- O significado do valor posicional decimal; - Conhecer outras bases para o sistema de numeração diferente de 10 (por exemplo, as utilizadas em sistemas computacionais, como a base 2, 6, 8 e 16); - Estimular a participação e curiosidade do aluno sobre as Bases Numéricas existentes, já que ele próprio manipulará seu próprio Ábaco; - Introdução ao conceito de soma utilizando o Ábaco; - Conhecer o desenvolvimento dos números através da sua evolução histórica.

03 horas/aula que podem ser assim divididas: 1 hora/aula para montagem do Ábaco e mais 2 horas/aula para utilizá-lo.

- Operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Professor, nessa aula utilizaremos a construção de um Ábaco de Hastes para mostrar na prática aos nossos alunos o significado do valor posicional dos números tanto na base decimal como também em outras bases, auxiliando-os assim a reconhecer outras formas de registro de acordo com a base numérica a ser utilizada. Dividimos a aula em duas etapas, sendo a primeira para construção do Ábaco de Hastes e a segunda para sua utilização.
Sugerimos nos “Recursos Complementares” um software que poderá ser utilizado na Sala Ambiente de Informática – após os alunos terem realizado as atividades nessa aula propostas – e onde terão a oportunidade de trabalhar em diferentes bases numéricas e ainda realizar as operações de adição e subtração com o auxílio do software. Sugerimos que antes da utilização desse software com os alunos, o Professor leia o Guia do Professor, disponível no mesmo local para download, onde encontrará todas as informações necessárias para sua aplicação.

1ª Etapa: Construindo o Ábaco de Hastes.

Em um primeiro momento, o professor pode explicar aos alunos que os povos antigos, desde muitos anos atrás, começaram a usar os símbolos numéricos para representar quantidades e facilitar os processos de contagem. Como nossa contagem é organizada em agrupamentos de dez unidades nosso sistema numérico chama-se decimal.

Dica: Nesse momento é interessante interrogar os alunos sobre esse desenvolvimento histórico dos números e fazê-los refletir sobre a relação da quantidade dos nossos dedos das mãos e da nossa base numérica ser 10. No decorrer dessas reflexões os alunos começarão a perceber que não necessariamente precisamos fazer esse agrupamento, isto é, a contagem poderia ser feita com outros, como cinco (apenas os dedos de uma mão), doze, vinte (os dedos das mãos e dos pés), sessenta (relógio), etc.

Para esclarecer melhor a associação entre os processos de contagem e o sistema de numeração, propomos nessa aula a construção do “Ábaco de Hastes” que poderá ser feita com materiais recicláveis de fácil aquisição.
Os materiais necessários para construção desse Ábaco são:
- 48 tampinhas de garrafas tipo pet de cores diferentes (para cada Ábaco são necessárias quatro cores diferentes);
- 01 Barra de Isopor de 16x04cm com largura de no mínimo 03 cm;
- 04 espetos de madeira;
- 01 prego e um martelo para furar todas as tampinhas pet (apenas o professor utilizará esse material);
- o1 Roteiro de Atividades para cada grupo.

Peça aos alunos, com um determinado tempo de antecedência, que levem para escola tampinhas de garrafas pet já limpas. É necessário que o professor as leve para casa para furá-las no centro, já que as mesmas serão os elementos a serem agrupados nos espetos de madeira.
Após todas as tampinhas estarem devidamente furadas, já é possível dar início a construção do Ábaco de Haste com os alunos na sala de aula.
Forme grupos de no máximo quatro alunos e entregue a cada grupo a barra de isopor, 4 espetos de madeira, 4 kits de tampinhas já separadas pelas cores (12 tampinhas cada), e um roteiro de atividades que poderá ser formulado de acordo com o modelo abaixo (Figura 1).
 

Figura 1: Organização dos kits para montagem do “Ábaco de Haste”.

