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Equação do segundo grau com Bhaskara

25/02/2009

Autor y Coautor(es)

Autor: CARLOS ALBERTO JESUS DE OLIVEIRA

BRASILIA - DF CEM PAULO FREIRE

Estructura Curricular

Modalidad / Nivel de Enseñanza	Disciplina	Tema
Ensino Fundamental Inicial	Matemática	Números e operações

Datos de la Clase

O que o aluno poderá aprender com esta aula

Resolver equações do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

Duração das atividades

3 aulas de 50 minutos cada.

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

•Resolução de equações do 1º grau •Raiz quadrada

Estratégias e recursos da aula

Professor, nesta aula abordaremos o assunto resolução de equações do 2º grau. Apresente situações que utilizem o assunto, tais como:

• Uma sala comercial quadrada tem 81 m² de área. Quanto mede, em metros, cada lado dessa sala?
• Encontre o número inteiro cujo dobro de seu quadrado adicionado ao seu triplo seja igual a zero.

Professor, geralmente o ensino de resolução de equações do 2º grau é feito de uma forma direta. Nesta aula propomos inicialmente que seja abordado o aspecto histórico, para isto, leve seus alunos ao laboratório de informática e peça a eles que leiam o documento localizado em www.bibvirt.futuro.usp.br/content/download/2373/13519/file/rpm43_04.pdf. O documento em questão trata da abordagem aritmética e geométrica da resolução de equações do 2º grau.
No século IX, o matemático árabe Al-Khowarizmi, escreveu a grande obra matemática chamada “Hisab al-jabr w’al-muqabalah”.

Nesta obra Al-Khowarizmi descreveu métodos para a solução de equações do 2º grau. Acompanhe a seguinte tradução de um fragmento do livro:
“Os números que aparecem nos cálculos pela restauração e pela redução são de três classes: as raízes, os quadrados e os números simples, que não se referem nem às raízes nem aos quadrados [...] Um número que pertence a uma destas três classes pode ser igual a um dos números das outras duas classes, por exemplo: quadrados iguais a raízes; quadrados iguais a números; raízes iguais a números.”, Al-Khowarizmi refere-se aqui a três de equações incompletas. Ele justificou os resultados geometricamente, representado os termos da equação utilizando áreas de retângulos e quadrados, procedimento conhecido por método de completar quadrados. Observe como se resolve geometricamente, utilizando o método de completar quadrados, a equação x² + 12x = 64, (x²+ bx = c).

Passo 1) Primeiro, desenhe um quadrado de lado "x" para representar o termo x². Depois, represente o termo 12x por quatro retângulos de lados 3 e "x", como mostra a figura abaixo:

Comentário para os alunos:
                • No centro termos um quadrado de lado "x", portanto sua área será x².
               • Em cada retângulo um dos lados mede "x" e o outro a quarta parte do valor do coeficiente "b", (b/4) . Neste caso como o coeficiente "b" é 12, teremos retângulos de medidas "x" e 3, com área 3x.
               • A soma das áreas do quadrado e dos quatro retângulos é igual ao coeficiente “c” (termo independente da equação), neste exemplo o valor será 64.

Passo 2) Para completar um quadrado, acrescente quatro quadrados de lado 3.

Comentário para os alunos:
                • Professor faça alguns questionamentos aos seus alunos como:
                        * Para completar um quadrado, que figuras devem ser adicionadas à figura anterior?
                        * Quais são as medidas dessas figuras?

Passo 3) A figura do “Passo 1” tem área de 64. Na figura do “Passo 2” foram acrescentados 4 quadrados de área 9 cada um, totalizando 36, formando um quadrado de área 64 + 36 = 100, portanto um quadrado de lado 10.

Comentário para os alunos:
               • Professor faça alguns questionamentos aos seus alunos como:
                        * Antes de adicionar essas figuras, a área era de 64, qual será a área depois de se completar o quadrado?
                        * Como podemos determinar a medida do lado desse quadrado?
                        * Determinando a medida do lado do quadrado, como podemos determinar a medida x ?

Passo 4) Sendo assim o lado do quadrado formado tem medida 3 + x + 3 = 10 x = 4.

