Os alunos irão estudar o quadrado da diferença, isto é , interpretá-lo geometricamente e aritmeticamente.

Operações básicas, multiplicação de binômios e áreas de figuras planas como quadrados e retângulos.

O recurso educacional "Difference of squares" permite que o usuário escolha o tamanho de x e y no quadrado da diferença. Além disso, possibilita outras divisões da figura que resultam no mesmo resultado, usando trapézios ao invés de retângulos.

FIGURA1

Difference of squares

 O recurso "Multiplying binomials" oferece a multiplicação de dois binômios, dos quais pode-se escolher os coeficientes. É possível também destacar dois deles e observar a sua influência no resultado final.

FIGURA 2

Multiplying binomials

Estes objetos requerem um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais – MathematicaPlayer - http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737

Importância & Conteúdo no dia-a-dia

Essa aula tratará de generalizações de cálculos básicos. Fazer contas faz parte da vida de qualquer pessoa, mesmo que seja apenas para compreender os valores obtidos na calculadora.

Um dos objetivos do aprendizado da matemática no ensino básico apontados no PCN é “compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral”.

A abordagem algébrica e geométrica desta aula auxiliam na compreensão mais ampla de conceitos básicos da matemática.

Motivação & Introdução

Antes de apresentar binômios e multiplicações com incógnitas os estudantes deverão realizar algumas multiplicações com valores numéricos sugeridas pelo professor, como por exemplo:

Calcule: 3 x 17 =

Calcule: 3 x 10 + 3 x 7 =

Calcule a área da figura:

FIGURA 3

Calcule: 14 x 16 =

Calcule: (10+4) x (10+6) =

Calcule a área da figura:

FIGURA 4

Observe que todos os problemas são equivalentes e terão a mesma resposta. Nosso objetivo é apenas que os estudantes se familiarizem com algumas formas de interpretação da multiplicação.

Em grupos de 3 estudantes solicite que eles bolem um problema análogo, porém com valores diferentes. Esse problemas podem ser trocados entre os grupos para serem resolvidos.

Finalmente apresente a turma o problema que será o foco dessa aula: “Qual será a área de um quadrado de lado (x-y), onde x>y ? ”

Atividades

Para resolver o problema apresentado os grupos devem recortar dois quadrados. Um de lado x e outro de lado y, lembrando que x>y. Deixe-os tentar discutir e pensar sobre o problema.

FIGURA 5

Esperamos que os estudantes notem que, com as figuras recortadas, podem obter o quadrado de lado (x-y) por sobreposição, veja as figuras abaixo:

FIGURAS 6 e 7

Assim a área procurada é a área total X² menos as três área destacadas.

(X – Y) ² = X² – Y(X – Y) – Y(X – Y) – Y²

(X – Y) ² = X² – 2XY + Y² + Y² – Y²

(X – Y) ² = X² – 2XY + Y²

Note que os grupos podem também perceber que foram retirados dois retângulo de área XY, porém, dessa forma tiramos duas vezes a área do quadrado de lado Y e, assim, devemos acrescentar uma vez sua área. Obtemos também que (X – Y) ² = X² – 2XY + Y².

Todas as figuras dessa atividade foram feitas com o software livre GeoGebra, disponível em:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/3538 - GeoGebra

• http://www.youtube.com/watch?v=ECa7lJFmv00 – Vídeo expositivo sobre quadrado da diferença.

• http://nonio.mat.uc.pt/~neqf/2004/Caso%20notavel%20da%20multiplicacao%202.html - Teoria sobre quadrado da diferença

• http://strato.impa.br/capem_jan2009.html – Vídeos de conteúdo do IMPA

• http://www.obmep.org.br/para_saber_mais/videos_Epp_2007.html - Vídeos de conteúdo da OBMEP

Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo elabore um relatório de como obtiveram a área desejada, as figuras podem ser coladas em cartolinas e servirem de cartazes para enfeitar a escola.

Quando for possível usar a sala de informática o relatório pode conter as respostas as análises dos softwares utilizados.

Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo elabore um relatório de como obteve a área deseja, as figuras podem ser coladas em cartolinas e servirem de cartazes para enfeitarem a escola.

Quando for possível usar a sala de informática o relatório pode conter as respostas as análises dos softwares utilizados.