• Interpretar a declividade do gráfico de uma função afim;
• Compreender a relação entre o crescimento (ou decrescimento) da função distância e a velocidade média do corpo móvel.

• Conhecimentos sobre o conceito de função e gráfico;
• Conhecimento das propriedades de uma função afim e suas características;
• Conhecimento acerca do conceito físico de velocidade média e sua relação com gráficos de funções.

Caro professor,

Esta aula tem como principal proposta analisar uma situação-problema e detectar a partir dela propriedades e características do gráfico de uma função afim. Em particular, a declividade do gráfico enquanto taxa de crescimento ou decrescimento da função. Como tratamos de uma aplicação hipoteticamente real, o problema nos fornece ainda uma relação entre o crescimento/decrescimento da função distância e a velocidade média de um corpo móvel.

A aula poderá ser executada utilizando um data-show, de modo expositivo com uso de tecnologia, embora recomendemos sua execução em um Laboratório de Informática, priorizando a exploração por parte dos alunos. Esta aula é uma adaptação da originalmente publicada na página do Projeto Novas Tecnologias no Ensino (http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/index.htm), e utiliza a ferramenta Descartes (disponível em http://descartes.cnice.mec.es). Ambos estão sob a licença "Creative Commons" (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/deed.pt).

Atividade 01

O Problema do Ponto sem Retorno

Considere o seguinte problema:

"Um avião de pequeno porte, com autonomia para quatro horas de viagem, é capaz de desenvolver uma velocidade de cruzeiro de 300 km/h quando não há vento. Durante um vôo, na viagem de ida, um vento de 50 km/h sopra a favor o que aumenta a velocidade de cruzeiro do avião, em relação à terra, para 350 km/h. De repente, o piloto se dá conta de que na viagem de volta, o mesmo vento estará soprando contra e, em conseqüência, a velocidade do avião se reduzirá para 250 km/h. O problema é determinar qual a distância máxima que o avião pode cobrir na viagem de ida de tal maneira a estar seguro de que há combustível para fazer a viagem de volta. A esta distância máxima chamamos de ponto sem retorno (ponto limite, após o qual não é mais possível retornar)."

Parte I: Analisando a Viagem de Ida

Vamos analisar a viagem de ida. Para tal, observe o recurso desenvolvido com a ferramenta Descartes disponível em http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/PontoSemRetorno1.html.

Leve os alunos a descreverem um modo de calcular a velocidade do avião analisando o gráfico. Reserve cerca de 15 minutos para esta parte da atividade, pois os alunos ainda estarão se familiarizando com a ferramenta. Peça que os alunos respondam os questionamentos propostos no recurso, como modo de progressão dentro da atividade.

Parte II: Analisando a Viagem de Volta

Vamos analisar a viagem de volta. Para tal, utilize o recurso disponível em http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/PontoSemRetorno2.html.  

Igualmente, leve os alunos a descreverem a velocidade do avião através da análise do gráfico. Reserve cerca de 10 minutos para esta parte da atividade, novamente solicitando à classe que responda os questionamentos propostos, para que possa construir um encadeamento lógico que os levará à compreensão do problema proposto.

Parte III: Integrando Ida e Volta: a Solução do Problema

Dadas as velocidades de ida e de volta, temos diferentes gráficos para cada uma delas; ao considerar as duas viagens conjuntamente, estamos buscando a interseção entre eles, isto é, um ponto onde a viagem de ida termina e começa a viagem de volta. Este ponto é o ponto sem retorno procurado.

No recurso disponível em http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/PontoSemRetorno3.html você pode conduzir os alunos à investigação sobre qual é o ponto de retorno para o problema proposto. Para tal, basta ajustar a velocidade do vento nas viagens de ida e de volta e responder aos questionamentos propostos. 

Utilize o final da aula (20 a 25 minutos) para esta etapa. Caso considere apropriado, proponha a generalização do problema (Atividade 04), deixando os alunos refletirem até a segunda aula; uma alternativa é não tratar da generalização e, na segunda aula, propor que os alunos busquem resolver tal questão, como critério de avaliação.

Atividade 02

Generalizando o Problema

Ao final, encontrada a solução do Problema do Ponto sem Retorno, os alunos devem ser "desafiados" a tentar generalizar o problema, modificando a velocidade do vento e obtendo uma curva formada pelo conjunto de pontos sem retorno.

Para o processo de generalização, temos disponível o recurso do Descartes em http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/PontoSemRetorno4.html.

Ao ver o rastro deixado pelo "ponto sem retorno", os alunos dever ser levados a perceber que o conjunto dos pontos sem retorno forma uma parábola.

Através das perguntas propostas no recurso, conduza os alunos a provarem formalmente qual o lugar geométrico dos pontos sem retorno. Faça esta atividade preferencialmente na segunda aula - utilizando cerca de 20 minutos desta -, podendo ser este um critério de avaliação.

Atividade 03

Modelando Novos Problemas

Como fechamento da aula, proponha aos alunos a modelagem de outro problema, nos mesmos moldes do "Problema do Ponto sem Retorno". Você, professor, pode pedir aos alunos que sugiram um problema envolvendo o conceito de velocidade média através de representações gráficas.

Opcionalmente, você pode propor o problema a ser trabalhado, utilizando a seguinte situação:

"Dois amigos resolveram tirar o carro da garagem para conhecer o interior de seu estado. Eles têm 50 litros de combustível e não pretendem parar para abastecer. Sabe-se que o carro que utilizarão, na estrada em direção ao interior, chega a uma velocidade média de 80 Km/h, fazendo 13 Km/l, enquanto na estrada de volta para casa ele atinge a marca de 90Km/h, com a marca de 17Km/l. Pergunta-se após quantas horas eles terão que iniciar o retorno para casa, e quantos quilômetros terão percorrido em direção ao interior de seu estado."

Para modelar a viagem de ida, leve em conta um gráfico de quilômetros por litro onde a inclinação da reta seja 13, iniciando no ponto (0,0), que é o princípio da jornada.

Já para a volta, considere um gráfico de quilômetros por litro onde a inclinação da reta seja 17, chegando ao ponto (50, 0), que representa a chegada de volta ao ponto inicial.

A junção dos gráficos, como no caso do problema original, nos dará quantos quilômetros foram percorridos até o início da volta. Já o tempo decorrido pode ser obtido através da velocidade média do veículo.

SANTOS, A.R. O Ponto sem Retorno: Um Problema de Declividades. Introdução às Funções Reais. Projeto Novas Tecnologias no Ensino. http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/Atividades/capitulos/cap85s3.html 

DESCARTES. Página do Projeto. http://descartes.cnice.mec.es/ 

O professor deve, a critério de avaliação diagnóstica, incentivar a participação dos alunos em cada parte da aula, para buscar que todos os participantes estejam acompanhando corretamente a linha de raciocínio desenvolvida, de modo a construirem, eles próprios conjecturas acerca do papel da declividade do gráfico no comportamento da função.

Além desta, a atividade que visa a generalização do problema e a atividade que conduz à modelagem de um novo problema, podem ser conduzidas como critério de avaliação.