Operações com intervalos: • União • Intersecção • Diferença • Complementar

Duas aulas de 50 minutos

Operações com conjuntos

               Olá Professor, veja como você pode explorar os recursos para abordar o assunto operações com intervalos com seus alunos.

               Professor para fazer a introdução da aula, vamos sugerir que você mostre aos seus alunos um vídeo sobre conjuntos numéricos. Para isto, leve seus alunos ao laboratório de informática e peça a eles que acesse o sítio http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8797 um vídeo sobre conjuntos. Outra opção é o sítio http://www.youtube.com/watch?v=Qh6wS2MWXLU&NR=1, que é um vídeo que mostra a evolução dos números e sistema de numeração.

               Seria interessante que você verificasse como estão os conhecimentos prévios de seus alunos, para isto provoque um debate em sala fazendo questionamentos do tipo:

                    • O que é conjunto ?
                    • Quais são as formas de representação de conjuntos que vocês conhecem ?
                    • O que são conjuntos infinitos?
                    • Das formas de representação de conjuntos que vocês conhecem, quais podem representar conjuntos infinitos ?
                    • Existem outras formas de representar conjuntos infinitos?
                    • Quais são as operações com conjuntos que vocês conhecem ?
                    • Podemos fazer as operações com conjuntos infinitos?

               Professor para estimular seus alunos, coloque um problema adaptado, utilizado em provas:

               "Para conter o vírus da gripe aviária, que não resiste a altas temperaturas, a EMBRAPA (Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária) vem realizando pesquisas para eliminar o vírus H5N1. Uma das soluções é através da hidrólise de sais, uma reação de um sal com a água produzindo ácido fraco ou base fraca. Como base na pesquisa utilizou-se a seguinte reação química:

NH4CN + H20  NH40H + HCN

               Mas para que o experimento seja efetuado com sucesso, dentro da CNTP (Condições Normais de Temperatura e Pressão), as substâncias devem ser manipuladas nas seguintes temperaturas:

               Podemos afirmar que as substâncias podem ser manipuladas, SEM PERIGO DE RISCO, para os pesquisadores na faixa de temperatura de [34;68]."

               Professor, para colocar a fundamentação teórica do assunto proporção a seus alunos, peça a eles que leiam o texto do blog http://www.nghorta.com/2007/04/10/intervalos-na-reta-real/.

               Apesar das informações estarem no site mencionado acima, reforce as informações sobre os diversos tipos de intervalos:

               I. Sendo a e b dois números reais conhecidos, com a < b, ou seja, quando for informados o limite inferior e o limite superior.

               a) O conjunto dos números reais entre a e b é chamado de intervalo aberto.Indicamos por

{x R| a < x < b } = ]a;b[

               b) O conjunto dos números reais entre a e b, incluindo a e b, é chamado de intervalo fechado. Indicamos por 

{x R| a  x  b } = [a;b]

               c) O conjunto dos números reais entre a e b, incluindo a, é chamado de intervalo aberto à direita. Indicamos por

{x R| a  x < b } = [a;b[

               d) O conjunto dos números reais entre a e b, incluindo b, é chamado de intervalo aberto à esquerda. Indicamos por

{x R| a < x  b } = ]a;b]

               e) O conjunto dos números reais entre a e b, incluindo b, é chamado de intervalo aberto à esquerda. Indicamos por

{x R| a < x  b } = ]a;b]

               II. Para indicar o conjunto dos números reais que são maiores que um certo número ou o conjunto dos números reais que são menores que um certo número real, usamos os símbolos de infinito: ou .

               a) Conjunto dos números reais maiores que a indicamos por

{x  R| x > a } =]a;[

               b) Conjunto dos números reais maiores ou iguais a indicamos por

{x  R| x  a } = [a;  [

               c) Conjunto dos números reais menores que a indicamos por

{x  R| x < a } = ]  ;a[

               d) Conjunto dos números reais menores ou iguais a a indicamos por

{ x R| x a} = ];a]

               Observações:
                    • A notação com colchetes é usada somente para números reais.
                    • Todos os intervalos possuem infinitos números.
                    • Na representação com colchetes, os extremos onde houver infinito sempre será aberto.

               No blog em questão existem alguns comentários e discussões provocadas por outros alunos. Enfoque que uma boa leitura, bem como a total compreensão dos exemplos apresentados é de suma importância para o aprendizado. Seria interessante que no final da aula, você estimulasse seus alunos a participarem das discussões do blog. Professor, caso persista alguma dúvida intervenha para solucioná-la.

