Aprender sobre a função exponencial a partir de um exemplo de aplicação na biologia.

2 aulas de 50 minutos.

Operações com potenciação.

Como as bactérias não são visíveis à olho nú, a maioria das pessoas esquecem que elas existem. Muito além de banheiros e corrimões de escadas em locais públicos, elas também estão nos teclados e mouses de computadores. Nesses locais, de acordo com pesquisas publicadas em revistas e jornais, são encontradas mais bactérias do que em um vaso sanitário ou uma sola de sapato. Gripes e diversas infecções podem ser transmitidas pelo uso desses equipamentos.

Em laboratórios, onde são realizados exames envolvendo bactérias, o crescimento da população de bactérias pode ser descrito matematicamente. Um dos objetivos desta aula é mostrar que a matemática pode ser usada para representar o crescimento das bactérias.

Para entender um pouco mais sobre as bactérias, sugerimos que o professor disponibilize para uso dos alunos o objeto de aprendizagem disponível no Portal do Professor.

Fig. 1 - Imagem do Objeto de Aprendizagem

Recurso disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/9936/bacteria.swf

A matemática das bactérias
Sabe-se que sob certas condições em laboratório, o crescimento da população de bactérias duplica em intervalos regulares e a taxa de crescimento aumenta exponencialmente (2⁰, 2¹, 2², 2³,..., 2ⁿ) onde n é o número de gerações. Portanto temos uma situação real que pode ser representada matematicamente.

Esse momento é adequado para que o professor apresente a definição da função exponencial ao alunos. 

A função exponencial é definida por f(x)= a^x , com a pertencendo aos números reais e diferente de zero.

Também é importante ressaltar que é comum encontrarmos gráficos dessa função representando situações do cotidiano ou representando situações encontradas na natureza, muito além do crescimento populacional das bactérias.

Nessa aula os alunos devem usar a planilha eletrônica Calc/BrOffice (http://www.broffice.org) para produzir gráficos desse tipo de função. Essa é uma abordagem diferenciada que permite aprender sobre a função utilizando um recurso manipulado pelos próprios aprendizes.

Partiremos de uma situação que envolve a crescimento de uma população inicial de 12 bactérias que se duplicam a cada hora. Após 10 horas, qual seria o número de bactérias?

O primeiro passo é trabalhar com os alunos como essa situação pode ser descrita por uma função. Essa é geralmente a parte mais difícil do trabalho. É interessante notar que esse tipo de trabalho pode ser feito com outros conteúdos da matemática.

Na situação descrita anteriormente, a base exponencial é 2, pois há duplicação de quantidade de bactérias. Logo, a função pode ser escrita como f(t)= 12.2^t .  Feito isso, pode-se partir para o trabalho com a planilha.

Primeiro cria-se uma tabela com duas colunas e na coluna das bactérias, escreve-se a fórmula encontrada anteriormente usando a linguagem da planilha eletrônica. O resultado , 12, é apresentado imediatamente.

Fig. 2 - Tabela para cálculo da função.

Após aplicar a fórmula aos demais valores do tempo, é preciso selecionar as colunas e clicar no botão  que fica na parte superior do programa. Teremos então a tela de configuração do gráfico e algumas opções que podem ser escolhidas pelos alunos.

Fig. 3 - Opções para produção do gráfico.

 

Fig. 4 - Gráfico da função.

Os cálculos do problema foram feitos automaticamente e em 10 horas, a quantidade de bactérias deve chegar a 12288. Porém o processo de interpretação do problema e criação da função não pode ser automatizado e oferecem possibilidades diferenciadas de aprendizagem usando a tecnologia.

O professor pode dar sequência ao trabalho e preparar alguns desafios para os alunos resolverem com o auxilio da planilha eletrônica. Por exemplo:

O número de bactérias de uma cultura cresce aproximadamente segunda a função f(t) = 2000. 3^0,006t , sendo t medido em dias.

Qual o número de bactérias no início do experimento? Em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar? A partir do trabalho anterior os alunos possivelmente enxergarão na função muitas informações a respeito da situação apresentada.

Nome	Tipo

O Portal Mathwarehouse disponibiliza simulações e animações que mostram como funciona o crescimento exponencial em diversas situações do mundo real. Para acessar, utilize os links abaixo: http://www.mathwarehouse.com/exponential-growth/exponential-growth-activity.php e http://www.mathwarehouse.com/exponential-growth/exponential-models-in-real-world.php

Utilizando o recurso complementar sugerido, o professor pode solicitar que os alunos realizem uma pesquisa e criem uma planilha que represente o crescimento de uma população que pode ser de pessoas, coelhos, entre outros, de acordo com os interesses dos estudantes. A avaliação dos resultado dessa atividade pode ser agregada aos dados registrados pelo professor no trabalho realizado durante a aula, contemplando a superação das dificuldades de cada alunos, sua participação e comprometimento, além é claro da aplicação dos conceitos matemáticos que foram abordados durante as atividades.