ambos os casos.

Neste caso, por?m, observa-se que antes de se ter uma unidade de tempo completa, os juros simples s?o mais vantajosos que os juros compostos para quem recebe. Isto ?, se uma taxa de juros mensal incide sobre uma fra??o do primeiro m?s, o retorno ser? maior se for utilizado juros simples.

Este caso ? t?pico para o c?lculo de mora no atraso de contas como luz, g?s, telefone e ?gua, j? que, usualmente, o usu?rio percebe que atrasou o pagamento no m?ximo ao chegar a conta do m?s seguinte.

Apesar de, aparentemente, esta teoria inicial ser simples, deve-se tomar o tempo que for necess?rio para que o conte?do seja assimilado de forma plena pelos alunos, pois o restante da teoria, acerca da Matem?tica Financeira, depende do dom?nio de tais conceitos.

A seguir, tem-se alguns exerc?cios que podem ser trabalhados com os alunos para fixa??o do conte?do estudado.

1) Um investidor possui R$ 20 000,00. Ele aplica 40% desse dinheiro em um investimento, que rende juros simples de 5% ao m?s, durante 4 meses, e aplica o restante em outro investimento, que rende juros simples de 6% ao m?s, durante 4 meses. Calcule quanto o investidor ir? ganhar ao fim desse per?odo.

2) ? taxa anual de 15%, em que tempo aproximadamente, o capital de R$ 8 000,00 produz R$ 3 600,00 de juros simples?

3) Uma conta de R$ 700,00 vencia no dia 25 de abril de 2008 e foi paga em 5 de maio de 2008. Quais os juros pagos, se os juros de mora (regime simples) s?o de 12% ao m?s?

4) Considere um capital de R$ 200,00 aplicado ? taxa de juros de 5% ao m?s por um per?odo de 3 meses e responda.
a) Qual o montante obtido no regime de juros simples?
b) Qual o montante obtido no regime de juros compostos?
c) Compare os dois resultados e fa?a uma representa??o gr?fica das duas situa??es.

5) Um investidor teve seu capital aumentado de R$ 2 000,00 para R$ 3 380,00 num prazo de 2 anos. Determine a taxa porcentual de crescimento anual desse capital, considerando primeiro o regime de juros simples e, em seguida, o regime de juros compostos.

6) Precisando de R$ 2 000,00, Ot?lia procurou dois amigos, Jo?o e Paulo. Jo?o emprestaria esse valor a juros compostos de 5% a.m. por 4 meses. J? Paulo se pr op?s a emprestar essa quantia a juros simples de 5,39% a.m. por 4 m eses. Qual dos amigos de Ot?lia oferece mel hores condi? ?es? Jus tifique quantit ativamente sua resposta. Considere 1,05⁴=1,2155.

A atividade proposta para os alunos est ? dispon?vel para download no link:

www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/matfinanceira/intro.pdf

Veja tamb?m as seguintes aulas que complementam este assunto:

? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: Equival?ncia de Capitais
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: Equival?ncia de Taxas
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: C?lculo de Presta??es
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: C?lculo de Taxa de Juros
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: Op??es de Pagamento
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: Op??es de Pagamento e o Excel
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: Sistemas de Amortiza??o
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: Tabela Price e o Excel
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: SAC e o Excel
? Matem?tica Financeira no CAp UFRJ: An?lise Financeira

A avalia??o deve ser feita ao longo de toda a aula baseada tanto na participa??o, quanto no desempenho dos alunos nas atividades propostas. ? importante que eles debatam, critiquem e tirem suas pr?prias conclus?es. Outros exerc?cios tamb?m podem ser feitos para complementar a avalia??o.