Modelo do Roteiro de atividades:
Com o material recebido vocês montarão o “Ábaco de Hastes”.
Primeiramente no isopor, com um espaçamento de 4 em 4 cm espete os palitos de madeira de forma que eles fiquem na vertical. As tampinhas coloridas serão utilizadas para organizar os dados e realizar as atividades propostas.
Na primeira atividade vocês deverão organizar as tampinhas de acordo com nossa base numérica decimal. Dessa forma, vamos juntos representar o número 31 na base numérica 10.

Obs. (não faz parte do Roteiro): Nesse momento o professor deverá explicar que eles começarão colocando as unidades na primeira haste e conforme completamos 10 tampinhas, todas devem ser retiradas da primeira haste e substituídas por uma tampinha de cor diferente na segunda haste.

Um aluno deverá ficar responsável pelo registro em tabelas como modelo abaixo:
 

 

#	@	^	/

Na primeira coluna da direita devem ser registradas as tampinhas contadas, usando-se como símbolo um traço na diagonal (/). Na segunda coluna, serão registrados os agrupamentos intermediários, usando-se o símbolo ^. Consequentemente, na terceira coluna, serão registrados agrupamentos maiores representados pelo símbolo @. E caso haja necessidade, serão representados pelo símbolo # os agrupamentos ainda maiores que os da terceira coluna.
Toda vez que se completar o número de símbolos de um agrupamento, este deve ser riscado e substituído por um símbolo de um agrupamento maior. Por exemplo, em um agrupamento de cinco, substitui-se ///// por ^, ou ^^^^^^ por @.
Agora represente na tabela abaixo como ficaria representado o número 31, em agrupamentos de quatro:
 

@	#	^	/

Você é do Grupo _____, portanto deverá utilizar a partir de agora agrupamentos de ______________ tampinhas. Não se esqueça de registrar na tabela a seguir seus agrupamentos:
 

#	@	^	/

 

2ª Etapa: Usando o Ábaco.

Para que os alunos tenham oportunidade de realizar pequenas investigações matemáticas, o professor poderá dar início à atividade direcionando aos alunos algumas perguntas como:

• Você já conhecia um Ábaco? Se sim para que você acha que ele serve?
• O que representam cada um dos espetos de madeira?
• Por que as tampinhas estão separadas por cores?
• De acordo com o número de tampinhas que você recebeu, quais agrupamentos numéricos podem ser realizados nesse Ábaco?
• Podemos realizar a soma de números no Ábaco?
• Que outras operações você acha que podem ser feitas com o auxílio do Ábaco?

Após os alunos terem respondido essas perguntas e com o Ábaco de Hastes já montado, o professor poderá iniciar as atividades de acordo com a ordem estabelecida no Roteiro.
Obs.: O Professor também deverá ter o seu próprio Ábaco (Figura 2).

Figura 2: “Ábaco de Haste” construído.

Para os alunos se familiarizarem com o Ábaco, sugerimos que a primeira atividade seja realizada por todos os grupos ao mesmo tempo com a mediação do professor, que explicará a ordem de agrupamentos e a forma correta de realizar o registro (Figura 3).

Figura 3: Agrupamento do número 31 na base 10.

Na segunda atividade todos os grupos de alunos representarão o mesmo número que foi representado na base decimal, porém agora em agrupamentos de quatro tampinhas (Figura 4).

Figura 4: Agrupamento do número 31 na base 4.

O Professor, após os alunos terem realizado os agrupamentos e os registros, deverá fazer o mesmo com o seu Ábaco e mostrar o significado dos seus registros que representam a seguinte contagem:
- três símbolos /, representando 3x1 = 3 tampinhas;
- três símbolos ^ do agrupamento de quatro tampinhas, representando 3x4 = 12 tampinhas;
- um símbolo @ do terceiro agrupamento, representando 1x4x4 = 16 tampinhas.

Assim, o total será: 1x16 + 3x4 + 3x1 = 16 + 12 + 3 = 31 unidades.

Após esse primeiro contato com o Ábaco, o professor deverá numerar a cada grupo e pedir que organizem no Ábaco de Hastes o número 73 da seguinte maneira:
Grupo 1: agrupamento de cinco tampinhas;
Grupo 2: agrupamento de seis tampinhas;
Grupo 3: agrupamento de sete tampinhas;
Grupo 4: agrupamento de nove tampinhas.

