O teorema da circunferência de Tales.

Uma aula de 50 minutos.

Para melhor compreensão do conteúdo que será abordado, o aluno deverá estar familiarizado com os conhecimentos referentes aos ângulos opostos pelo vértice, soma dos ângulos internos de um triângulo, ângulo externo, mediana em um triângulo, classificação de ângulos e equações do primeiro grau.

Sala de aula:
Professor inicie a aula contando um pouco da história de Tales de Mileto. Como material de apoio é sugerido o texto acessível no seguinte endereço eletrônico:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/tales.htm

Busto de Tales de Mileto

Neste endereço eletrônico, o professor vai encontrar mais informações sobre a proposição que pretendemos trabalhar com o auxílio da animação digital interativa, citada no decorrer desta sugestão.

Laboratório de Informática:
Professor com o auxílio de um projetor multimídia ou mesmo apenas na sala de informática, distribuindo os alunos em grupos para cada computador, acesse a animação digital intitulada por: Circunferência de Tales. A animação digital apresenta um triângulo, inscrito em uma semicircunferência, com a sua mediana traçada e seus ângulos definidos em colorações diferentes. Esta animação é interativa, isto é, possui ferramentas que possibilitam ao aluno criar outros tipos de triângulo, a partir do triângulo inicial.

Tela inicial da animação interativa “Circunferência de Tales”
Para fazer o download desta animação, o professor deverá acessar o seguinte endereço eletrônico:

http://www.walter-fendt.de/m14s/thalescircle_s.htm

Após todos terem acessado a animação ou sendo esta projetada em uma tela, estimule os aluno a refletirem sobre o seguinte problema: Como podemos provar que um triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo?
Aguarde alguns minutos para que eles possam refletir sobre a questão e analise as estratégias criadas e conjecturas ou hipóteses levantadas pelos alunos na tentativa de resolver o problema, além de estimular o debate entre todos na busca da melhor solução para a questão apresentada, fazendo, deste modo, com que a aula de Matemática seja um fórum de discussão
Em um momento posterior, o professor pode explicar um caminho possível para responder a questão. A figura a seguir pode ser apresentada aos alunos.
 

Dica: Peça que os alunos denominem os vértices do triângulo inscrito na semicircunferencia, com letras maiúsculas, tais como: A, B e C. A reta mediana, poderá ser representada pelo segmento BM. Leve os alunos a perceberem que a mediana dividiu o triângulo inicial em dois triângulos. Logo, respectivamente, triângulo 1 e triângulo 2.
Note que, pelo teorema do ângulo externo ao triângulo 1, temos os dois ângulos em vermelho somados na parte externa do mesmo, que inicialmente possuía apenas dois ângulos vermelhos, o mesmo acontece com os ângulos em azul Do triângulo 2. Perceba também que no triângulo inscrito na semicircunferência e onde queremos provar ser retângulo a mediana tem o comprimento do raio da semicircunferência e com isso podemos classificar os dois triângulos, que compõem o maior, como isósceles. Se os dois triângulos são isósceles então podemos afirmar que os ângulos em azul possuem a mesma medida e os em vermelho, também, possuem a mesma medida e como eles estão unidos a partir da origem da semicircunferência formando um ângulo raso, as somas de todos os ângulos desta união forma 180º. Agora perceba que a união ou soma de um ângulo em vermelho com um em azul é igual à medida de um ângulo em verde e com isso podemos escrever a seguinte equação:
Sendo:
                                                                            1 azul + 1 vermelho = 1 V
Então temos:
                                                                                    1 V + 1 V = 180º
                                                                                         2 V = 180º
                                                                                          V = 180º/2

                                                                                              V = 90º

Descoberta a medida do ângulo verde podemos afirmar que o triângulo é retângulo, pois um de seus ângulos é reto (igual a 90º)

 

Professor, a atividade proporcionada pela animação interativa pode ser reproduzida com o recorte de cartolina, E.V.A ou mesmo papel sulfite com cores diversificadas.

Pode-se avaliar a participação dos alunos a partir da análise das anotações feitas em aula. As hipóteses levantadas pelos alunos e suas argumentações que antecedem a demonstração formal do teorema podem ser consideradas enquanto instrumento de avaliação para o professor. Do mesmo modo, a solução de exercícios e a aplicação deste teorema em situações-problema também podem ser objetos de avaliação para o professor.