Professor, para aprofundamento do assunto, peça aos seus alunos que resolvam as seguintes equações baixo, utilizando o método de completar quadrados:

                        a) x² + 8x = 9
                        b) x² + 28x = 60
                        c) x² + 20x = 69

Na antiga Babilônia, os escribas conheciam métodos de resolução de problemas equivalentes a certos tipos de equações do tipo x² – bx = c. Para resolver tais problemas, seguiam regras equivalentes à fórmula:

Professor seria interessante que fizesse juntos com os alunos a dedução da fórmula de Bhaskara. Você pode utilizar alguns exemplos em sítios especificados nos recursos complementares desta aula.

Professor, peça a seus alunos leiam um pouco mais sobre o assunto no sítio http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm#m111a03. Para resolução de equações do 2º grau, utilizado a fórmula de Bhaskara, é muito importante que seus alunos saibam identificar quais são os coeficientes da equação, classificar em completa ou incompleta, calcular o valor do discriminante e em seguida identificar a quantidade de raízes, para isto seria interessante eles montassem uma tabela do tipo:

Esta tabela pode ser produzida em um software de planilha eletrônica, como por exemplo BrOffice, http://www.broffice.org/. Professor utilize os diversos tipos de equações incompletas e completas.

Agora vamos calcular as raízes das equações proposta na tabela anterior, para isto peça aos seus alunos que calculem os valores das raízes das equações e em seguida verifiquem o resultado no aplicativo “Raízes”, instalado previamente nos computadores e com download em http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/mec/4838/1/raizes.zip.

O manuseio do aplicativo é bem simples, basta informar os valores dos coeficientes e em seguida clicar no botão “CALCULAR”. Professor, explore com o aplicativo o estudo do discriminante. Apresente equações onde o valor do discriminante seja:

Caso seja necessário reforçar com atividades on-line em http://www.alunosonline.com.br/barra/index.htm?url=http://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes2.php.

Professor, para finalizar a aula. Leve seus alunos ao pátio e organize-os em grupos de no máximo 5 pessoas. Coloque para eles a seguinte situação: “Vamos fazer uma horta em um terreno de forma retangular. Nesse terreno, a medida do comprimento é o dobro da medida da largura, mais 4 metros. Quais são as dimensões do terreno, sabendo–se que sua área é 70 m² ?”. Peça a cada grupo que resolva o problema, identifique as dimensões, calcule a área do retângulo estabelecido e por último, com uma fita métrica, faça no terreno a delimitação do retângulo proposto. Seria interessante ressaltar que com estes cálculos pode-se determinar a quantidade de adubo, fertilizantes e outros produtos a serem aplicados no terreno para a construção da horta.

Recursos Complementares

Professor veja o sítio: * http://www.ipv.pt/millenium/16_ect1.htm * http://www.exatas.mat.br/equacao2.htm * http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_4.php * http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm * http://www.infoescola.com/matematica/equacoes-de-2o-grau-quadratica/

Avaliação

A avaliação poderá ser feita observando os grupos realizando a atividade final. Observe a postura dos grupos em relação ao problema apresentado. Também poderão ser utilizados outros instrumentos de avaliação, como: lista de exercícios e provas.

Opinión de quien visitó

Quatro estrelas 17 calificaciones

Cinco estrelas 7/17 - 41,18%
Quatro estrelas 9/17 - 52,94%
Três estrelas 1/17 - 5,88%
Duas estrelas 0/17 - 0%
Uma estrela 0/17 - 0%

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Opiniones

Eliana Sanches dos Santos, EMEF Arquiteto vilanova Artigas , São Paulo - dijo:
lianapromatematica@gmail.com
18/11/2016
Cinco estrelas
Amei. Foi realmente o que eu estava procurando. Sugestões simples e fáceis para compreensão dos meus alunos . Obrigada. Prof. ELIANA

ada.pavanato, toledo barbosa , São Paulo - dijo:
ada.pavanato@gmail.com
14/05/2013
Cinco estrelas
Aula bem elaborada. A tabela organiza as informações de forma clara e objetiva. Parabéns!

adriano, polo federal do tocantins , Tocantins - dijo:
adriano.007gato@hotmail.com
22/06/2011
Cinco estrelas
gostei muito legal deveria ter uma todo dia

Nelson Diniz, Japão - dijo:
nerlsir@globo.com
19/03/2011
Cinco estrelas
Quando estava na escola, fiz a seguinte pergunta para o professor. Em qual situacao da minha vida irei usar a equacao do segundo grau? Ele ficou todo irritado e nao me　deu a resposta. Diga la professor aos que nao sabem, onde se usa essa equacao, no dia a dia?