Obs.: Caso haja mais do que quatro grupos, forneça-os um número e um agrupamento respectivo.

É importante que cada grupo fique com um tipo de agrupamento para ao final da atividade seja possível fazer as comparações dos resultados obtidos. Além disso, como os alunos estarão registrando cada um dos processos, ao final da atividade é interessante solicitar que um representante de cada grupo se dirija a lousa e explique ao restante da sala como ficou o resultado final de seu grupo.

Para que os alunos entendam cada uma das representações, peça que tentem transformar os resultados obtidos para a base 10, como no exemplo a seguir:
Agrupamento de cinco: 2 @ + 4 ^ + 3 / = 2 x 25 + 4 x 5 + 3 x 1 = 73.

Agora oriente os alunos a refletires que o valor de cada símbolo é diferente para cada grupo e ainda que, os agrupamentos maiores correspondem ao produto da base pela base. Por exemplo, no grupo 2, o agrupamento @ corresponde a 6 x 6 = 36 unidades.

Após essa etapa explique aos alunos que os resultados também podem ser escritos, ao invés de símbolos, por algarismos indo-arábicos. Dessa forma, é importante orienta-los quanto a escrita correta dos números quando representados em outras bases diferentes da 10.
Explique que os números são escritos a partir de uma ordem decrescente de valor (da esquerda para direita) e que o valor de cada algarismo depende da posição que ele ocupa. Dessa forma, primeiro escrevemos os agrupamentos maiores, até chegarmos aos agrupamentos das unidades e que o zero representa a posição que não possui nenhum registro.
Para que os alunos entendam suas explicações, faça na lousa juntamente com outros representantes dos grupos, a escrita e a leitura dos resultados considerando-se o valor posicional de cada algarismo nas diferentes bases, como a seguir:
Grupo 1: 2 @ + 4 ^ + 3 / = (243)5; lê-se duzentos e quarenta e três na base cinco;

Grupo 2: 2 @ + 1 / = (201)6; lê-se duzentos e um na base seis (Figura 5);
  

Figura 5: Agrupamento do Grupo 2.

Grupo 3: 1 @ + 3 ^ + 3 / = (133)7; lê-se cento e trinta e três na base sete;

Grupo 4: 8 ^ + 1 / = (81)9; lê-se oitenta e um na base nove.

Para encerrar a aula peça que os alunos comparem os resultados e observem a relação entre a base e a grandeza do número obtido, percebendo que quanto maior for a base, menor será a representação numérica, e vice-versa.
 

O professor poderá encontrar no site: http://www.nec.prudente.unesp.br/NEC/RIVED/Objetos.php o Objeto de Aprendizagem cujo título é: “Ábaco e mudança de bases”. Com esse recurso é possível dinamizar sua aula utilizando a Sala Ambiente de Informática e ainda levar os alunos a raciocinarem sobre as diferentes bases numéricas e as operações de soma e subtração com a utilização do software. Outro site que também pode ser visitado pelo Professor para conhecer mais cobre o Ábaco e outros materiais didáticos para o Ensino de Matemática (Cuisenaire e Material Dourado) é http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01038041/webfolios/grupo6/naturais/apoio.html

O Professor poderá avaliar se os alunos compreenderam o valor posicional dos números, a partir da organização que fizerem na base decimal e em cada uma das outras bases sugeridas e a correspondência entre uma quantidade e um símbolo. No decorrer da atividade é possível o professor acompanhar quais são as habilidades utilizadas pelos alunos para identificar as trocas e organização das peças (tampinhas de garrafas) para organizar corretamente o sistema posicional. Será possível perceber se eles já conseguem utilizar o método de divisão para chegar na decomposição do número e reescrevê-los em forma de potenciação (conteúdo também trabalhado nesse nível de ensino). Além disso, poderá observar se os alunos conseguem utilizar o cálculo mental para resolução das atividades propostas.