 

               Professor, importante que seus alunos saibam representar os conjuntos nas formas de compreensão, forma de intervalos e na forma geométrica. Monte uma lista de exercícios onde o foco é a transformação de uma forma em outra. Uma sugestão é quadro de transformação de formas:

               Agora que seus alunos já sabem representar os intervalos nas diversas formas, é o momento de fazer as operações com conjuntos. Professor, elabore uma lista de exercícios e peça a seus alunos discutam e registrem a resolução dos exercícios. Como exemplo, temos:

               Para consolidação dos conhecimentos adquiridos, sugerimos que os alunos façam uma atividade interativa, para isto, faça um download de uma planilha de cálculo em http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/medio/conj_func/encomendas/intervalo_18_05.xls e em seguida instale-o nos computadores do laboratório de informática. Ao acessar a planilha, aparecerá a tela abaixo:

 

               Para a realização desta atividade o aluno deverá completar as células de fundo azul,  e  com o intervalo desejado e após completar a célula adicionar “Enter”. Dessa forma o intervalo irá se formar de acordo com os valores estabelecidos. Também são detalhados os valores correspondentes a união, interseção e diferença entre os conjuntos. Professor a planilha não faz referência a operação Complementar de um conjunto, mas enfoque aos seus alunos que para existir o Complementar de um conjunto B em relação a um conjunto A, o conjunto B deve ser subconjunto do conjunto A e que  . Para lembrar como fazer operações com conjuntos e tornar a aula mais concreta, acesse a aula ”Operações com conjuntos”, http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=719, nela seus alunos terão uma noção mais concreta das operações de União, Intersecção, Diferença e Complementar.

               Observe o exemplo na figura abaixo:

 

               Professor, agora que seus alunos registraram a resolução dos exercícios, peça a eles que verifique as respostas na planilha de cálculo. Os alunos deverão discutir com seu colega e realizar testes de verificação utilizando a planilha com operações com intervalos para responder as seguintes questões:
 

               Agora, vamos retomar o problema inicial. Peça aos seus alunos que resolvam o exercício proposto inicialmente. Recolha esta atividade como avaliação.
               Professor, propomos, também como avaliação, que você observe o comportamento dos seus alunos em outra atividade. Trata-se da atividade lúdica chamada “Intervalo de Números Reais”. O jogo tem a finalidade de identificar qual o intervalo que o número pertence.

               O jogo funciona da seguinte forma:
                    a) Número de participantes: de 2 a 6 
                    b) Material: 
                              • Folha de contagem de pontos, uma folha em branco da seguinte forma:

 

                               • Saco plástico depositar fichas, chamado no jogo de “Depósito de números”,
                               • Fichas com números ou expressões numéricas, para isto, elabore pequenas fichas que contenha:
                                      * Números naturais, 
                                      * Números inteiros, 
                                      * Números racionais (frações próprias e impróprias, números mistos, decimais exatos e dízimas periódicas),
                                      * Números irracionais,
                                      * Expressões numéricas que envolvam propriedades de potenciação e radiciação.
                    c) Regras do jogo:
                               • Os participantes decidem a ordem em cada jogador irá jogar.
                               • Embaralhe as fichas e coloque-as dentro do de uma caixa ou saco plástico.
                              • Cada jogador , na sua vez, tira uma ficha do “Depósito de números”. Ele tem 40 segundos para calcular a expressão numérica ou identificar o número e em seguida classificar a qual intervalo ele pertence.
                              • Se o aluno acertar o resultado e a classificação, será atribuído o valor dos pontos do intervalo, caso erre, nenhum ponto será atribuído.
                              • Será vencedor aquele que acumular a maior quantidade de pontos após 8 rodadas.
 

Fundamentação teórica: • http://www.ienh.com.br/faculdade/50154/Intervalo_Operacoes.doc • Matemática, ensino médio. Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz. Editora Saraiva. Volume 1. 5ª edição Lista de exercícios: • http://www.portalimpacto.com.br/docs/01Henry1ANOAula11.pdf Fórum de discussão: • http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080502182522AAe5fZp

A avaliação poderá ocorrer durante todas as atividades. Seja observando a exploração dos alunos e seus comentários, seja na resolução dos questionamentos propostos. Nesta aula, além das atividades executadas pelos alunos, temos ainda a observação nas atividades do jogo “Intervalo de números reais”.