Jura, escola , Mato Grosso do Sul - dijo:
juraqf@hotmail.com
08/09/2010
Quatro estrelas
Gostei muito, pois aborda a equação do 2º grau de maneira clara para os aluno, mas quem achou que não está bom, porque ainda não postou nenhum trabalho desse tipo.

DIEGO DE JESUS FERREIRA, Universidade Federal de Sergipe , Sergipe - dijo:
FERREIRAJDIEGO@HOTMAIL.COM
26/08/2010
Quatro estrelas
muito clássico, porém legal!!!

Robson, E.M. Profª Mª Frca. Tavolaro , São Paulo - dijo:
robsongpessoa@ig.com.br
23/06/2010
Três estrelas
Acho que poderia ter abordado outros exemplos de equações, como x^2 + 2x + 143 = 0 Mas mesmo assim a abordagem foi muito bem elaborada..... Parabéns.

luis felipe, choab , Espírito Santo - dijo:
chulapa@hotmail.com
14/06/2010
Cinco estrelas
muito bom.

Alana , colégio da policia militar , Bahia - dijo:
lanalovelinda@hotmail.com
12/06/2010
Cinco estrelas
otima , mas naun entendi uma coizinha que acho que deve ser besteira ... Mas amei muito obirgada !!

Célio de Jesus Ferreira, ESC MUL PROF FRANCISCO JOAQUIM DE PAIVA , Goiás - dijo:
celiorv2008@gmail.com
24/03/2010
Quatro estrelas
Ótimo, Parabéns

Vera, CEEJA - Ignês de Lamônica Guimarães , Mato Grosso do Sul - dijo:
verbakov@hotmail.com
24/03/2010
Quatro estrelas
Gostei muito da sugestão do colega pois além de destacar a importancia da história da matemática, tudo está bem claro para melhor compreensão e aprendizado do aluno. Parabéns.

Clodoaldo, Ufvjm , Minas Gerais - dijo:
teoemaria@hotmail.com
24/03/2010
Cinco estrelas
Muito bom um resgate da história da matemática.vale a pena salientar esses aspectos, assim o aluno vê como surgiu aquilo que ele estuda na sala de aula

Maria Elizabete Ribeiro Pinto, NAZARE GUERRA EEFM , Ceará - dijo:
elizabeteribeiropinto@yahoo.com.br
24/03/2010
Quatro estrelas
A sugestão de aula do colega professor é muito interessante, pois com essa metodologia os alunos irão adiquirir um melhor aprendizado. Gostei muito dessa metodologia e irei utilizar na minha sala de aula.

Sirlaine, Escola Estadual Joaquina Cerqueira Caldas , Mato Grosso - dijo:
elai_almeida@hotmail.com
24/03/2010
Quatro estrelas
Gostei muito da sugestão do colega pois além de destacar a importancia da história das equações, e também é claro para melhor compreensão de como surgiu e porque dos termos da equação fazendo com que o aluno tenha um melhor aprendizado. Parabéns.

Eliano Paiva, NAZARE GUERRA EEFM , Ceará - dijo:
elianopaiva@yahoo.com,br
24/03/2010
Quatro estrelas
Gostei da aula do colega, pois dá ênfase a História da matemática que torna a aula interessante e facilita a compreensão. Não resta dúvida que a utilização das tecnologias melhora o desempenho do aluno e a idéia da planilha é riquíssima é muito louvável.

Sirlaine, Escola Estadual Joaquina Cerqueira Caldas , Mato Grosso - dijo:
elai_almeida@hotmail.com
24/03/2010
Quatro estrelas
Gostei muito da sugestão do colega pois além de destacar a importancia da história das equações, e também é claro para melhor compreensão de como surgiu e porque dos termos da equação fazendo com que o aluno tenha um melhor aprendizado. Parabéns.

ANTONIO ADEGILDO VIANA NUNES, NAZARE GUERRA EEFM , Ceará - dijo:
adgildo_viana@hotmail.com
24/03/2010
Quatro estrelas
Gostei muito da sugestão apresentada pelo colega sobre a resolução das equações do 2° grau. Destaco a importância da técnica de completar quadrados para o entendimento do assunto. Aja vista, que é indispensável o uso desse recurso para a compreender a dedução da fórmula de Bhaskara. Elogio, ainda, a sugestão da utilização de planilhas para a construção de gráficos. Acrescento apenas a maior exploração da curva (parábola) dentro da dinâmica da aula.